В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Для дальнейшего удобнее записать выражения для т>>же>. о!е> и р(а> в экспоненциальном виде ~р = Ае" "е"'е ', о!е> = — ' = МАе>е е"-е'> д; дх (117.7) (117,8) (117,9) Учитывая. что в дальнейшем частота окажется комплексной, )>добнее писать коэффициент при ! в вещественной форме.
1 др I д е дзв. 1 — — +я ( — „+- — !+ д, р дх (,дхе дге > дв „доя — '" +- — '=О. дх д= ош> = — — = мАе> е>яме«> дт дх дэ р(е> = — р — ' — яда = — ркАея=е>я е > — щз, дг (1! 7,4) (1 ! 7,5) (117,6) ооо (гл.
хг волны нх повегхности жидкости Подставляя рсшспня (!17,4) н (1!7.5) в (!!7,3), находим связь азгпу и, иа д(Г, ди. — '+ —" =О. дх дх (117.10) дф и,= — —, дх дф иа= —,' . (117. 12) Подставляя в уравнения (1!7,1) и (117,2) значения о . и о, из (117,4) н (117,5) с учетом (117,11) и (117,12).
находим: до1~1 д дф ! драв ( део!е' дао!в! ) д де ь д",ь; дсФ"' д дф ! дркч !' даон1 даовя '1, д Г деф д. ~ ч По определени.о огФ и о!в> удовлетворяют уравнениям движения идеальной жидкости. Кр6ме того, для ппх справедливо равенство До~о)=Д- — =- — Дф=О дт д о дх дх и аналогично До!О> — Д9 = О д дх в силу того, что До =О. Поэтому функция ф должна удовлетворять уравнениям (117. 13) (117, 14) Из уравнений (117,13) и (117,14) следует, что должно иметь место равенство — = ч Дф. (117, 15) В выражение (!17,15) можно. было бы ввести еше одну постоянную, которая, однако, не имеет никакого значения, поскольку нас интересуют скорости, связанные с ф соотношениями (117,11) и (117, 12) и значения которых не изменятся от прибавления к ф постоянной величины. Ищем 'решение уравнения (117,15) в виде периодической функци ~ координаты и времени и экспоненциальной функции глубины ф = Сене'"*е"', (117,1! ) Из соотношения (117,10) вытекает, что функции У, и (/а можно представить в виде (1!7,1!) волны нл повегхности вязкой жидкости 601 а 117! ,а д — то же волновое число, что и в решении для идеальной жидкости.
( 17 16) в. (117,!6 1г= аз+ а (117, 17). Тогда окончательно решение уравнений (117,1) — (117.3), учитывая (117,7) — (117,9). (117.11). (117,12) и (117,16). и . = (ЖА е™ вЂ” ЕСем) егв (117, 18) пг = (ггАе "г+ ИСегг) е'"а+аг, (117,19) р = — раАе"'е'"*+"' — рдл. (117,20) К решениям (117,18) — (117,20) можно было бы прибавить экспоненциально возрастаюн!ие в глубь жидкости выражения. которые мы отбросили по тем же соображениям, что и в предыдущем па-- раграфе.
Найдем еще вертикальное и горизонтальное смещения на свободной поверхности жидкости. Для первого имеем: д". — и при а=О, дг (117,21) откуда, используя выражения (117,19), находим: ЛА+ ГвС и, еаг а (117,22) Аналогично лля горизонтального смещеНия 1 в том же приближении можно написать: дэ дг — и при е — О. (117,23) Это дает: ГлА — 1С глазам е а (117,24) Решения (117,18) — (117,20) содержат три неизвестные величины А, С и аг. Неиспользованные еще граничные условия на поверхности жидкости позволяют установить два уравнения, связывающие между собой эти величины.
(Граничные условия при е — а — со были уже использованы при выборе решений.) Амплитуда волн остается произвольной. Граничные условия на свободной поверхности вязкой жидкости гласит: Р г Ра+Ро' (117,25), Ргг где р г и р, — нормальная и касательная составляющие тензора вязких напряжений, р. — капиллярное давление и ре — давление 602 [гл. х~ волны нл повзгхности жидкости в газовой фазе. Последнее выберем за уровень отсчета давлений, так что в дальнейшем будем считать р = О. Нормальный компонент тензора напряжений прн з = . согласно выражению (1:5) может быть написан в виде да р = — р+2[ч — ю = ралега.
чы + рд-+ дх +2рй(лА+ 1[С) еыхчы = ~раА+ рд + дА+ гдС + 2р/г(ЙА-[- 1[С)[ егл т". (117,26) Соответственно касательная слагающая выразится р = [ч1 — '+ ') = [ч [)хзА — 1аС+!наА — даС) е'" вы = / доч доч ч дх дх) — р [2(Л2А (12+ Ла) С[ агашч г (И7,27) Наконец. капиллярное давление дчч ч (хаА + ГааС) р = а — „= — ечлхчы Р дхе (117, 23) Подставляя в граничные условия (1!7,25) найденные значения р., рч и рш находим: (аз + 2чйаа + ш'„-',) А + 1(ш'„-+ 2чЫа) С = О, 2(чкаА — (а+ 2чйч) С = О, l чдч где ша= 1г,' — +фг — частота в идеальной жидкости. Р Уравнения (117,29) и (117.30) с учетом условия (117.17) служат для определения частоты ш и отношения А1С. Исключая из выражений (117,29) и (117,30) отношение С)А, находим уравнение для определения ш (а+ 2чйз)'+ ш'„= 4чзй' ~ — '+ 1 ° $ 118.
Волновое движение на поверхности маловязкой жидкости Прежде чем перейти к решению приведенных выше уравнений. следует заметить, что выражение А/С определяет отношение безвихревой и вихревой частей скоростей. Действительно. величина А представляет амплитуду, входящую в скорость ош!. равную скорости потенциального движения идеальной жидкости.
Непосредственное вычисление дает: го1 т.= — [ч — ' — — ) =(йз — [а) Сене'" ш'. г доч двх и ' (дх дх 4 118! волновоа движения нл поввгхности млловязкой жидкости 603 Таким образом, в тех случаях. когда вязкость жидкости сраваптельно мала, отношение А!С должно быть велико и движение— кало отличающимся от потенциального движения в идеальной жидкости. Из условия (1!7,30) с учетом (117.17) следует: С = ' йгд = ' (1 + 2.а )' Чтобы отношение А/С было велико по модулю, необходимо.
чтобы выполнялось неравенство (118,2) вли эквивалентное ему неравенство >' л ° (118.3) В этом случае можно говорить о маловязкой жидкости и считать, что существование вязкости мало изменяет картину движения жидкости, в частности частоту волн ю. Считая, что частота ю мало отличается от частоты юа волн в идеальной жидкости, оценим область применимости неравенств (1!8,2) и (118,3).
Подставляя вместо ю частоту юз, вычисленную в ф 116. можно составить неравенство ~0 с ляж лаз тд лд Подставляя значение с,, из выражения (116,4!), найдем: Для воды это дает: — 2 ) 4 ° 102Л (см). (1 18,4) Таким образом, неравенство выполнено. если длина волны Л » 2 — 3 ° 10 слг. Считая неравенство (118,4) выполненным, приступим к нахождению приближенных решений уравнения (117,31). Поскольку в данном случае движение мало отличается от движения идеальной жидкости, ищем решение в виде') а= — йо +р, (118,5) »с„„* „„,, ~ ~ю лва чисто вещественных корня уравнения (П7,3!), которые отвечают непериодическому движению н не представллют интереса, поскольку непернодичьслое движение будет быстро затухать.
604 ВОлны нл пОВеРхнОсти жилкости !гл- «~ Подстзвляя значение а (118,5) в уравнение (117,3!) и пренеб(эе. гая малыми величинами порядка (1'-', найдем: 2фвя + 41М'-'мв = О, откуда 13 = — 2тлл (11З.6) Таким образом, распределение скоростей в жидкости имеет вид п = йе(НАел=ег!' Пе-ьлч = = — Ае ь"чм з!п(йх — ме!) ею =аше ьы'з(п(лх — ает) е"-, (11З,7) ол = Ае ьыг7е соя (Фх — юоГ) ею = = — вше-™ соз (йх — ме1) ел-". (1 1З.
8) СРавниваЯ УРавнениЯ (118,7) и (118,8) с (!16,28) и (116,29), видзгм, что распределение скоростей при волновом лвиженин маловязгсой жидкости отличается от распределения скоростей в идеальной жидкости только множителем е ь~'. Амплитуда волн на вязкой жидкости экспоненциально убывает со временем. Коэффициент за- тухания !1 согласно (118,6) пропорционален кинематической вязкасти жидкости т и обратно пропорционален квадрату длины волны. Предыдущие рассуждения показывают, что понятие маловязкой жидкости — условное. 'фактическим условием слабого затухания волн служат неравенства'(118,2) или (118,4), включающие не только вязкость нгидкости, но и длину волны. Быстрее всего затухают волны в коротковолновой части спектра.
Напротив. для достаточно ллинных волн коэффициент затухания может быть сравнигельно мал. даже в жидкости с большой вязкостью. Далее, найдем диссипацию энергии в маловязкой жидкости. Общая формула (1,15) для диссипации энергии в единицу вре- мени может быть существенно упрощена в случае волнового л,вя- жения в маловязкой жидкости. Циссипируемая во всем об.ьеые жидкости в единицу времени энергия определяется формулой дŠ— — = 2Г= дГ =р 7''12(д ) +21д )+'1д + д ) !НО. (1109) Эта формула дает мгновенное значение диссипируемой мощностя.
дЕ Нас будет, однако, интересовать среднее значение — за перпот 2л дГ Т= л . Последняя величина будет, очевидно, постоянной яо ш времени Тд о " 7 ап / [2 ( д ) + 2( да ) +( д + д ') 1Л. г !18! волновов движение нл повевхности млловязкой жидкости 608 дмчяслнгг интегралы по времени 1 Р'дошло Лг гаг — / ( — ~~) Ш= — е'"* е-""югз!пг(ах — шг)г!Е Т,/ Л дх) Поскольку МгТ((! в силу неравенства (118,2), экспоненцналь«ую функцию времени можно заменить на единицу. так что т т 1 / ! домЛг Лгшгаг гог I г Лгогаг — / ~ †' ) Ж = — его' ) з1п (Лх — ш1) Ш = егвг— 2 Нетрудно видеть.
что т 1 /' ( до )г агогаг г> о т о т а",шгеггчу Т ~(з! пг (ах — Ы) + созе (ах — ш1)! Л = агшге™аг. Поэтому 2Р= — 4(газовая ) егь""гЬ 5= — 2рагшга5= — 2иагагсг5, (118,10) о где 5 — поверхность жидкости. г(нссипнруемая энергия оказывается про.. „„„„,.ой квадрату а»плнтуды волны н растет с шга. Лля длинных гравитационных волн г2олг 2Е = — 2ра-ддг5 = — 2р 1л — ) даг5 (118, 11) Лля капиллярных волн — оаг г о г2ялг 2Г= — 2!о — аг5= — 28 — ! — ) аг5. р р'лл) (118,12) Вычислим еще саму энергию волнового движения жидкости Е.
Считая вязкость настолько малой, что ею можно пренебречь, находим: Е = Т+ О= 2Т, (118,13) где Т вЂ” кинетическая и У вЂ” потенциальная энергия волн. При этом мы воспользовались известным свойством периодического доижения 1гл хг волны нл повегхности жидкости Т= г — Ло / рог ,/ 2 и значения о и о из выражений для распределения скоростей (118.7) н (118,8), находим: — рагыгег ыг г ~ еггг г(а . Я вЂ” (1 18 14) рагагЗ 2Л о При значении коэффициента затухания р= — 2Мг значения Е и 2Р тождественно удовлетворяют закону сохранения энергии: геЕ1 — ~ — ) = 2Р.
Напротив, при помощи уравнения энергии могкно 1аг)= было бы найти коэффициент затухания р. Зля этого в уравнение аакона сохранения энергии следовало бы подставить выражения аŠ— и 2Р, причем в 'последнем временную зависимость писать аа в виде е-'р', где р' — неизвестный коэффициент. 5 119. Волновое движение на поверхности весьма вязкой жидкости Под весьма вязкой жидкостью условимся понимать гкидкэсть, для которой справедливо неравенство глг (~ 1' (119,1) являющееся обратным неравенству (118,2). В этом случае мюжно написать приближенно 1= 1/ й -+ — ' = й ~Г(+ — ' - й (1-+ — ") Уравнение (117,31) можно пеоеписать в виде ~(а+2 йг)г+ыДг = о Имеем приближенно 111 г 1 — «йг+-~А' 1 — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
