В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 121
Текст из файла (страница 121)
I' ду (х, О, Г) дГ а дл а Величина (А — В) — представляет амплитуду волны на поверхности Ш жидкости. Мы в дальнейшем будем обозначать амплитуду волны на поверхности через а, так чго вертикальное смещение на поверх- ности С = а Вп (лх — ь>!). (116, 19) Теперь мы можем перейти к формулировке граничных условий на поверхностях, ограничивающих жидкость.
Поскольку мы рассматриваем здесь только поверхностные волны, у которых область движения >. мала по сравнению с глуб ной жидкости, последнюю можно считать как угодно большой. "огдз роль граничного условия на дне жидкости будет играть треб,ванне обращения в нуль скорости волнового движения в глубине жи дости. Выбирая за положительное направление оси г иаправлениг вверх, так что область пространства. ваня ая жидкостью, представля гг полу- пространство г ( О, имеем: ч — ь 0 при я -+ — сю. (116,20) Условно (116,20) можно удов.>етворить, если поло,ить в форо> мулах (116,!4) и (116,15) постоанную В = 0 (при этом 71 — — л г>).
к формулировке которых мы и перейдем. !1ля определения граничных условий нам понадобится знать сме>пение, которое испытывают частицы жидкости. находящиеся на ее поверхности. Поверхность жидкости в положении равновесия примем за плоскость я = О. Координату х жидких частиц, сместившихся из положения равновесия на поверхности, обозначим через ".. Очевидно. вертикальное смещение ". является фушгцией координаты х и времени г.' Крнвзя 6(х) при данном значении Г характеризует распределение волн вдоль поверхности жидкости.
Функция ".(!) при данном х описывает зависимость смещения поверхностных частиц жидкости от времени. Вертикальный компонент скорости пь на поверхности связан с вертикальным смещением соотношением д" д". >Гх д1 дГ+дх дГ дГ а 1161 волны нл поверхности илвлльной жидкости 595 На свободной поверхности жидкости должно выполняться граничпос условие Р* = ро при (1! 6,21) до „дг'. Р дг РК" +а д г = Ро при х =". (! 16,22) Поскольку смешение С на поверхности как угодно мало, граничное условие (116,22) с точностью до величин второго порядка малости должно выполняться на поверхности х= О.
Продифференцировав выражение (116,22) по г. находим: дгт д дгС вЂ” р — — ра — +б — =О длг дг дг дхг (116,23) дгт с точностью до величин второго порядка малости. Лля величин— дгг а'г, и -у.— -, входящих в условие (116,23), можно взять их значение дг дхг ' при и= О из выражений (116,13) и (116.19). Заменяя, кроме того, — на — согласно выражению (116.18) дл дт де дх п подсуавляя значение чл из формулы (116,13), находим: Ролл — (рдй+бйг) =О,' откуда блг олг = — + д7л, Р (116,24) (116,25) пли ой= —,+ 8ога, 2ол .рл л Формульл (116,24) и (116,25) устанавливают исколлую связь между частотой и волновым числом или длиной волны.
Таким образом, мы приходим к выводу, что на поверхности жидкости могут существовать бегущие волны, распространяющиеся по поверхности с фазовой скоростью А' =а=У р (116.26) В таких волнах потенциал скоростей имеет вид — аовла <р = —,— соз (йх — оы)г л (116,27) где р, — капиллярное давление и ро — давление в газовой фазе. паходяшейся над жидкостью.
Подставляя в условие (116,21) значение р из выражения (116,11) п р, из (65,13), находим: [гл. х~ 596 волны нл поввгхности жидкости распределение скоростей и давления о = аек'в яп (йх — вг), о, = — аеквв соз (ах — ш!), (Ъ ашр = — р — ' — р ае = —" егш яп (Ах — ш!) — р дх; ас (116,28) (1! 6,29) (116. 30) профиль волны на поверхности жидкости ч = а я п (йх — шг).
(116,3!) — -- = ае 'ж ш яп (/сха — шг), ах к ас (! !6,32) с! 16,33) — = — вас' " соз (Вха — шу). ас Интегрируя выражения (116,32) и (1!6,33), находим: х = х„+ аек" 'оз (Лхе — в!), =ля+алеша (йхе,— ~!). Исключая время, находим траекторк э жидкой частицы (х — хз)з+-(х — е,у =аееакш. (116,34) Каждая жидкая частица движется п: окружности с угловой око.
ростью ш, Радиус окружности равен с "" н экспоненп яльио убывает с глубиной. Согласно формуле (116,25) часта а в падает ; увеличением ! и определяется значением капиллярной постоянной ,' и а. Нетрудна видеть, что в случае длин волн. для которых выпг сиена неравенстве 4чзч Л р1а Формулы (116,28), (116,29) показывасот, что скорости горизонтальных и вертикальных смещений в волне по порядку величины равны между собой.
Оба они порядка аш вблизи поверхности, С глубиной жидкости скорость экспоненциально убывает по закону йети ехрлх=ехр:. Поэтому скорости на глубине ( — х) порядка 1 в ег'= 535 раз меньше, чем на поверхности жидкости. Частота связана с волновым числом состношением (116,24). Входящая в эти формулы амплитуда является произвольной постоянной, значения которой ограничены условием (116.6). Найдем еше траектории д«ижения жидких частиц в волне. 11ля этого воспользуемся тем, что амплитулы смешений жидких частиц малы. Поэтому в правой части формул (116,28) и (116,29) можно заменить х и х на их значения хз и лв в положении равновесия н написать их в виде 4 !16! волны нл поверхности идеальной жидкости 597 яли Х)) 2я 1~ — = 2я~/Т, РЛ (116,35) где Т вЂ” капиллярная постоянная, частота м определяется в основном членом ба и равна (116,36) (116,3?) Напротив.
для коротких волн. когда выполнено обратное не- равенство 4ятч д — ))— РЛа Л' 7 <~2я ~Т, или основную роль в распространении волн играет поверхностное на- тяжение. Такие волны называют капиллярными волнами, или рябью по терминологии Фарадея. Частота и скорость распространения волн определяются формулами (116.38) (116.39) Сравнение формул (116,37) и (116.39) показывает, что скорость распространения гравитационных .
волн растет с длиной волны, а капиллярных — падает. Поэтому скорость распространения поверх- ностных волн с имеет минимум при некоторой алине волны ),. Положение минимума Лим и значение с„м найдем из условия Ие — = О. лл Подстановка значения с из вь;ражения (116.26) дает: Г ° Лм — 2я1, Рь". Г4 Л (116,41) Р Для чистой волы (о=74 дн/см) подстановка числовых значений а выражения (116,4!) и (116.40) дает Лмм = !.78, сиы = 23,5 см/сел.
Для длинных волн основную роль играет гравитация; капиллярные явления и существование поверхностного натяжения не играют сколько-нибудь заметной роли. Такие волны, как указывалось выше, называются, гравитационными. Скорость распространения гравитационных волн 1гл. х> волны нл пОВеРхнОсти жидкости В табл. 20 приведены значения длин волн, скорости распростра. нения и частоты волн вблизи минимальной скорости. Таблица 20 1,7 13,6 23,1 2,5 9,6 23,9 Длина золвы, сж Частота, гц Скорость с, егг!сек 0,5 63,0 31,5 1 24,7 24,7 3,0 8,3 24,9 5,0 5,9 29,5 В 117. Волны на поверхности вязкой жидкости Откажемся теперь от условия (116,4) т сделаем допущение, что вязкий член в уравнении двимсения >кидкос и уже не является л>аль» дч по сравнению с величиной —. Иначе гош >я.
исследуем волною .' ш' Если на поверхности жидкости возбу>кдается совокупность воли с различной длиной волны, то результирующее движение определится положением отдельных волн, рассмотренных выше и играющих роль отдельных Фурье-компонентов. Изломсенная теория, в частности формула (116,26) для скорости распространения поверхностных (2) волн. была проверена на опыте в широком интервале длин волн вплоть до 'л= 0.04 сж. Волны возбуждались прикосновением к спокойной поверхности жидкости пластинок, связанных с камертонами. настроенными на определенные частоты. В качестве жидкостей использовались вода, ртуть, спирт.
эфир и сероуглерод. Согласие теоретических вычислений по формуле (116,26) с данными опытов оказалось вполне хооошим. Последнее обстоятельство поз юлило разработать специальный метод измерения поверхностного гатяжения жидкостей, основанный на измерении скорости распространения капиллярных волн (3). На поверхности жидкости. налитой в сосуд, возбу>кдаются стоячие колебания определенной частоты.
Генератором волн служит пластинка. погружаемая и извлекаемая из жидкости с определенной частотой. .Движение генератора приводит в д йствие источник освещения, так что поверхность жилкости освещается вспышками света, следующнми друг аа другом с частотой. равной частоте генерируемых волн. Прн таком освещении и применении специального метода наблюдения можно успешно определять полож: ия гребней волн весьма малой амплитуды. Таким образом, улается измерит, зависимость длины стоячих волн ).
от генерирующей их частот > ч>. Тогда при помощи формулы (116,26) можно вычислить позе хностное натяжение жидкости. Этот метод измерений поверхнос шго натяжения, по-видимому, один из наиболее точных. 4 !>7! волны нх повегхности вязкой жидкости 599 движение на поверхности вязкой жидкости. По-прежнему условимся считать выполненным неравенство (116.6), т. е.
будем считать амплитуды волн весьма малыми по сравнению с длиной волны. Тогда гравнения движения примут вид дя 1 — — — гад?>+~Ля+-д; б!т в=О, ь илп в координатной форме (1 17,1) (117. 2) (1 !?,3) Мы по-прежнему рассматриваем систему двумерных поверхности»х волн на поверхности бесконечно глубокой (по сравнению с длиной волны) жидкости [1!. Выражения (117,1), (!17,2) в отличие от (1!6,7) для волнового движения идеальной жидкости являются уравнеинчми второго порядка по координатам. Естественно попытаться искать решение уравнений (117,1) — (117,3) в виде ош> ! (7 !' о =о>е>+(?, я' , ш> где величины, отмеченные индексом нуль, относятся к идеальной жидкости и имеют вид выражений (116, ! 4) — (116,16). Действительно, т>>е>, п>е> удовлетворяют уравнению непрерывности, а из физических соображений ясно, что появление вязкости в вгидкости изменит значение частоты, но не распределение давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
