В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Теперь эти величины должны быть найдены из новых граничных условий. к формулировне которых мы и перейдем. Напишем, прежде всего, этн граничные условия в развернутом виде. подставив в них значения р„и рп Очевидно, по определению этих величин (ср. 9 1) имеем: $1211 гашение крппллягных волн яепни к движению вещества на почти плоской поверхности принимает вяд — + — (Го ) — Ов — в, дГ д двГ (121,8) где значение о берется на поверхности жидкости я=0. Как и в й 73, будем считать. что концентрация поверхностно- активного вещества Г может быть написана в виде Г=Г +Г', (121,9) гае Г'((Гр и Гр — постоянная концентрация на недеформированной поверхности.
Тогда. считая скорость жидкости малой (волны малой амплитуды) и пренебрегая величиной второго порядка малости à — ", , до„, дх зиесто выражения (121,8) можем написать: дГ' др, дРГ' — +à — "' =0— д! Р дх в дхв (121, 1О) Г'= Гера. +«в гле .! — постоянная, Из уравнения (121,10) нахолнм: Та+Ге(!ИА — !С) й = — Ов!вз 1, откуда !агр(ИА — гС) Т (121.11) «+ в„а В дальнейшем будет показано, что при всех частотах волн можно считать выполненным неравенство ) ()) Р,!в'.
(121, 12) Это неравенство означает, что ввиду малости коэффициента поверхностной диффузии можно пренебречь влиянием поверхностной диффузии на распределение концентрации поверхностноактивного веШества и считать поверхностноактивное вещество полностью увле"ающимся жидкостью. Считая неравенство (121,12) выполненным, можно упростить выражение (121.!2) для Т, опуская малый член О,яз. Тогда ИГр (ИА — !С) Т (121. 13) (121,14) Г = Гр — — ' (йА — !С) е! "х+вв. Подставляя значение о из выражения (121.1). будем искать решение уравнения (121,10) в виде $12Ц 613 ГАШЕНИЕ КАПИЛЛЯРНЪ|Х ВОЛН инго с единицей для всех встречающихся на практике длин волн: Действительно, — < —, (1 21,21) ио саго где с 4, — минимальная скорость распространения капиллярно-гравитационных волн на поверхности с поверхностным натяжением [см.
формулу (116,41)! с,„= )г 4ло(Го). (121,22) Поз гому таз 2го 1 — < шо 4 'Л' "4'г 4яо (Ро) Полагая а(Г )= 40 ди/см, находим: за б 10-З 1 3.10-' — < л л )/10 !04 Таким образом, если длина волны велика по сравнению с 3 ° ! О з см, можно считать: — (- 1. оаз ио (121,23) ( —,, +2т — +1~А+1(1+2т — )С=О, "о l оаз а саз 1( — +-2т — ) А — ( — + 2лг — — — — ) С = О.
з о о) мз "о ™о о) о (121,24) (121,25) 'Х!включая из уравнений (121,24) и (121,25) постоянные А и С. моиг!1о 'найти частоту и. Поскольку, однако, частота а согласно (117. 7) входит в 1, для определения и в общем случае получается уравндние высокой степени. Для определения значения и воспользуемся приближенным методом. Будем считать, что изменение ') И1 сказанного было бы неправильно сделать вывод о том, что на поверхносто жидкости отсутствуют волны с 1 (( 3 10 ' слг. Хотя такие короткие толпы илгеют значительный коэффициент затухания, они поддсрКсиваются зепловым двизкением ка поверхности жидкости. В дальнейшем мы ограничим свое рассмотрение волнами, для которых неравенство (121,23) выполнено.
Величина т)сз характеризует коэффициент затухания волн на поверхности чистой жидкости. Поэтому неравенство (121,23) указывает на то, что рассматриваются волны, которые мало затухают за время, равное одному периоду '). Перепишем уравнения (121,18) и (121,19) в безразмерном аиде, чаз пля чего разделим их на юз и введем величину т= —. Тогда о ио волны на повзгхностн жидкости (гл. х! частоты волн по сравнению с частотоя па идеальноя жидкости мало.
Тогда можно написать (121. 26) ма= 1/ Р (121,27) Подставляя в (121,24) и (121,25) значение и из (121,26) и прене/ р ~з бРегаЯ величинами поРЯдка 1т — ), находим: о ( — +2/т)А+1(1+2/лг у)С=О, т Ъ 11 — + 2/лг1 А — ( — 1 + 2/ — + 2/лг — — 1С = 0 (121 29) 1ч / т '"о ч л) (121 28) В уравнениях (!21,28) и (121,29) величина лг((1; кроме того, Исключая из уравнений (121.28) и (121,29) амплитуды А и С, находим вещественную часть коэффициента затухания Мнимая часть ~), представляющая малую поправку к частот /, нами опущена. Величина е/с, входящая в выражение (121,30). хара~,теризует зависимость затухания от свойств пленки поверхностно/ктивного вещества.
где величина р имеет комплексное значение, но по предположению ! 1! ((ао. Вещественная часть р представляет коэффициент затухания, мнимая — поправку к частоте. Решение уравнений (121,24) и (121,25) удобно проводить раздельно для разных интервалов длин волн. Рассмотрим, прежде всего, область чисто капиллярных волн. для которых частота выражается формулой 615 а 12П ГАШЕНИЕ КАПИЛЛЯРНЫХ ВОЛН Е а Рассмотрим два предельных случая: — -+ 0 и — -+ 1.
В первом случае, отвечающем чистой поверхности, 1- 10 — — — 2>дз. (121.31) как этого и следовало ожидать (см. выражение (118,8)1. Во втором случае, отвечающем покрытию поверхностноактнвным веществом с большой упругой постоянной сжатия, из уравнения (121,30) находим: р -Р 3 = — = чччя'Ав = — — ч'Ла'АЙшр Ч.
(!21,32) А Л 2у'2 " г~Гг 1(ля упрощения выражения (121,30) мы воспользовались неравенством (121.23). В этом предельном случае коэффициент затухания волн на поверхности. покрытой поверхностноактивным веществом. оказывается существенно большим, чем на чистой поверхности. Действительно, составляя отношение ряр к ра, в силу неравенства (121,23) находим: Таким образом, наличие поверхностноактивного вещества приводит к сильному затуханию капиллярных волн на поверхности жидкости. В предельном случае очень больших значений упругой постоянной е коэффициент затухания не зависит от свойств пленки н определяется только длиной волны, поверхностным натяжением и вязкостью ,жидкости. Чтобы уяснить последнее заключения, обратимся к уравненню (121,28) и произведем его упрощение. считая — ж1.
я Пользуясь тем. что — 1г — )) 1, получаем из уравнения Гс~ !' л (14 1. 28) НА — 1!С = О. (121,33) Сравнивая последнее соотношение с выражением (121,1), видим. что ~ а при~ — 1 выполняется условие (~в)>=в = О. (121. 34) Посреднее означает, что при достаточно большом значении упругой пос4оянной е е пленка на поверхности жидкости ведет себя, как нес маемая твердая пластинка. При деформации поверхности она лиш прогибается, но не сжимается у подошвы волн и не растягивает у гребня. Очевидно, что, поскольку пленка совершенно несжим ема, характер движения жидкости не может зависеть от ее свойств.
Чтобы выяснить, в чем заключается механизм диссипации 616 1гл, х~ ВОЛНЫ НЛ ПОВЕРХНОСТИ ЖНЛКОСТИ в случае несжимаемой пленки. напишем выражение для вихря ско. рости жидкости, совершающей волновое движение в присутствии несжимаемой пленки. Непосредственное вычисление дает: гог ч= — 'Сеыецал-"'>. и Таким образом, отношение безвихревой части движения к вихревой по-прежнему (ср. й 118) характеризуется величиной отноше. ния А/С.
В случае чистой жидкости оно согласно выражению (118.1) равно А "'о С х«йз (121, 35) В случае же поверхности, покрытой несжимаемой пленкой, согласно соотношению (121,33) оно равно (121,36) м~ = 'у' уЕ. Подставляя это значение мз в граничные условия (121,24) и (12),25). пренебрегая, кроме того, малыми по сравнению с единицей взличн- Сравнивая выражения (1121.36) с (121,35), внлим, что В последнем случае Отношение А/С гораздо меньше, чем в первом. Это означает, что вихревая часть движению оказывается существенно усиленной из-за наличия несжимаемой пленки.
Последнее имеет вполне наглядный характер, поскольку тангенциальный компонент скорости обращается в нуль на поверхности, изменение скорости в поверхностном слое имеет более резкий характер, чем в случае чистой поверхности. Усиление вихревой че=ти движения и приводит согласно выражению (1,15) к дополнит;льной диссипации и затуханию капиллярных волн. В общем случае коэффициент затухания лежит между рз и ~„, и существенно зависит от свойств пленки. Наилучшим гасящим лействием должны обладать конденсированные пленки с плотной ) паковкой цепей, имеющие наименьшие сжимаемости. Таковы жирные кислоты, триглицерилы и другие вещества.
Меньшее гасящее действие должно наблюдаться у таких нерастворимых поверхно~ гноактивных веществ, как ацетамиды, фенолы, нитрилы и другие веш 1ства с наклонными цепями. Перейдем к рассмотрению вопроса о гашении более дл| нных капиллярных волн, у которых частота имеет вид 817 а !211' тлшсннс клшнлляшнгх волн Г Ле ./гя яамн ), — и — и подставляя значение ///г нз выражения (11?,17).
"'о во лу чае м граничные условия /! 2 1,37) (121,38) !1з условий (121,37) и (121,38) видно. что в гравнтапионных лолнах имеются две области: область, в котороп во.чновой вектор а — /гг, еде /г, по порялку вели гни определяется выражением Ей~ 1; соотпетствующес значение /г, выразится /г, Е другая область определяется условием /г /гг, где /г, вычисляется вз соотношения 2~/г " ь. Ур Последнее даст: /гг гя г/'"- иио с первым члсиом —. е Тогда из условна (121,37) и /121,38) находим выражение для вепгествснной части козффнннснта затухания 1 /12 1,30) 2 )' 2 гс/,'-+ "— '1' 2 гг'-"Ь Ч/."" По порядку величины вснгсствснная часть ~.='~ уд"-/гг .
/121,40) Из сопоставления /г, и /г, следует, что /г, ) й,. 1 При разумных значениях т и с, /г, — см, так что )ч = 3 — 15 см, /гг 10 ' сж и').= — 10з слг. В области /г-,,'/го Аг ' г лг г/гс / 2М'Ь ". е, сантиметровых волн, — — г г =, так что в граничном усло2. Л" вги (121,38) вторым слагаемым л~ожно преиебрс и, по срагше)7у 618 ~гл. к, Волны ИА пОВеРхнОсти жидкости Поэтому отношение р к коэффициенту затухания рз в чистой жид кости будет иметь вид т. е. оно велико по сравнению с елиницей. Таким образом, гасящее влияние пленки еще сравнительно сильно сказывается и на таки>с длинных волнах. В области л мз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
