В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Вывод выражений для сил, действующих на поверхность. осно. ванный на применении термодннамической формулы Липмана — Гельм. гольца, является более общим по сравнению с приведенными в 9 96 и 97. Он совершенно не связан с какими-либо модельными представлениями относительно свойс-в двойного слоя. Вместе с тем, недостатком его является то, что при этом выводе можно получить только суммарные выражения для сил. но не их пространственное распределение. т Поскольку к жидкой границе приложены отличные от нуля напря>кения, жидкость не может оставаться в покое и придет в движение.
Скорость этого движения будет такова, что вязкие напряжения компенсируют напряжения, действующие на границу раздела. Для определения этого движения, как видно из формул (99.6) и (99,7), необходимо найти зависимость падения потенциала Ьу в двойном слое, окружающем частицу. от полярного угла 0. Поскольку значение потенциала в металле принято нами за нуль потенциала. для этого нужно знать распределеняе потенциала на внешней, обращенной к раствору границе двойного слоя. Последнее может быть найдено из решения уравнения для потенциала вне двойного слоя в нейтральном растворе (99,8) с соответствующими граничными условиями. Это позволяет нам обойтись без рассмотрения конкретных моде. лей двойного слоя.
Граничным условием на бесконечности служит требование. чтобы потенциал совпадал с потенциалом приложенного внешнего поля, т. е. условие (99,1). Чтобы формулир вать граничное условие на границе электронейтральный раствор — двойной слой, необходимо учесть движение раствора и связанный с ним перенос ионов конвекцией. Если под действием приложенного поля жидкость вокруг частнцм приходит в дан>кение со скоростью ч, тс движение жидкости, каса- ~ 99) лвижвнив жидких мвтллличвских капель 495 тельное к поверхности частицы.
приведет к появлению конвективрого тока ионов. Пусть е — заряд единицы поверхности подвижной части двойного слоя. Мы будем предполагать, что в случае жидких металлических частно, весь двойной слой обладает подвижностью, так что е пред„о„р ю р ~ -(р~)а).пу о далее, оа — тангенциальная слагающая скорости жидкости в подвижной части двойного слоя (точнее, на границе раздела обеих жидкостей). Тогда вдоль поверхности частицы будет протекать поверхностяый конвективный ток. плотность которого равна 7,=епм Тангенциальная скорость изменяется от точки к точке вдоль поверхности частицы, Поэтому поверхностная ливергенция конвективного тока будет отлична от нуля: д(ч,(ая,)+ О. Иными словами, конвективный перенос ионов текущей жидкости приводит к тому, что в одних местах поверхности онн должны покидать двойной слой и переходить в область электронейтрального раствора, в других местах — входить в двойной слой извне (в силу предположения об идеальной поляризуемости частицы разряжаться на последней они не могут).
Закон сохранения заряда требует, чтобы на границе двойного с„оя н электронейтрального раствора было выполнено условие (95,7) х — = Йч (екг), дт дг кот)орое и является нужным граничным условием. 'Из граничного условия (99,9) вилно,-' что лля решения электрнчебкой задачи нужно предварительно решить задачу гидролинамичес)сую, иначе говоря, обе эти залачи оказываются неразделимыми. ~-несмотря на то, что залачи такого типа обычно не допускают точ~гых решений, в данном случае высокая геометрическая симметрия, (сферическая капля и однородное внешнее поле) позволяет, при язв тных допущениях, пать такое точное решение. ри формулировке гилролинаяических уравнений мы булем предпол гать, что движение частицы происходит при малых значениях иа чис Рейнольлса Ке = †, тле (7 — скорость движения капли и х — инематическая вязкость раствора.
дальнейшем удобно пользсваться системой координат, связанной с каплей. В этой системе капля покоится, а м<илкость движется отис(сительно капли со скоростью, равной по величине. но обратной по «(зправлению относительно фа~(тического движения самой капли. Учить1вая симметрию задачи. будем пользоваться уравнениями Навьи в Стокса и непрерывности в сферических координатах (70,5)' (70,7). 496 движения частиц в глствоглх электголитов [гл. гх Граничные условия для о, и оз на бесконечности имеют вил г>„= У соз (>, оз — — — У з>п 8, при г — ьсо, (99,10) тле У вЂ” скорость движения жидкости на бесконечности (скорость дни>кения капли по отношению к раствору).
В центре капли (начало координат) скорость внутренней жидкости должна оставаться конечной. На поверхности капли нормальные компоненты скоростей внешней и внутренней жидкостей должны обращаться в нуль, т. е. о,=0, при г=а, (99. 11) 'Г— а касательная слагающая скорости обеих жидкостей должна оставаться непрерывной е>з='из при г=а. (99, 12) Кроме того, на поверхности раздела обеих жидкостей должно быть выполнено условие непрерывности нормальных и тангенциальных слагающих тензора напряжений.
Если Р~~> и РЯ> — нормальная и тангенциальнзя слагающие тензора вязких напрялсений, то на грш>ице раздела должно выполняться условие ,>е> + < > Ргз +Рй =Р.з (99. 13) ()9.!4) Для решения совокупности гидродинамических и электрод шамических уравнений с указанными граничными условиями заметку, что вдали от частицы электрическое поле и скорость течения жиькости должны быть параллельны оси х, т. е. дчлжны быть выпо !иены условия (99,1) и (99,10). Предположим.
что и вблизи капли потенциал поля будет з:апсеть от внешнего поля и угла аналоги>ным образом, т. е. положи > у=аЕгсозб, (39, 15) > где а — неизвестная постоянная, значение которой будет )>идена лишь из дальнейшего решения. Предположим также, что капля при движении не теряе( своей сферической симметрии.
так что з.,>ра>кения для радиального ~и тангенциального компонентов скорок и и давления, удовлетво>>яющие уравнениям гидродинамики и услов> ю (99,10) на бесконечности ', могут быть написаны в виде первых гар гоник в разложении по паровым функциям, т. е. в виде формул ,''0,28) — (70.33). В этих >>лражениях содержатся пять цензвестНык постоянных: а„а„>>„1>з и >>з, подлежащих определению из гран пных условий. В послед >ие вхо- 0 991 движвнив жидких мвтллличвских капель 497 диг значение Ьр, определяемое из решения электрической части задачи.
Покажем, что при соответствующем выборе постоянных будут удовлетворены все граничные условия электрической и гидродиначпческой задач и таким образом будет найдено полное решение; этик и будут оправданы сделанные предположения. Решение следует проводить так же, как это было сделано в сходном случае движения капли в присутствии поверхностноактивного вещества. 11ля этого напишем прежде всего, выражение для тангенциального компонента скорости на поверхности капли (по)„а = по з(п 0 (99, 16) где по — новая неизвестная постоянная. подлежащая определению.
Тогда для поверхностной дивергенции скорости, входящей в граничгюе условие (99,9), имеем аналогично выражению (73.10) «Г д, а 2«пасов 0 ~~~~~в (~тг) — г зш 0 (дв (пз згп О) ) Подставляя это значение 61т,(ет,) в выражение (99,9), получаем: дт'1 2«вв соз 0 "( — ),.= (99, 17) следовательно, в силу соотношений (99,6) и (99,7) 2«.ж Г З пв« т р = — — 2е~ — — — ) Е соз 0, ««а 1 2 «.Еа) г 3 пела р = ~ — — — ( зЕ з!и О. гз '1 2 хЕа) При этом мы считаем в постоянным вдоль поверхности и значение да/дг берется при г=а, а не при г =а+а.
Первое следует из предположения о малости всех возмущений, второе — из неравенства а)) Н. Решением уравнения (99,8) для потенциала, удовлетворяющим граничному условию (99,17), служит: т [г+~ — ) — ~ ЕсозВ. «пот азч (99, 18) ~2 хЕа) гх) Таким образом, значение постоянной а в (99.15) оказывается равным (2 — — ') Зная распределение потенциала вне двойного слоя, можно написать для скачка потенциала металл — раствор выражение л'« = '«ме«+~В«-а+а =+ ««-а =(2 Е ) Еа сов 0 (99, 19) 498 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ [ГЛ. 4Х со53~ — ( —,' + — „')+22Е(2 Е ) — бр'пад~=О, Знаа / 3 воа 'а Здад — — +аЕ1 — — — 4) =— да ( 2 «Ед4 1О Граничные условия (99,11) и (99.12) после подстановки в них значений скоростей нз выражений (70,28) — (70,33) приводит к уравнениям Ь, Ьа — '+ —;+Ь,=О, а,а'+В,=О, Рд да Ьа аа оо=, + Ьа 2да+ 2а — 2а, а' — аа — — о„.
Наконец, из условия (99,10) находим. что Ьа — — — У. Из этой системы урфвнений могут быть найдены неизвестные ве. личины Ь,, Ь,, а,, аа, оо, У. Постоянные ао, Ьо не могут быть определены в отдельности, но их можно не определять, поскольку все давления определены лишь с точностью до аддитивной постоянной. Элементарные преобразования приводят к следующим значениям этих постоянных: — =У, Ь да 3,! 422 Ь,=О. а а'= — — У, 3 2 3 3 аЕа о„= — У=-' 2 2 4 2Р+ ЗР'+ —- (99,20) аЕа 42 2Р.
+ 3~4' +— (99. 21) Таким образом, распределение скоростей текущей жидкости имеет вид (в системе координат, связанной с каплей) /да о„= У~ — а — 1) с053, г да ,=У~ — +-1)51пв, 'А 2г" ° 3 / гаа О = — У(1 — — „)с053, 2 3 !2/а 'и = —, У ( — „— 1 ) 51П О, а= 2 (99,22) (99. 23) (99, 21) (99, 23) Зная распределение напряжений на поверхности капли, можно перейти к определению постоянных прн помощи граничных условий гидродинамической задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
