Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Но теория вихрей снова привлекла внимание в начале Х1Х в.: в связи с разработкой теории крыла аэроплана и благодаря новым фиаическим представлениям, введенным в первую очередь Н. К. Жуковским, теория вихрей нашла применение в аэродинамике и получила новые импульсы для своего развития. 8. Работа Гельмгольца о вихревых движениях жидкости, вызванная ею к я«изни вихревая теория материи и новые гидродинамические работы о вихревых движениях, созданные в связи с вихревой теорией материи, — все это укладывается в схему, типичную для последних десятилетий Х1Х в.: 1) механика «поставляет» свои результаты физике; 2) в физике достижения механики перерабатываются и обычно обобщаются; 3) новые результаты и теории физики в свою очередь переходят, в той или иной форме, в механику.
19~ )) эту же схему укладываются свяэанные друг с другом работы рассматриваемого периода о вариационяых принципах, о циклических системах и по так наэываемой энергетике. Обратимся к вариационному принципу Гамильтона— Остроградского: 6 ~ (Т + П)й = О. Обе функции, входящие в подынтегральное выражение, живая сила Т и силовая функция У имели в науке первой половины Х1Х в. чисто механический смысл. Но с установлением общефизического закона сохранения энергии живая сила стала частным случаем более общего понятия кинетической энергии, силовая функция, взятая со знаком минус, т.
е. г' = — ГУ, стала выражением потенциальной энергии в механике. При таком обобщении принцип о б ~ (Т вЂ” 'г')й = 0 приобретает смысл в любой области физики, если для изучаемых там систем и процессов определено, что такое кинетическая и потенциальная энергии. Но можно ли постулировать применимость такого обобщенного принципа? Справедливость принципа можно проверить по следствиям из него, т. е. проверить справедливость вытекающих иэ него уравнений. Однако и заранее существовала уверенность в законности такого обобщения — она была основана на убеждении в своди- мости всех физических процессов к механическим. Так постепенно вариационные принципы охватывали механику сплошных сред, термодинамику, электродинамику.
Над этим работали В. Томсон, Гельмгольц, Гиббс и Клаузиус, Больцман и Дюгем и другие ". В случае консервативной механической системы со стационарными голономными связями Т есть квадратичная функция скоростей (д) или импульоов (р), г' функция только координат (д). Во многих случаях и для более общих физических систем, для которых о сохраняют свое значение обобщенных координат, а р определяются как дТ~ду, такое строение Т п 'г' сохраняется. В сочетании Т вЂ” г'ыЛ, названном кинетяческим потенциалом (Гельмгольц; сейчас этот термин вытеснен термином «лагранжиав»), обе части имеют, таким образом, не только ясный физический смысл, но и определенную аналитическую стРуктуРу. По мере того как ширилось применение принципа а 6 ~ /.й = О, стали шире применять и вытекающие из него уравнения Лагранжа второго рода д (дХ / дд;) дй д8 дд~ (или канонические уравнения).
При этом пришлось особое внимание уделить системам с так называемыми циклическими координатамиз',так как теория таких систем, казалось, открывала перспективы более тесного слияния механики с другими областями физики. Аналитическое упрощение, которое вносит отсутствие некоторой координаты д в Ь, было ясно еще Лагранжу (см. гл. 1 настоящей работы). В этом случае (аЬ/Ж/) = О, Ы ГдГ,~ остается уравнение вида — ~ —.) = О, что сразу дает ~дд ) первый интеграл р = ЫЬЩ = сопзт.
С помощью этого соотношения можно выразить у через остальные координаты и скорости и, введя это выражение;в Ь, получить систему дифференциальных уравнений на два порядка ниже первоначальной. Но структура Ь при этом изменяется (за счет изменения структуры Т). Учитывая физический смысл Ь, следует не только рассматривать аналитическую сторону дела, но и разобраться в физической сущности вопроса. В аналитической механике системы с циклическими координатами были исследованы Раусом и почти одновременно Гельмгольцем".
Пусть положение системы определяется лагранжевыми координатами д„..., ди,~, из которых последние и — циклические. Имеем соответственно т интегралов — =с;, (1=1,..., щ). дЬ дд„„ ~в Оказалось, что надо взять Т, = Ь вЂ” '~ ~с д„„., считая $ 1 в Ь все д„~, выраженными через нециклические координаты и скорости, чтобы получить уравнения движения д /дХ~ д/, — — — — =О, (ю=1,...,я) для приведенной системы с и степенями свободы (вместо и+ т для первоначальной). А вариационный принцип для приведенной системы имеет, естественно, вид Вероятно, на атом во времена Лагранжа и Пуассона исследование вопроса считалось бы законченным. Гельмгольц, как физик, пошел дальше.
Допустим, для просто- тЫ Заинон, ЧтО ЕСТЬ ОДНа ЦИКЛИЧЕСКаЯ КООРДИНата (ди,1). Ксли для первоначальной системы Т вЂ” однородная квадратичная функция скоростей 1 Т = ~ а««у1?з+ а1,ип1Ч1«п 1+ Э пп 1,и+19~+1 (суммирование по повторяющимся индексам 1, Й; 1, Й = 1, ...,л), то для приведенной системы 1 1 1 =- 1 — «~~Я~ 1 = ~ а1«ЯЯ. — э апи1,и~Яи11 — р и после окончательного исключения ди„с помощью уравнения (дауду„и1) = с„«1 мы получим в Ь, кроме членов, квадратичных относительно скоростей, слагаемые, куда скорости 11„...,д„входят в первой степени (гироско) пические члены), и постоянное слагаемое и+1,и+1/ которое можно включить в состав «', т.
е. отнести к потенциальной энергии приведенной системы. По движению приведенной системы, которое определяется координатами д„...,д„, мы ничего не узнаем о д„,1. Иными словами, изменение д„,1 для нас теперь— скрытое движение. Пойдем обратным путем. Пусть, распространяя вариацнонный принцип на какую-нибудь область физики, мы получили там кинетический потенциал Е другой структуры, чем в так называемых естественных задачах механики. Не является ли это следствием наличия скрытых движений, при введении которых Х перешло бы в Е, т. е.
система имела бы аналогом некую консервативную механическую систему? «Согласно такой механической аналогии можно вообще считать свя- ванными со скрытыми движениями те физические процессы, которые описываются кинетическим потенциалом с членами, линейными относительно скоростей» «». Развивая эту идею, Гельмгольц показал, что при определенных допущениях относительно характера движений и внешних сил кинетический потенциал можно получить и в более общем виде. Например, будем считать циклические координаты д„,,,..., д„, быстро изменяющимися, а остальные ды..., о„— меняющимися медленно. Следовательно, д„«ы ..., д„, велики, ды..., д« вЂ” малы, малы и 'о„..., 'д„.
В У,надо учитывать только д„... ф~ и дд.~.ы дд ~11 Так как последние величины («циклическне скорости») можно исключить обычным способом, мы получаем в первом приближении квази- статическую систему, малые движения которой определяются кинетическим потенциалом, как видно, произвольного строения. Подобные динамические проблемы, указывал Гельмгольц, во многом аналогичны тем, с которыми мы встречаемся при исследовании термодинамических и электродинамических явлений. «Поэтому в современной теоретической физике наблюдается стремление вьгвести различные наблюдаемые закономерности из такого единого принципа, который по форме совпадает с обобщенным принципом Гамильтона, и из обобщенных уравнений Лагранжа... Но на вид кинетического потенциала при этом не накладываются ограничения, он является общего вида функцией двух систем переменных о и ), которые не обязаны попарно соответствовать друг другу и подлежат определению для каждой области (физики)» ".
9. До сих пор мы прослеживали ход идей в направлении от механики к физике. Механика Герца" появилась как итог процесса, развивавшегося в противоположном направлении: уверенность в общефизической значимости скрытых движений, в возмохсности истолковать все виды энергии как кинетические является ее идейной основой (наряду с тенденцией геометризации механики, что зеле и к исключению понятия силы из числа основных). Оценивая механику Герца, М. Планк говорил, что она была грандиозным, но, быть может, последним опытом принципиального сведения всех явлений природы к механическому движению. Герц выдвинул программу, исключительно последовательную и гармоничную, и пошел значительно дальше в этом направлении, чем его предшественники и современники. Он не ограничился постулированием того, что все можно истолковать исходя из дэнн<ения однотипных материальных точек, единственных настоящих кирпичей, которые нужны для построения физического мира.
Он пошел дальше, чем Гельмгольц в работе «О сохранении силы», так как сразу отверг различие между потенциальной и кинетической энергией и заодно все связанные с атим проблемы. По Герцу есть только один вид материи — материальная точка — и один вид энергии— кинетическая. Все другие виды энергии (потенциальная, электромагнитная, термическая и пр.) в действительности являются кинетическими энергиями двихсения невидимых материальных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
