Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В ней Гельмгольц начинает с разъяснения следствий допущения, что существует потенциал скоростей (последний термин введен впервые, видимо, в рассматриваемой работе), т. е. в обычных обозначениях, такой функции ~р, что для частицы с координатами х, у, г имеем и = (д<р /дт), э = (д~р/ду), и = (д~р/дг) (жидкость идеальная, несжимаемая). Движение элементарного объема жидкости разлагается на 1) поступательное, 2) растял«ения (сжатия) по главным (взаимно перпендикулярным) осям П 3) вращение вокруг некоторой мгновенной оси — все это, как указывал позлсе сам Гельмгольц, по обраацу, уже известному из теории упругости.
Составляющие вращения (мгновенной угловой скорости) обращаются в нуль, когда существует потенциал скоростей, а в односвязной области, будучи равными нулю, не могут стать отличными от нуля. «Поэтому движения, которые не обладают потенциалом скоростей, вообще говоря, можно охарактеризовать как вихревые движения»,— пишет Гельмгольц.
Следующий шаг состоит в том, что составляются уравнения для изменения з, Ч, ь: ди $— дх д» дх дв $— дх д. дт д дв д« ди + т~ — + ду д» +д- — + ду дв +Ч вЂ” + ду (а) учитывая уравнение неразрывности ди д» дв — —.— О, дх ду д» причем †+ †+-О. д« дч д« дх ду дт 283 Отсюда сразу следует, что если з =* т) = ь = О, то (для Нй дч той же частицы жидкости!) — = — = — = О т. е. дт = дт = ш = 1 незавихренные частицы остаются неаавихренными. Введем теперь в рассмотрение вихревые линии и вихревые нити (термнн Гельмгольца) аналогично линиям тока и трубкам жидкости.
Из чисто кинематнческих соображений следует, что каткдая вихревая линия состоит из одних и тех же частиц, «плывя вместе с этими частицами в жидкости», и что «напрях<ение» вихревой нити (произведение угловой скорости на площадь поперечного сечения) остается постоянным. Таким образом, вихри, вихревые линии и вихревые трубки оказываются неотъемлемыми характеристиками движения идеальной и несжимаемой жидкости.
Поэтому ставится задача определения поля скоростей по заданному распределению в жидкости величин 5, ц, Ь. Это аначит найти и, г, ю в заданной области Ю нз уравнений дх дв дв ди~ — — — -- 2$, — — — — 2т1, дх ду ' дх дх Решение уравнений (е) Гельмгольц ищет в виде дР дг«' дМ дР дЕ, дУ дх ' ду д« ' ду + д« дх дР дМ дЕ Ю вЂ” — + д« дх ду ' так что должно быть ЛБ= 2$, ЛЛХ =-2«), АР/= 2~, АР = О. А как интегрировать последние уравнения, известно; можно считать, что 1., М, /у суть потенциальные функции фиктивных магнитных масс, распределенных в Я с плотностью соответственно — $/2я, — «)/2п, — ~/2я»«, а Р— потенциал масс, находящихся вне Я. Общая вапись решения дается в виде тройных интегралов по Я и позволяет получить выражение для скорости, индуцируемой вихревой частицей жидкости а в любой другой ее частице Ь, выражение, аналогичное закону Био— Савара.
Гельмгольц сразу указывает, что точно такому закону следует сила, с которой действовал бы находящийся в а и параллельный оси вращения электрический ток на находящуюся в Ь магнитную частицу. В связи с этим Гельмгольц указывает (кажется, впервые в гидродинамике) на существенное значение порядка связности пространства" и на многозначность потенциала в многосвязных пространствах. Он пишет: «При наличии водяных вихрей (Гельмгольц, кажется, незаметно для себя начинает вмесго «жидкость» писать «вода».— И.П.) для тех частиц воды, которые не обладают вращением, потенциал скоростей существует и удовлетворяет уравнению —.+ — + — = о, д««р д«р дчр дх«ду' дг' которое нарушается только внутри вихревых нитей. Но если мы всегда будем считать вихревые нити замкнутыми внутри или вне массы воды, то пространство, в котором имеет силу дифференциальное уравнение для у, является многосвязным...
В таких многосвязных пространствах функция ф, удовлетворяющая указанному дифференциальному уравнению, может стать многозначной, и она обязательно станет многозначной, если она должна представлять замыкающиеся течения. Действительно, так как скорости в массе воды вне вихревых нитей пропорциональны прояаводным от ~р, то, следуя движению воды, мы должны переходить ко все большим значениям и. Но если течение замыкается н, следуя ему, мы возвращаемся в то место, где мы уяге были раньше, то в этом месте мы получаем второе, большее значение для ~р. А так как то же самое можно повторить любое число раз, то для каждой точки такого многосвязного пространства должно получаться бесконечно много различных значений у, отличающихся одно от другого на постоянную х величину, подобно различным значениям Агоний —, который является такой многозначной функцией, удовлетворяющей вышеприведенному дифференциальному уравнениюз~'.
И затем Гельмгольц указывает, что так же обстоит дело и с электромагнитным действием замкнутого электрического тока. Эти сообрая<ения дают основание разбить интегралы гидродинамических уравнений на два класса. К первому относятся ре|пенкя, соответствующие однозначному потенциалу скоростей, ко второму — решенля, соответствующие наличию вращения у какой-то части частиц жидкости н, следовательно, многозначному потенциалу для незавихренных частиц. Но, указывает Гельмгольц, может быть так, что в последнем случае в задаче рассматриваются только такие части пространства, которые не содержат вращающихся частиц воды (например, при движения воды в кольцеобразкых сосудах, когда можно считать, что вихревая нить проходит через ось сосуда).
Тогда задача все же относится к числу тех, которые могут быть решены, допуская существование потенциала скоростей. И, развивая аналогию с электромагнитными явлениями, Гельмгольц говорит, что в интегралах первого класса скорости частиц жидкости пропорциональны силам и имеют направление сил, которые создаются при воздействии определенным образом распределенных вне жидкости магнитных масс на магнитные частички, находящиеся в том же месте, где частицы я~идкости. В интегралах же второго класса подобные силы действуют на соответствующие магнитные частицы со стороны замкнутых электрических токов.
Эти токи проходят по вихревым нитям, плотность которых пропорциональна угловой скорости, н их действие сочетается с воздействием нахо- ия» дящихся вне жидкости магнитных масс. Такие электрические токи должны «плыть» в жидкости вместе с соответствующими вихревыми нитями, сохраняя свое напряжение (т. е. силу тока), а распределение магнитных масс вне жидкости или на ее поверхности доля<но соответствовать граничным условиям гидродинамической задачи. Впрочем, замечает Гельмгольц, известно, что любую магнитную массу можно заменить электрическими токами.
Поэтому в укааанное выше общее решение можно не вводить потенциальную функцию Р, видоизменяя соответственно остальные входящие туда функции. (Конечно, к решению уравнения Пуассона моя«но всегда добавить решение уравнения Лапласа, позаботившись о выполнении граничных условий задачи.) 6. В заключительной части работы Гельмгольц рассматривает вихревой слой («поверхность») и показывает, что прн его наличии имеем скачок тангенциальной (к слою) составляющей скорости.
«Такая вихревая поверхность, например, возникает, когда в соприкосновение приходят две прежде раздельные движущиеся массы жидкости. На поверхности соприкосновения нормальные к этой поверхности скорости долхшы уравниваться. Касательные же к поверхности скорости в общем случае будут в этих двух массах жидкости не одинаковы.
Таким образом, поверхность соприкосновения будет обладать свойствами вихревой поверхности». Затем исследуется движение жидкости при наличии бесконечных взаимно параллельных прямолинейных вихревых нитей. Задача в такой постановке является, по современной терминологии, плоской. Гельмгольц более подробно описывает характер движения прн наличии одной н двух нитей. Затем, тоже сводя дело к плоскому случаю, он исследует «кругообразные» (цилиндрические) и кольцеобразные вихри.
Наиболее наглядные реаультаты получаются, когда имеем один кольцеобразный вихрь или два таких вихря (в работе они приведены без полного математического анализа). Так, если два кольцеобразных вихря имеют общую ось и одинаковое направление вращения, то оба онн перемещаются в одном направлении так, что передний вихрь расширяется, уменьшая свою поступательную скорость, задний сужается, увеличивая ее. Поэтому задний вихрь в конце концов доля(ен нагнать передний и пройти сквозь него, после чего «та же игра повторится с другим вихрем, так что эти кольца попеременно будут проходить одно через другое»'з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
