Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Достаточно задания этой основной метрической формы, чтобы определить длины дуг, углы, объемы, геодезические (кратчайшие) линии. Весьма важно было указание Римана о том, как перенести на такие общие (римановы) пространства гауссову кривизну, определив ее для каждой элементарной площадки. В своей лекции Риман не привел никаких выкладок, они содержались в неопубликованной при его жизни работе, и его последователям, 17 и.
Б. погребаескиз ялч Э. Кристоффелю (1829 — 1900), Э. Бельтрамн (1835 — 1900) и Р. Липшицу (1832 — 1903), пришлось, прея«де чем пойти дальше, самостоятельно восполнить эти пробелы. Во всяком случае, Риман получил выражение для кривизны как функции коэффициентов у««основной метрической формы и показал, что если кривизна пространства равна нулю, то основная форма сводится к сумме квадратов дифференциалов с постоянными коэффициентами, т. е.
метрика становится евклидовой. Если же кривизна в любой точке не зависит от направления площадки (а из этого, как было показано позже, следует ее постоянство во всем пространстве, Риман это следствие формулировал как самостоятельное условие), получаем пространства, допускающие движения «в себе«, подобно тому как на поверхностях постоянной кривизны в евклидовом трехмерном пространстве (плоскость К = 0; сфера, К = сопз«) возможно скольжение фигур как твердых тел.
Но Риман, связывая геометрию с механикой (осуществимость движений твердых тел в зависимости от геометрии пространства), шел не только от первой ко второй, но и от второй к первой. Он указал, что если «тела существуют независимо от места нх назначенияя,то мера кривизны везде постоянна "'. Это значит, что, по Риману, только наличием материи можно объяснить «искривление» реального пространства и только, если материя везде воздействует одинаковым образом, кривизна пространства постоянна.
Отлична ли она от нуля, на основании астрономических наблюдений сказать было нельзя. Риман отметил это, а также и еще несколько важных полоксений: если независимость тел от места их нахождения не отвечает действительности (т. е. наличие материи и метрика пространства связаны друг с другом), то иа метрических отношений в большом нельзя заключить о метрических отношениях в бесконечно малом; не исключено и дискретное строение пространства; пространственные метрические отношения (прежде всего евклидовой геометрии) установлены на основе эмпирических понятий твердого тела и светового луча и, по-видимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом. Можно ли было теснее связать геометрию с физикой? В конце своей лекции Риман подчеркнул, что «вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метри- ческих отношений в пространстве.
Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том случае, если, исходя иа ныне существующей и проверенной опытом концепции, основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее совершенствовать, руководясь фактами, которые ею объяснены быть не могут; такие же исследования, как произведенные в настоящей работе, именно, имеющие исходным пунктом общие понятия, служат лишь для того, чтобы движению вперед и успехам в познании связи вещей не препятствовали ограниченность понятий и укоренившиеся предрассудки. Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний денье ". Как писал Г.
Вейль в своем комментарии к лекции Римана, полное понимание заключительных замечаний Римана о. внутреннем существе метрики пространства стало возможным лишь после создания Эйнштейном общей теории относительности. е... Риман отказывается принять концепцию, до него разделявшуюся всеми математиками и физиками, будто бы метрика пространства независима от протекающих в нем физических процессов и будто реальное вступает в это метрическое пространство, как наниматель в готовую квартиру„больше того, он утверждает, что пространство само по себе есть аморфное трехмерное множество...
и только наполняющее его материальное содержание организует его путем установления метрики. Таким образом, возникает нечто вроде „метрического поля", принципиально неотличного от электромагнитного поля» ". Нельзя сказать, что Риман не имел предшественников; в дифференциальной геометрии он продолжал делоГаусса; вводя геометрии, отличные от евклидовой, он шел по пути, на который до него вступили Гаусс, Лобачевский, Боян. А в догадках о связи метрики пространства с материей он воскрешал и продолжал давнюю традицию.
Отрицание пустоты в античной и средневековой науке было следствием признания нерасторжимости пространства и материи. С другой стороны, успех изучения пространства самого по себе — создание столь совершенной теории, как евклидова геометрия, вызвал к жизни и «абсолютизацию» пространства, его отрыв от материи. В период становления классической механики и фиаики оба 259 17" направления налицо. Достаточно сказать, что представителем первого направления был Декарт, второго— Ньютон. Для механики Ньютона абсолютное пространство, как и абсолютное время, было логически необходимым понятием '«. Картезианская физика потерпела поражение в борьбе с ньютонианской.
Концепция «абсолютного» пространства стала привычной и общепринятой. В рамках собственно механики она господствовала уже около полутора веков. На этом фоне смелость мысли Римана поразительна: он шел против мощной традиции, утвердившейся в науке как раз в борьбе с теориями, родственными тем, какие Риман выдвигал. 4. Указанные выше геометрические исследования поразному и с разным «запаздыванием» влияли на механику. Должную оценку и развитие идея Римана о связи метрики пространства с заполняющей пространство материей получила только в ХХ в.
— в общей теории относительности Эйнштейна. Одно промежуточное звено можно все-таки указать. Последователь Римана, выдающийся математик Клиффорд (1845 — 1879), в 1870 г. выступил в Кембридже с докладом «О пространственной теории материи».
Сохранилось краткое изложение этого выступления. Там мы читаем: «Я считаю верным: 1) то, что малые части пространства в действительности, по своей природе, аналогичны небольшим холмикам на поверхности в среднем плоской, так что обычные законы геометрии в них не соблюдаются; 2) то, что это свойство быть искривленным нли скрученным непрерывно распространяется из одной части пространства в другую наподобие волны; 3) то, что такое изменение кривизны пространства составляет в действительности явление, называемое нами движением материи, весома ли она или эфироподобна; 4) то, что в физическом мире ничего иного не происходит, кроме указанного изменения (возможно), подчиняющегося закону непрерывности» ".
Клиффорд рассматривал также возможность пространства постоянной кривизны и конечного объема и признавался, что облегчение и утешение ему приносит надежда на то, что паше пространство именно таково, а не «уныло бесконечно» '". В чисто геометрической оболочке идеи Римана были быстро восприняты: началось развитие теории римановых пространств — многообразий, задаваемых по Рима- пу — своей метрикой в малом.
В механике н физике это дало свои плоды в ХХ в. при переходе от специальной теории относительности к общей. В знаменитой работе Эйнштейна 1916 г. читаем: «Математические средства, необходимые для общей теории относительности, были уже готовы в виде абсолютного дифференциального исчисления, основанного на исследованиях Гаусса, Римана и Кристоффеля, приведенного в систему Риччи и ЛевиЧнвита и уже примененного ими в проблемах теоретической физики» г'.
5. Применение языка многомерной геометрии в механике и физике было, как мы уже отмечали, делом более формальным: удобный способ выражения или записи результата без изменения содержания. Однако со временем это дало и качественный эффект. Не только удалось геометрически истолковать основные результаты аналитической механики предшествовавшего периода, но и углубить их или усилить. Во всяком случае это относится к пониманию и применению вариационных принципов механики за Чтобы охарактеризовать этот круг идей, рассмотрим движение точки единичной массы в плоскости под действием консервативной системы сил.
Обозначим декартовы координаты точки через х, у, потенциальную функцию — через У (х, у) и запишем уравнения движения и интеграл энергии х = —, у — —, ха+ у'= 2(у+ а) дУ - до' дх ' ду ' (массу полагаем равной единице, а Ь вЂ” постоянная интегрирования). Рассмотрим семейство траекторий, отвечающих фиксированному значению Ь. Любая траектория семейства выделяется из него чисто геометрически — заданиемначальной точки и начальной касательной (так как, зная хю ую (Ну/Их)„из интеграла энергии можно получить и х„ у„ правда, с точностью до знака,но эта двузначность, очевидно, несущественна). Используя интеграл энергии, без труда можно получить общее уравнение траекторий, куда не входит время: ~ди ди ~ дх +дуз ИхРу — Йуазх = ( — Йх — — Ну) (,ду д )З(и+а). С другой стороны, на основании результатов теории Гамильтона — Якоби — Остроградского, которую, применительно к данному случаю, можно изложить на геометрическом языке, интегрирование уравнений движения приводится к решению уравнения в частных производных (а) причем, получив О, надо положить ае ае д =х — =У.
дх ' ду (а ) Но последние уравнения показывают, что траектория движущейся точки пересекает кривую 0 = сопз1 под прямым углом. Если найдено решение уравнения (а), содержащее одну произвольную постоянную а,' О = / (х, у; а) (и зта постоянная входит в выражение хотя бы одной из частных производных дО/дх, дО/ду), то дифференцирование (и) по а дает зависимость ае аэе ае а е — — + — — =- О.
дх да дх ду даду (Р) Уравнение 6)) показывает, что кривые О = сопз1 и (дО/да) = сопзФ пересекаются под прямым углом, стало быть, кривые, полученные приравниванием дО/да новой посто- янной, т. е. определяемые уравнением (дО/да) = Ь, сов- падают с траекториями движущейся точки. Дифференци- руя (и) по Ь и учитывая (а ), получаем а ае — ( д)=1, — = +т, дз где т — новая постоянная. Таким образом, вся динамическая теория геометрически истолковывается в духе Гамильтона: интегрирование уравнений движения консервативной системы (с двумя степенями свободы) сводится к построению, для каждого значения постоянной,' интеграла знергии, некоторых систем взаимно ортогональных кривых. Эта интерпретация сразу увязывается с вариационным принципом. Покроем плоскость криволинейной ортогональной сеткой, как это делается в общей теории поверхностей по Гауссу.
Одна иа систем координатных линий — семейство траекторий движущейся точки О, = сопз$, уравнением второго семейства будет О = сопз1. Для злемента1 длины аг получим формулу «Ь« = Н««(0«+ Н,'«(О«, (Т) (Н, Н, — так называемые коэффициенты Ламе). Вдоль траектории 0« —— сопзФ имеем «Ь~~р Нз«10« т. е., если учесть интеграл анергии, «(г,'р — — 2 (У+ Ь) НР. С другой стороны, из (а) и (а') следует, что 2((~+а) = а х+ а у. ае ае . Это позволяет выразить Н« — геометрическую величину— через величины динамические 1 2 (У+Ь) ' Позтому соотношение (у) можно записать в виде 2(Н+Ь) з =,(О +БЕЧО,'. Отсюда получается такая характеристика действительных траекторий. Возьмем две кривые О = а„О = а«и рассмотрим дугу какой-либо траектории с началом на О = а, и концом на 9 = а«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
