Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Как уже сказано во введении, тем самым по-новому была поставлена проблема о взаимоотношении «геометрии — математики» и «геометрни — физики». Вопрос о природе пространства стал физическим, а не метафизическим. Так, Лобачевский пытался на основании астрономических данных установить, выводам какой геометрии они соответствуют. Гаусс, видимо, тоже намечал такой путь '. Для механики а то имело в первую очередь то значение,что в ней уже нельзя было говорить о пространственных (геометрических) свойствах, как о чем-то общепонятном или хотя бы общепринятом.
То оторванное от материи абсолютное пространство, которое явно вводилось (Ньютон) или подразумевалось (Лагранж), становилось фикцией. Немалое значение для механики имело другое выдающееся достижение геометрической мысли — многомерная геометрия. Импульсы для обобщения геометрических представлений на пространства четырех и большего, даже произвольного числа измерений шли с разных сторон, в том числе и со стороны механики: Лагранж в свое время обронил замечание, что механику моя«но трактовать как геометрию четырех измерений, считая четвертым измерением время.
В 30 — 40-е годы Х1Х в. многомерными образами пользуются в математическом анализе, в качестве примера можно сослаться на Остроградского и Якоби. Тем не менее «Учение о протяженности» Г. Грассмана, появившееся в 1844 г., где систематически разработано такое обобщение геометрии, не избежало обычной участи новаторских произведений: его оценили много позже. Но «Лекции о кватернионах» Гамильтона (1853) благодаря громкому имени автора и ббльшей доступности сразу нашли доброжелательный отклик. В те же 60-е годы, когда, наконец, восторжествовали идеи Лобачевского, и многомерная геометрия утверждается как признанная отрасль математики.
И она была необходима для геометризации механики: определение состояния механической системы по Лагранжу или по Гамильтону, т. е. путем введения должного числа обобщенных координат 'и импульсов, и определение положения «изображающей» систему точки заданием координат втой точки в соответствующем многомерном пространстве стали аналитически равноправными. Постепенно зто перестало пугать и наиболее консерватив- но настроенных механиков и физиков: применение в термодинамике, гидродинамике и других областях давления, плотности, температуры, энтропии и других характеристик в качестве параметров системы сделало привычным более широкое понимание «обобщенных координаты Но для механики оказалось существенным еще одно направление геометрических изысканий — работы, в которых создавалась внутренняя геометрия поверхностей.
Исходным был знаменитый мемуар 1827 г. Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» 4. Он положил «начало развитию дифференциальной геометрии как самостоятельной научной дисциплины» (А. П. Норден)». Геометрию поверхностей до Гаусса изучали в трехмерном евклидовом пространстве, т. е. так, как зто делает наблюдатель, как бы со стороны смотрящий на поверхность. Иначе говоря, поверхность (двумерное и дифференцируемое многообразие) вкладывалась в пространство более высокого числа измерений. Гаусс развил методику исследования поверхностей «в себе» с точки зрения существа, в ней находящегося, т.
е. искал такие свойства поверхности, которые ей внутренне присущи и не зависят от того, в какое пространство она вложена. Такой подход органически связан с исследованием микроструктуры геометрического образа: поверхность нельзя задавать извне, т. е. уравнением между тремя «пространственными» координатами, ее надо охарактеризовать с помощью только тех двух координат, которых было бы достаточно двумерному существу для ориентировки в поверхности, которых достаточно и трехмерному существу (человеку) для ориентировки на поверхности (например, на Земле). Но раз так, то не уравнение между координатами (их две, и они независимы), а закон их изменения при переходе от точки к точке должен определять поверхность в такой внутренней геометрии.
Фундаментальной оказалась формула для квадрата расстояния между двумя сколь угодно близкими точками Нг« = Е((и«+ Рг)ийи + СсЬ« (и, о — координаты, в общем случае криволинейные; Е, Р, 6 — функции от и, и) —. первая квадратичная форма поверхности. Гауссу же принадлежит введение понятия о полной кривизне поверхности и доказательство инвариантности этой кривизны при деформации изгиба- ния поверхности. Все это было связано у Гаусса с его геодезическими работами, но «несомненна и та роль, котору»о сыграли... Размышления Гаусса об основаниях геометрии.
Так, в письме к Хансену (1825) Гаусс пишет, что его исследование о поверхностях глубоко проникает в область метафизики пространства» (А. П. Норден) '. Но все это была еще только геометрия, хотя сам Гаусс, судя по косвенным данным, искал связи с естествознанием. Следующий важный шаг вперед, сближавший подобные геометрические исследования с механикой и физикой, был сделан Б. Риманом (1826 — 1866).
3. В 1854 г. Риман выступил в Геттингенском университете с пробной лекцией «О гипотезах, лежащих в основе геометрии»'. Зта работа Римана несомненно входит в список наиболее выдающихся научных произведений. Высказанные в ней идеи, хотя и не сразу, оказали глубокое влияние не только на развитие геометрии и математики в целом, но и на развитие физики и, в частности, механики. В биографическом плане это неудивительно: Риман занимался общими проблемами физики и его размьппления об основах геометрии связаны с его натурфилософскими изысканиями.
Идея единства сил природы, вдохновлявшая Фарадея, вдохновляла и Римана. В конце 1853 г. он писал брату, что снова взялся за исследование связи между электричеством, гальванизмом, светом и тяготением. В 1858 г. он сообщал сестре, что передал свое открытие о связи электричества и света Геттингенскому научному обществу. В обоих случаях Риман отмечал, что по многим дошедшим до него сведениям и высказываниям знаменитый Гаусс тоже занимался такими вопросами и построил соответствующую теорию, но поделился этим лишь с немногими ближайшими друзьями, обязав их хранить все в тайне '.
В неопубликованных при жизни автора фрагментах (в Собрании сочинений Римана они включены в раздел «Фрагменты философского характера» ') есть и набросок «молекулярной механики», однако в нем содержится зародыш нового подхода: Риман заканчивает заявлением, что воздействие, истолковываемое как притяжение и отталкивание материальных точек, «для всех известных явлений природы... может быть выведено и из взаимодействия двух соседних алементов пространства» '". Это намечало курс на построение теории близкодействия. В поисках такого построения Риман стремится рассмат- ривать теорию тяготения как теорию поля — для него введение потенциальной функции имеет не только формальное значение удобного приема. Идя по тому же пути, он приходит к формулировке вариационного принципа, охватывающего законы движения вводимой им гипотетической «единой субстанции» и законы действия силы тяготения на движение весомых тел ".
В этих удивительных, отчасти пророческих догадках, конечно, сказался дух времени. Заслуга Римана состоит в том, что он сумел, развивая метод Гаусса в дифференциальной геометрии, поставить вопрос о взаимоотношении свойств пространства и материи в форме, допускавшей дальнейшую математическую разработку, и существенно продвинуться по атому пути. В конце лекции «О гипотезах, лек«авших в основании геометрии» читаем: «Для объяснения природы вопросы о неизмеримо большом — вопросы праздные. Иначе обстоит дело с вопросами о неизмеримо малом.
От той точности, с которой нам удается проследить явления в бесконечно малом, существенно зависит наше знание причинных связей... Поэтому вопросы о метрических отношениях пространства в неизмеримо малом не принадлежат к числу праздных» ". Что же было сделано Риманом сверх того, что имелось в мемуаре Гаусса? Риман изучал «внутреннюю геометрию» пространства произвольного числа (в) измерений. Это и-мерное пространство задается аналитически как многообразие элементов (точек). Каждый элемент пространства определяется системой значений и независимых переменных (х„х„..., х„), геометрия пространства задается квадратичной формой от их дифференциалов, определяющей квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками: оз» = Хб,»дх.дх», (д,» = д»«; ~, й = 1,..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
