Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Остается еще указать на то, что связи у Остроградского предполагались пока стационарными, а в последнем параграфе он вкратце останавливается на случае нестационарных связей. Именно в этой работе Остроградского выведено все, что излагается обычно в курсах механики, если там рассматриваются системы с неудерживающими связями.
Даже стандартные примеры для пояснения теории идут от Остроградского. Как часто бывает с теми результатами, которые прочно вошли в обиход науки, они даются безымянно. Однако изложенное вьппе показывает, что авторство Остроградского в атом пункте следует считать единоличным. У Фурье, работу которого Остроградский знал, а, может быть, и у Гаусса он нашел только обобщенную формулировку принципа возможных перемещений. Поэтому неправ Журден, когда в своем комментарии к указанной выше работе Гаусса пишет, что Фурье, Гаусс и Остроградский дали эту формулировку независимо один от другого ". И совершенно неверно ориентируют читателя немецкая «Энциклопедия математических наук» и «НандЬпсЬ «)ег РЬузгй» (первое издание), потому что данные там исторические справки оставляют впечатление, что результаты Остроградского в некоторой мере были предвосхищены Фурье, Гауссом, Курно. В 1838 г.
Остроградский опубликовал «Мемуар о мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям» ". Мы рассмотрим ту часть мемуара, которая относится к механике систем с неудерживающими связями. При этом для краткости изложения не будем придерживаться обозначений автора. Пусть мы имеем систему и материальных точек с массами ты л»»,..., т„. Обозначим их координаты в неподвижной ортогональной декартовой системе через хы у„г,; х«, у, г,;...; х„, у„, з„, а проекции на те я«е оси приложенных к ним сил соответственно через Хы Уы Я,; Х„У«, Я»;...; Х„, У„, Я„.
Величины Х„..., Я, зависят в общем случае от координат точек, от составляющих их скоростей ах~ аю г'и — — — и от времени». Движение системы ограш и ''.' ы» ничено связями, заданными Й конечными соотношениями ~; (х„у„..., з„; Г) ) О, (1= 1, 2,..., к) (1) и 1 неинтегрируемыми дифференциальными зависимостями ~ (х»..., з; х',,..., г„'; 1) ) О, (/ = й + 1,..., й -(- 1), (2) кх» линейными относительно х' =— » лю '''' Для начального момента 1 = Г«задается состояние системы, т. е. задаются координаты и их первые производные по времени всех точек системы. Если связи заданы неравенствами, при составлении уравнений движения возникает следующее принципиальное отличие от случая удерживающих связей.
Надо установить, какие из связей (1) и (2) следует принимать во внимание. Если допустим, что мы как-то удостоверились, что они все должны быть приняты во внимание с момента « = г» и что мы можем проинтегрировать составленные при этом допущении уравнения движения нашей системы, то вопрос сводится к определению момента, когда наступает освобождение системы от той или иной связи.
Этот вопрос решается путем определения значений «, при которых изменяют знаки лагранжевы множители. В такой постановке Остроградский рассматривал проблему в работе 1834 г. «Общие соображения относительно моментов сил». Но такой подход еще иви 16* пе затрагивает сущности дела. Она заключается в том, чтобы указать, какие из связей (1) и (2) надо принять во внимание сразу, т. е. в момент ~ = ~„. С этой целью Остроградский рассуждает так. Возьмем, например, одно из уравнений (1) и разложим его левую часть в ряд Тейлора по степеням дг = г — ~э ) О до членов третьего порядка относительно й.
Нолучим эн Ло+ ~и 4~+ 6о 2 (3) Здесь коэффициенты Ло = Л (л э,", з.э, ~э) и у, (д~') + (~1~) ' +... + (~А) /и — — ( — ) х + ° +(д— ) з э+Аь где А; зависят только от начальных значений координат, скоростей и времени и, следовательно, являются извест- ными нам величинами, равно как и Теперь, если оказалось, что ~ю) О, то это обеспечивает соблюдение строгого неравенства ~; ) О в течение достаточно малого времен<утка времени й. Такая связь не стесняет движения системы при с = ~ и должна быть отброшена.
Итак, в дальнейшем надо рассматривать лишь связи Г'; ) О, для которых Л~ = О. Неравенство (3) переходит после сокращения на ог) О в неравенство сн Ум+ Ьо ~ ~ )О. (4) К этой форме приводятся и неголономные связи (2), поэтому в дальнейшем мы не будем иметь их особо в виду, а будем считать включенными в группу связей (4). Вычислим теперь все ~и. Если для какой-либо связи окажется, что ~ы ) О, то она не стесняет движения си- вычисляются по заданному начальному состоянию системы. Не так обстоит дело с ~~ю куда линейно входят начальные значения ускорений: стемы при г = г в течение промежутка времени от' и должна быть отброшена.
Сохранить надо лишь связи, для которых ~;, = 0 (и вместе с тем )ы — — О, если это голономная связь). Для них вместо (4) имеем, после сокращения на г)г!2, ~",) О, (1 = 1, 2,..., г; г~(й+1). (5) И, наконец, повторив прежние рассуждения, приходим к выводу, что принять в расчет надо лишь те связи, для которых неравенство (5) переходит в равенство, т. е. для которых у.;= 0.
(6) Но из связей (1) и (2) мы по значениям ~м = О, ~м = 0 могли выделить те г связей, для которых соблюдается, следовательно, условие (5), а отобрать из этих г связей те, для которых (5) переходит в (6), мы непосредственно не сможем, так как 1;, не вычисляются по начальному состоянию системы, поскольку содержат неизвестные нам наперед начальные ускорения. Как устранить это затруднение? До сих пор мы воспроизводили анализ Остроградского, один из важнейших вкладов его в механику, и этот анализ безупречен. Но следующий шаг, сделанный Остроградским, оказался огпибочным. В з 8 предлагается следующий способ отбора из г связей, для которых (3) и (4) сводятся к (5), тех, для которых (5) сводится к (6).
Возьмем в качестве з„,, з„, те значения ускорений, которые они имели бы в нашей системе, если бы она была освобождена от связей (см. в $ 8 рассуждения, предшествующие формулам (10) и (у)), т. е. вместо х„возьмем —;...; вместо Х1 . т 2„ г„, возьмем — и подставим их в выражения для ~щ, (1= == 1, 2,..., г). Те из этих вырангений, которые при этой подстановке окажутся положительными, соответствуют связям, не ограничивающим движения системы. Оставить надо те связи, для которых при этой подстановке значения Во (они обозначены у Остроградского через — У,— У„...,— см.
его формулы (у)) окажутся неполоягительными. 3. Этот метод окончательного, так сказать, отбора связей Остроградским пе обосновывается. Видимо, он считал его очевидным. Действительно, такой прием как бы под- сказывается обстоятельствами дела, но в данном случае «физическая очевидность» оказывается обманчивой. Метод Остроградского может дать ошибочные результаты в двух направлениях: следуя ему, мы можем отбросить связи, которые надо принять в расчет, и можем принять в расчет связи, которые в действительности должны быть отброшены, как будет показано дальше. Только в 1899 г. на ошибку Остроградского указал А.
Майер ", и по атому поводу он писал: «Его (Остроградского) рассуждение кажется на первый взгляд таким естественным и убедительным, что я долгое время считал его работу содержащей только пробел в доказательстве, пробел, который можно будет восполнить чисто математическим путем. Но в 1889 г. с помощью Штуди (Е. Я»пйу. — И.П.'1я пришел к выводу, что в „Мгновенныеперемещения" вкралось не упущение, а ошибочное заключение».
Это показано у Майера на примере. В работе Майера, кроме критической части, имеются и полон«ительные результаты. Ему принадлежит удачная идея применить в рассматриваемом вопросе принцип наименьшего принуждения Гаусса, согласно которому в действительном движении системы величина (~ = ~~'~ л»,((х,— — ) + (у, — — „, ) + (з,— — ) ~ должна достигать минимума по сравнению со всеми остальными движениями, допускаемыми пало'кенными связями.
Майер предлагает из подлежащих отбору связей (5) образовать все возможные комбинации по 1, по 2,..., по г — 1, по г и определять, в сочетании с ними, из условия минимума для ~ соответствующие значения ускорений х,«, у", з" Та из найденных таким образом систем значений х" у", г", которая не будет в противоречии с остальв«~ БО и«' ными уравнениями связи, является решением вопроса. Но найдется ли такая система и, если найдется, то только ли однаР Майер ставит этот вопрос и доказывает существование решения и его единственность в случаях г = 1 и г = 2. Это, конечно, не исчерпывает вопроса. Нроме того, метод проб, предложенныйМайером, не может считаться удовлетворительным. Статья Майера обратила на себя внимание геттингенских математиков, и в том»ке 1899 г.
Цермело ", исполь- зовав указание Гильберта, дал доказательство существования и единственности решения для любого г. Он пользовался при атом и геометрическими сообраягениями, но исходным пунктом, как у Майера, был принцип наименьшего принуждения. Укажем, что доказательство Майера— Цермело имеет принципиальное значение при обосновании определенности постановки задач для несвободных систем в классической механике. Для общего случая любых механических систем подобное доказательство в чисто алгебраической форме было проведено Гамелем в работе об аксиоматическом построении классической механики ". Но в метод проб Майера работа Цермело не внесла никаких улучшений, а какие-либо другие работы на зту тему нам неизвестны.
Сейчас, когда методы многомерной геометрии стали обычным средством, можно дать простую геометрическую интерпретацию излагаемой здесь задачи и получить ее решение проще и в более удобном для применения виде. Положим в основу, следуя Майеру, принцип Гаусса. Заметим, что значения Х„у„..., Е„нам известны в начальный момент г = г,. Введем в рассмотрение пространство Ъп измерений величин )'т,х„~т,у„)Гт,г, с евклидовым мероопределением. Тогда задача сводится к тому, чтобы определить в атом пространстве такую точку а с координатами ф 1В~хы ~/ и~~уга~,~ )/ ждат~ расстояние которой () от заданной точки р с координатами г'т г„ минимально, причем а должна лежать в области, ~Гт„ определяемой неравенствами (5), которые мы перепишем в виде ант„+... + амит"„а+ А; ) О, ~1=1,2,...,г; ап — — (а '),...).
(7) Среди этих неравенств некоторые могут оказаться следствием остальных, но противоречивых быть не может, если только движение системы при наложенных на нее связях возможно. Устранив излишние связи, можем считать систему (7) системой независимых неравенств. Она выделяет во введенном вьппе пространстве Зп измерений область Р, к которой надо отнести и ограничивающие ее части плоскостей аат„+... + аыз„, + А; =- О. (8) Область 77, в общем случае Зп измерений, как пересечение выпуклых областей )полупространств, определяемых каждым из неравенств (7)), выпукла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
