Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 46
Текст из файла (страница 46)
в данном случае опи должны быть положительными. Из формулы (6), подставив в нее соотношения (5) и приравняв нулю коэффициенты при бг, бв',... в силу их независимости (предполагается, что мы задаемся направлениями бг, Ьг',...), получим столько уравнений, сколько в системе материальных точек (и): Р сов е — и „ + Ха сов~р + ),а, сов у1 + ... = О, а(» сов в) Р' сов е — т' „, + Ха' сов ~р' + Х1а» сов <р, + ... = О, (7) Точно так же мы можем выбрать еще две группы направлений перемещений, чтобы получить все Зп уравнений движения. Эти уравнения совместно с наложенными на систему условиями (1) составляют уравнения движения Остроградского. Совпадая по форме записи с уравнениями Лагранжа первого рода, они отличаются от них тем, что в нашем распоряжении выбор направлений проектирования (А), (А'),..., (А,), (А,),...
Свобода такого выбора может дать значительные упрощения при решении отдельных задач, но при отсутствии векторных обозначений и языка многомерных пространств изложение общего случая получилось у Остроградского громоздким. Поэтому видимо, уравнения Остроградского пе привились. Остроградский еще раз возвращался к этому способу в «Мемуаре по общей теории удара» (паписанном в 1854 г.) ", но оп и сам не 'решился воспользоваться им в своем курсе «Лекций по аналитической механике» '. Сейчас уравнения Остроградского могли бы быть введены в изложение курса механики без затруднений, а переход к ним вместо жестко связанных с выбором координатной системы уравнений Лагранжа первого рода, па наш взгляд, полезен: развивает мьпплепие учащегося и дает ему более гибкое средство для решения задач механики.
Нечто аналогичное происходит при решении задач статики на плоскости, когда вместо стандартных уравнений равновесия (два уравнения проекций, одно уравнение моментов) начинают польвоваться там, где это удобнее, уравнениямимоментов относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, и т. п. 3. В том же мемуаре «О мгновенных перемещениях системз содержится еще одно существенное дополнение к «Аналитической механикее. Имея уравнения движения с неопределенными множителями и решая их совместно с уравнениями связи, мы можем расчленить выкладки на три части: а) исключить из этой полной системы уравнений все неопределенные множители, т.
е. реакции связеи; б) определить после етого координаты точек системы как функции времени и начального состояния системы; в) найти затем все множители (реакции связей). Остроградский дает в весьма изятном виде формулы для определения этих мноясителей через остальные величины, входящие в уравнения (время, координаты, скорости и ускорения). Эти формулы раз и навсегда решают и задачу а) и после решения б) сразу дают решение в). Удивительным образом в курсах механики весь этот вопрос остается в тени.
Его касается Якоби в седьмой из своих «Лекций подина- мике», причем он знал комментируемую работу Остроградского. Трактовка Якоби менее обстоятельна, ссылок никаких нет. В курсе Г. К. Суслова этот вопрос рассматривается, притом в частном виде, без ссылки на Остроградского и без использования его результатов. 4. Большой «Мемуар по общей теории улара« Остроградского в иавестном смысле завершает построение системы аналитической механики. У Лагранжа теория удара выглядела явно незаконченной.
Для Лагранжа кратковременные импульсы — толчки, передающие количество движения от одного тела к другому, не были исходным представлением. Он шел обратным путем — от непрерывно действующих сил к импульсам. Однако с аналитической точки зрения он не развивал теорию удара так, чтобы она составила точный аналог аналитической схемы, которая была дана для сил конечной величины. Кроме того, понятие связи, которое столь существенно для механики Лагранжа, по сути здесь им не было использовано.
Это должно было рассматриваться как пробел в системе аналитической механики. Остроградский при анализе явлений удара использовал результаты, о которых мы говорили вылив (см. п. 2): «Заимствуем общее уравнение движения из нашей работы о мгновенных перемещенияхэ,— пишет он в начале $ 8 мемуара '. Имеется в виду уравнение (5), приведенное в п. 2. К основной теме мемуара Остроградский переходит в з 9. Здесь разъясняется постановка вопроса: рассматривается удар вследствие внезапного наложения (или снятия) связи. При этом предполагается, что введенная связь сохраняется к концу того промежутка времени, когда прекращается действие ударных сил, и, соответственно, если удар возник вследствие уничтожения связи, связь эта не восстанавливается. Таким образом, дальнейший анализ охватывает случай неупругого удара. Исходным в атом анализе является преобразование общего уравнения из $ 8 с помощью интегрирования по времени от того момента, когда начинается удар.
В итоге получается «общее уравнение теории удара», которым заканчивается $ 9: Хтэ соз ойе = Хти соз абз + уМ + т~Мл + ° ° ° (8) Здесь т — масса одной из точек системы; и — скорость соответствующей точки в произвольный момент времени ~ + $, где $ ( т, т — продолжительность явления удара (фактически это уравнение применяется далее лишь для э = т); Л = О, Л,= О,... — уравнения связей, ограничивающих движение во время удара (и после него); ыс ыь ч= — \)Ю,ч,=1 Х,Ж,...; у с Х, Лп...
— множители, с которыми Ы, 6Ь„... входят в общее уравнение виртуальных работ; ю — углы, образуемые скоростями и с направлениями бе — виртуальными перемещениями точек т; и — скорости, которыми обладали бы точки т, если бы никакие связи не были наложены на систему, а утлыми для скоростей и — то же, что углы в для ш Благодаря введению скоростей и удается исключить из уравнения виртуальных работ сумму работ движущих (т. е. активных) сил.
Затем вводятся скорости: р — начальные, непосредственно предшествующие удару; р — вызванные только ударом; у — которые были бы вызваны ударом, если бы каждая точка была свободной и изолированной. Таким образом, и = р +,у, о = р + $' (плюс обозначает здесь векторное сложений). При этом иэ уравнения (8) получаем аналогичное уравнение (9), в котором вместо и, п появляются у, »' (см. З 10). Считая У известными величинами, выводим из (9) Зп уравнений для определения всех трех составляющих каждой из и скоростей» и для ~ величин ч, тм..., где ~ — число связей. Вместе с уравнениями, получаемыми дифференцированием уравнений связейЬ = О, Ь = О,..., они образуют систему уравнений, число которых равно числу неизвестных.
В 1 11 и 12 Остроградский показывает решение этой системы в общем виде двумя этапами: сначала он находит подсистему ~ уравнений с ~ неизвестными т, затем сразу получается решение второй подсистемы Ъп уравнений, из которых определяются скорости и. Попутно устанавливается, что определитель системы уравнений положителен. Вся эта выкладка по идее примыкает к тому изшцному способу определения лагранжевых множителей, который дан Остроградским в работе «О мгновенных перемещениях систем...» В последних двух параграфах мемуара с помощью выведенных общих соотношений Остроградский обобщает теорему Карно для неупругого удара (у Карно теорема дана для соударения двух тел). Эта часть работы обратила на себя особое внимание, так как вскоре дала повод к дискуссии.
А именно, в 1856 г. известный французский математик Ж. Бертран выступил в Парижской академии с «Замечаниями об одном мемуаре г-на Остроградского» '. Он указал, что в таком же виде теорема Карно была обобщена Ш. Штурмом в его статье, помещенной в тех же «Сошр1ез Вепйпз» ва 1841 г. Но тут же притязания на авторство предъявил и Коши, ссылаясь на свою статью «Об одном новом принципе механики» в «ВпПе0п йе Регпззас» за 1829 г. и на курс механики, который он читал в Политехнической школе в 1828 г. Для подкрепления своих притязаний Коши поместил в том же томе, где напечатана статья Бертрана, «Заметку о внезапных изменениях скоростей в системе материальных точек»'.
Тот, кто прочитает статью Штурма 1841 г., убедится, что в ней действительно сформулирована «Общая теорема» Карно, но без доказательства — приведены лишь соображения, так сказать, наводящего характера ". Формулировки же Коши в его статье 1829 г., воспроизведенные им с дополнительными толкованиями в указанной выше «Заметке», весьма расплывчаты, в них можно усмотреть лишь предпосылки для того, чтобы получить обобщение теоремы Карно. Не удивительно, что с резкой критикой притязаний Коши выступил П. Дюамель ", указавший, что, во всяком случае, он, Дюамель, дал более общую теорему, чем Коши, в заметке, представленной им Парижской академии в 1832 г.
и напечатанной в 1835 г.в «1опгпа1 «)е ГЕсо1е Ро1у«есЬп1нпе». Не будем приводить дальнейших подробностей этой дискуссии, принявшей весьма острый характер и сопровождавшейся личными нападками (в ней повторно выступали Коши и Дюамель, Бертран, участвовал и Понселе).
Вероятно, сказалась принадлежность участников дискуссии к разным политическим направлениям (католик и легитимист Коши был «правее» своих оппонентов). Во всяком случае в ней убедительно было показано лишь то, что обобщение теоремы Карно было сформулировано до работы Остроградского. Исчерпывающего же доказательства этой обобщенной теоремы, по-видимому, никто до Остроградского не дал. Мы еще раз хотим подчеркнуть то, что в истории аналитической механики мемуар Остроградского является первой работой, в которой задача теории удара, правда, только для случая вполне неупругого удара, рассмотрена в общем виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
