Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Майера «История принципа наименьшего действия» ". В этом пункте критика Остроградского оправдана теми неясностями, которыми страдает изложение вопроса в «Аналитической механике» Лагранжа. Однако по сути дела у Лагранжа ошибки нет. Недоразумения, вызванные изложением Лагранжа,— не единичный случай в истории вариационного исчисления и его приложений в период, предшествовавший работам Вейерштрасса.
Все они коренятся в недостаточно отчетливом определении понятия вариации, и эта недостаточная отчетливость идет опять-таки от Лагранжа. Чтобы выявить это обстоятельство в нашем вопросе, обратимся к изложению у Лагранжа, данному не в «Аналитической механике», а в ранней работе атого автора «Приложение метода, изложенного в предыдущем мемуаре, к решению различных задач динамики» ".
Лагранж исходит из обобщения эйлерового принципа наименьшего действия, согласно которому в действительном движении минимизируется ) тЖз (т — масса точки, п — ее скорость, «(з— элемент тРаектории). У Эйлера силы — центральные, точка — одна, никакой связи с законом живых сил в формулировке принципа нет. У Лагранжа предполагается тот же характер сил, обобщение первоначально состоит в том, что рассматривается система п точек. При ее движении должно иметь экстремум выражение Хл») эЖ Тогда по правилам вариационного исчисления, построенного Лагранжем в «предыдущем мемуаре» вЂ” знаменитой работе «Опыт нового метода для определения максимумов и минимумов неопределенных интегральных выражений» ", имеем дХт~Ы» = 0 = Хт(бгдг+ айаг).
(Т) Теперь Лагранж обращается к закону живых сил, беря его в виде — Хти» = сопМ + У, 1 2 где У обозначает некоторый интеграл. Отсюда следует, что Хтгби = Ь У, и с помощью этого соотношения иэ (у) исключается Хтдидэ. При атом Латранжу нет надобности «раскрывать» вариацию би = Ь(дг/л»), вследствие чего остается неясным, имеем ли мы !иг» иьз и» ыа ы бо = 6( — ) = — — — — + — Ы (ю) ~й л» м ~й или же т. е. варьируется ли время или не варьируется. Однако обращение к тому же «предыдущему мемуару» показывает, что Лагранж варьирует независимое переменное.
Он дая«е подчеркивает, что это является основанием большей общности его метода, чем метода Эйлера в вариационных задачах. Раз так, то количество независимых вариаций восстанавливается опять в числе, равном числу степеней свободы системы, и принцип наименьшего действия в форме Лагранжа,— как его рассмотренный только что частный вид, так и общая формулировка в «Аналитической механике»,— оказывается вне досягаемости выдвинутых против него возражений. Что время надо варьировать в принципе Лагранжа, было обнаружено еще в 1815 г.
Б. О. Родригом (В. 011 пйе Кой»16пеэ)»» в статье «О способе применения принципа наименьшего действия для вывода уравнений движения, отнесенных к независимым переменным», но эта работа оставалась незамеченной и неоцененной в течение нескольких десятков лет, и она, несомненно, была неизвестна Остроградскому. Что касается второго пункта критики Остроградского, касающегося вывода уравнений движения из вариационного принципа у Лагранжа, то тут можно повторить сказанное по поводу перв»го пункта: изложение Лагранжа дает все основания для критики, однако дело здесь не в исходных предпосылках; весь вывод можно построить безупречно, варьируя время.
При этом используется и метод неопределенных множителей, на необходимости чего настаивал Остроградский. Подобное, хотя и небезупречное, изложение было дано Родригом в работе, которую мы уже упоминали. Нельзя делать отсюда вывод, что критика Остроградским Лагранжа была излишней. Именно $ 5 и 6 «Мемуара об изопериметрах» значительно оживили интерес к вариационным принципам механики и вызвали ряд работ, способствовавших уточнению содержания этих принципов, а заодно и основных понятий вариационного изложения. В качестве следующей, третьей, части работы естественно выделить ~ 7 — И.
Здесь строится обобщение метода Гамильтона — Якоби интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Обширный $ 7 дает первый результат в этом направлении. Будем считать, что дифференциальные уравнения задачи проинтегрированы, неизвестные х; стали известными нам функциями времени и 2тл постоянных интегрирования. Вариации величин х;, стало быть, вызываются вариациями этих постоянных и времени. Тогда функцией тех же аргументов является 8 = ~Уй. В этой записи содержится в принципе бесконечно много видов функции 8 — это видно хотя бы из того, что можно исходить из разных систем интегральных соотношений, из разных систем постоянных интегрирования. Остроградский рассматривает выражение М вначале в самых общих предположениях и показывает, что при любом способе построения функции 8 имеем соотношение (дед~) = К. Если в качестве постоянных интегрирования принять а; — начальные значения величин х1 ~, т.
е. аначения, соответствующие нижнему пределу т в интеграле ~ Уй, мы приходим к формулам дЯ ду ь ° ~с ю эхин> га здыо 1 "1 где а; г — новые постоянные. В $8 этот результат так же, как в динамике, приводит к уравнению в частных производных для функции Я— обобщению уравнения Гамильтона — Якоби. Тут же докааывается обратная теорема: всякое полное решение этого уравнения дает общий интеграл соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Впрочем, адесь доказано больше: показано, что всякий неполный интеграл этого уравнения дает интегралы исходной канонической системы в количестве, соответствующем количеству входящих в него существенных произвольных постоянных.
При чтении этих параграфов может возникнуть такой вопрос: нельзя ли было заключить о наличии всех этих соотношений и зависимостей на основании только ссылки на то, что рпз построена такая же система обыкновенных дифференциальных уравнений, как и в динамике, то для нее должна быть верна основанная лишь на общих свойствах такой системы теория Гамильтона — Якобинц Иными словами, не мог ли здесь Остроградский ограничиться простым воспроизведением известных результатов, как только он получил для рассматриваемой вариационной задачи систему канонических дифференциальных уравнений3 Такие соображения кажутся напрашивающимися современному читателю, но считать их таковыми в 40-х годах прошлого столетия значило бы терять правильную историческую перспективу.
Все изложение вопроса у Гамильтона было проведено исключительно в рамках динамики и, как мы знаем, было вдохновлено определенными физическими представлениями. В опубликованных к 1848 г. работах Якоби результаты Гамильтона были упрощены и обобщены, но не далее простейшей изопериметрической задачи, когда в подынтегральные выражения входят только первые производные искомых функций.
В теории же уравнений в частных производных первого порядка вопросы связи с системами обыкновенных дифференциальных уравнений были разработаны далеко не полностью. Якоби ими занялся, вероятно, в связи с задачами динамики,и его результаты не могли быть полностью известны Остроградскому. Исследование канонических систем в общем виде только начиналось.
Поэтому Остроградский никак не мог ссылаться на зти аналогии, которые теперь кажутся очевидными. Наоборот, его тщательный анализ более общего случая явился существенным этапом в разработке и уяснении таких аналогий. В З 9 и 10 подробно проведено исследование интегралов канонической системы дифференциальных уравнений в предположении, что эта система обладает (обобщенным) интегралом живых скл. Выясняется в известном смысле особая роль этого интеграла, выявляется значение дифференциальной формы Х $ькЫх; и связь условий ее интегрируемости с определением интегрирующих множителей для системы канонических уравнений.
В $ 11 разобрано несколько примеров. Последнюю часть работы образуют заключительные четыре параграфа (12 — 15). В них излагается теория возмущений для канонических систем. В $12 Остроградский подробно разъясняет ту принадлежащую ему трактовку вопроса, которая выпукло изложена в его работе 1829 г. о вариациях произвольных постоянных". В ходе выкладок, естественно, возникает необходимость вычислять скобки 11уассона.
Для канонических систем это вычисление чрезвычайно упрощается — упомянутые скобки принимают только значения нуль и единица. Это доказано в $ 13. Опираясь на этот результат, Остроградский в последнем параграфе показывает, что для элементов возмущенного движения снова получается каноническая система уравнений. После этого он доказывает в общем виде теорему Пуассона, позволяющую по двум интегралам исходной системы дифференциальных уравнений строить новый интеграл. Последний параграф является дополнением к з 12 и 13. И в этой части работы результаты Остроградского взаимно перекрываются с результатами Якоби, которые изложены в 34, 35 и 36-й «Лекциях по динамике». Взаимную независимость обоих авторов и приоритет Остроградского в публикации мы уя«е отмечали.
Интересно сопоставить методику изложений этих анаменитых математиков. Остроградский стремится к тому, чтобы провести выкладку в возмоя«но более общем виде, откуда тот большой объем алгебраических преобразований, который, по справедливому замечанию Рауса, затрудняет читателя. Якоби старается возможно более простыми средствами показать, что теория, которую он строит, входит составной частью в более общие проблемы теории дифференциальных уравнений. Сохранился черновик письма Остроградского Н. Фуссу, тогда непременному секретарю Академии наук ««, в котором содерн«ится характеристика результатов комментируемого мемуара, предназначенная, видимо, для отчета о работе академии за 1848 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
