Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поэтому, имея в виду все время непосредственно 6 (Ф"«11), а не 61 $'Ж, Остроградский говорит об условиях преобразования такого выражения в точный дифференциал, что для задачи в интегральной иит 15* форме при закрепленных концах дает условия обращения вариации интеграла в нуль. Вызванное этим своеобразие формулировок, по крайней мере их внешнее отличие от обычных формулировок в вариационном исчислении, следует постоянно иметь в виду при чтении мемуара. Основной результат содержится в $ 2 в это преобразование дифференциальных уравнений рассматриваемой вариационной задачи к каноническому виду.
Естественным образом в преобразованиях появляются величины $с.: — аналоги обобщенных импульсов динамики, двойная сумма Х Х $ь . х — аналог живой силы, которую Остроолп ~=1 к=о градский и обозначает, следуя стандарту, через Т, и аналог гамильтоновой функции, которая обозначена через О. Вывод окончательных уравнений, в общем, несколько громоздок, и в конце параграфа указано на возможность упрощений. Наконец, в З 3 дается еще один вывод тех же уравнений. При этом подчеркивается то обстоятельство, что ме»кду каноническими переменными, по допущению, нет никаких зависимостей.
Если бы такие зависимости были наложены, надо было бы их учесть либо путем уменьшения с их помощью числа неизвестных, либо методом неопределенных множителей. Но рассмотрение этих случаев (условного экстремума) Остроградский оставляет читателю, не считая, видимо, существенным такое обобщение. С атой точной зрения вряд ли можно согласиться. Основной результат, изложенный в $ 2, в современной литературе по вариационному исчислению совершенно не связывается с именем Остроградского. Например, в книге У. А.
В11зз «1,есФпгез оп 1Ье са1си1из о1 чаг1а$1опз» (Срйсаяо, 1946), в которой исторические справки даются не скупо, в этой связи упоминаются лишь имена Гамильтона и Якоби. Но первый рассматривал только задачу динамики, а соответствующие результаты Якоби (1804 — 1851) публиковались лишь после его смерти. В девятнадцатой из своих «Лекций по динамике» Якоби придает каноническую форму уравнениям изопериметрической задачи (та же терминология, что у Остроградского), когда подмиге.
гральная функция содержит несколько неизвестных функций с производными лишь первого порядка. Там же оп указывает, что результат обобщается на случай производных любого порядка (т. е. на случай, рассмотренный Остроградским), но это было доказано им в работе, впервые опубликованной Клебшем вместе с «Лекциями» в 1866 г. Раус в уже цитированной «Динамике» дает удачный (в силу его компактности) вывод результата Остроградского со ссылкой на мемуар об изопериметрах; Уиттекер в его известной «Аналитической механике» ссылается на работы Донкина (Поп)с>л) 1854 г., которые, по нашему мнению, к этому вопросу не относятся. В з 4 содержится важное обобщение интеграла живых сил динамики на тот общий случай, который рассматривается Остроградским.
Тут показано, что если в функцию У независимое переменное С входит так, что дГ,>дС зависит лишь от С, то имеет место соотнотнение д откуда, интегрируя, получаем, что >8 — ~ — с>С = сонэ» (В = Р— Т). с д>с дС Последнее соотношение в частном случае динамики превращается в интеграл живых сил. Основной результат, полученный в $ 2 «>Мемуара об изопериметрах», можно короче получить, как мы упоминали выше, следующим образом. Пусть в (а) Р есть функция от С и т переменных хс, равно как и их производных по С до порядка и включительно.
Пусть ду — ~~С ~ С, С " ~Ь-», С х».= —, х, =х, — — '' + ''+ ш« (>=1,2,..., в). В силу такого определения имеем — д>с — — д>' Х«,с= д — Хс,с, Хс,с= —,— Х»,ь..., (9) дх« где штрихи обозначают дифференцирование по С.
Предпоследним соотношением в (9) будет — д>с Х... Х„ ц дх>С" '> дСС последним — Х„д = д <„>. Условия экстремума в этихобо- С аначениях запишутся в виде Х«,с — — О. В предположении, что У не содержит производных от х; по ( выше первого порядка, Гамильтон исключил эти др производные х;, вводя новые переменные Х,(= д ' ' В данном случаеисключвм таким же образом высшиепроизводные х;, введя вместо них т новых переменных Х„„и пусть В = г — Х(Х(,(х;+ Х, (х, + +Х„,(х(")).
4 Пусть х(") определены из уравнения Х„,( = (д$"/дх„() и их значения подставлены в О. Теперь 6 есть функция от (, х("-') н х(1 х('"' ( 1Хю( ° Дифференцируя, получим де д ыхн (а> дХ, ' д( ( вхь ( если >(+ 1 ( л. В последнем случае ((( д6 ду д*( (х) (д) = — — х( — Х„( дХ„( дх("> дХ„( но последний и первый член в правой части последнего равенства взаимно уничтожаются, следовательно, (10) имеет место и при и + 1 = — п. Кроме того, де дУ д(( дх," дх,." дх(Д> дх('> дх(") дх(х) ' ' дх( х( "( х( ( ) Но здесь второе и четвертое слагаемые в правой части взаимно уничтожаются, а первое и третье, согласно (9), дают Хэ+ь ( — — с)Хх> ь ((с)(.
Следовательно, все эти уравнения записываются в виде дэ Н х д8 д дХ. д( ' дх(а> = — — х(х>, — = — — Ххх, (, ык( х( где х = О, 1, 2,..., и — 1; ( = 1,2,..., т, что и дает каноническую систему 2ит дифференциальных уравнений первого порядка.
7. Следующую часть работы составляют $5 и 6. Интегрируя уравнение иэ Э 2 (зто уравнение является аналогом «общего уравнения», или «символического уравнения», динамики и содержит в себе дифференциальные уравнения задачи, будучи в свою очередь эквивалентно совокупности этих уравнений), Остроградский получает формулу, которая «заключает, как весьма частный случай, динамический принцип наименьшего действия» (ч 5).
Надо иметь в виду, что слова «принцип наименьшего действия» здесь обозначают, собственно, любой интегральный вариационный принцип механики, т. е. как принцип Лагранжа, так и принципы, введенные Гамильтоном. Сама же формула такова: т «-1 НВ+ ,'~~ "~~ ~,. бт1ю = 6 ~ $"й+ сов»~. ф) ~=~ »=» Такое словоупотребление в физической литературе сохранилось и поныне. Например, М. Планк, когда пишет о принципе наименьшего действия, в качестве его авторов называет как Мопертюи, Эйлера, Лагранжа, так и Якоби и Гамильтона. Планк говорит, например, о гамильтоновой форме принципа и гамильтоновом действии. Мы будем придерживаться установившейся теперь в теоретической механике терминологии, по которой принцип наименьшего действия (в общей форме он появляется впервые у Лагранжа) формулируется только равенством б) ТЖ = О.
Формула же Остроградского является широким обобщением вариационных принципов динамики. Накладывая те или иные условия на входящие в эту формулу вариации, получим, в частности, результаты, соответствующие принципам стационарного и варьирующего действия. Поскольку у Остроградского исходной являлась дифференциальная форма задачи, на что мы уже обращали внимание, он сначала получил дифференциальные уравнения задачи и из них вывел интегральное соотношение (р).
Поэтому в его изложении зто 'соотношение играет второстепенную роль. Он пишет о формуле (р): «не думаем, чтобы можно было ее рассматривать с той точки зрения, которую мы избрали, не только как принцип, но даже как теорему». Затем разъясняется значение вариационного принципа для динамики.
Накладывая дополнительное условие обращения в нуль вариаций г и хч на границах интегрирования, Остроградский получает свой результат в виде фЖ и продолжает: «Нам нечего было бы добавить к принципу наименьшего дейотвия, если бы геометры, занимавшиеся этим принципом, остановились на уравнении (22), но они пошли далее: они скомбинировали это уравнение с дифференциалом, характеризуемым знаком 6, из уравнения, представляющего закон живых сил...» Этим замечанием Остроградский начинает свою критику принципа наименьшего действия Лагранжа, что составляет основное содержание рассматриваемой части работы. В первом письме Н.
Д. Брашману" Остроградский выразился безоговорочно: «Согласно Лагранжу, минимальным является интеграл ~ТЖ, но его анализ неправилен». В «Мемуаре, об изопериметрах» такого утверждения нет, здесь критика направлена, собственно, на то, что при использовании интеграла живых сил нельзя не ограничить «общности вариаций, которые обозначены через 6,..., в то время как они сначала были вполне произвольными.
Это весьма простое замечание как будто ускользнуло от внимания Лагранжа...» По этой причине при выводе дифференциальных уравнений движения из принципа наименьшего действия «анализ великого геометра не точекю Чтобы исправить рассуждения Лагранжа, нужно, трактуя задачу как задачу на условный экстремум, ввести неопределенный множитель. Анализ Остроградского в з 6 исходит из такой постановки вопроса. Таким образом, в критике Остроградского можно выделить два пункта. Один касается самого принципа наименьшего действия у Лагранжа, другой — вывода уравнений движения Лагранжа из принципа наименьшего действия. В первом пункте Остроградский не был одинок — он имел и предшественников, и последователей.
Якоби в «Лекциях по динамике» говорит о принципе наименьшего действия: «Этот принцип почти во всех учебниках, даже в наилучших — Пуассона, Лаграня«а н Лапласа, излагается так, что его, на мой взгляд, нельзя понять». Видоизменение принципа, предложенное в связи с этим Якоби, явно основано на том же взгляде, который отчетливо сформулирован Остроградским: раз принимается допущение, что имеет место интеграл энергии Н=Т вЂ” У=сонэ», то отсюда следует в качестве условного уравнения ЬТ— б У = О, система с и степенями свободы фактически превращается в систему с н — 1 степенями свободы и налицо, следовательно, не и, а только п — 1 независимых вариаций. Между тем в выводах Лагранжа это не учитывается. Та же точка зрения проводится и вдостаточно популярной в свое время работе А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
