Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Нам надо найти точки а этой области, для которых расстояние от заданной точки р достигает минимума. В силу замкнутости и выпуклости области 77 она ограничена выпуклой поверхностью, находящейся на конечном расстоянии, а потому в области 77 существует одна и только одна такая точка а. Если точка р оказывается внутренней точкой или точкой границы 77, точка а с нею совпа- Рис.
7 Рис. 6 дает, величина О достигает своего абсолютного минимума — нуля, а уравнения движения могут быть определены по методу Остроградского. Мы подставляем координаты точки р в неравенства (7), и результаты подстановки либо все болыпе нуля (тогда все связи надо отбросить), либо некоторые из них меньше нуля, другие равны нулю и только соответствующие последним связи ограничивают движение системы. Но если точка р вне В, точка а будет точкою границы Р, и уже в случае г = 2 можно, следуя Остроградскому, получить неверный результат.
Для иллюстрации возьмем случай Зп = 3 (см. рис. 6, 7, построенные в плоскости, к которой перпендикулярны по допущению две плоскости, соответствующие наложенным связям). Область Π— угол с включением его сторон Ь, и Ь и вершины. Если точка р занимает положение р', показанное на рис, 6, точкою а будет точка О, стало быть, надо принимать в расчет обе связи, тогда как ~, (р') ) О, и эту связь, по Остроградскому, надо было бы отбросить. Если же точка р занимает положение р" (рис. 7), точкою и будет основание перпендикуляра, опущенного из на ~, = О, и только эту связь надо принять во внимание.
По Остроградскому же обе связи ограничивают движение, так как ~, (Р")(О и 7з (()") с О, Из нашей геометрической интерпретации следует также, что в основном случае, когда р ~=- й, связи, фактически ограничивающие движение системы, определяются точкой а — это те из г плоскостей (8), на которых лежит а. Чтобы найти а, следует сначала подстановкой координат точки р в уравнения (8) определить ее расстояния от этих плоскостей и затем координаты оснований перпендикуляров, опущенных из р на ати плоскости. Если минимальному расстоянию соответствует основание перпендикуляра, удовлетворяющее всем неравенствам (7), наша задача уже решена.
В противном случае провернется следующее по величине расстояние. Если и оно не удовлетворяет условиям (7), то надо сравнивать остающиеся расстояния не только между собой, но и с расстоянием от р до линии пересечения уже проверенных плоскостей и т. д. Заметим, что при проверке первых двух связей, которым соответствуют два наименьших расстояния от (1, никаких уравнений решать не нужно. И вообще наша геометрическая интерпретация, по крайней мере при небольшом г, почти сразу указывает на решение задачи и значительно сокращает число проб, которые пришлось бы сделать по Майеру. Допущенная Остроградским погрешность касается только критерия отбора связей при составлении уравнений движения системы и совершенно не влияет на все дальнейшие выводы и выкладки.
В З 9 — 11 как раз и выведены уравнения движения (в форме Лагранжа первого рода) в соответствии с теми общими установками, которые развиты в первых шести параграфах. Тем самым зти уравнения установлены для систем с неудерживающими связями. При атом не имеет значения, зависят связи от времени или не зависят, как видно из изложенноГо выше. Надо обратить внимание на то обстоятельство, что в случае г = 1 предложенный Остроградским критерий справедлив, в чем легко убедиться из физических соображений. Возьмем для наглядности одну частицу; отнесем ее к декартовым прямоугольным координатам х, у, х и пусть к ней приложена движущая сила Р (Х, У, Я) при наличии неудерживающей связи ! (х, у, г, !) ) О, причем для начального момента г = ! имеем ! = О, (и!/и!) = О.
Для Р!!Ы!» имеем — =- — х" + — у" + — х" + А = ягад /и + А, д'! д! . д! . д! Ш' дх ду дх где в А входят лишь координаты и их первые производные, а также время; и — вектор ускорения частицы. Теперь, следуя Остроградскому, надо действовать следующим образом: подставляем в д'!IН»» то значение ю, которое соответствует освобоя«целию частицы от связи, т. е.
ее движению по закону ти = Р. Получаем стад !Р + ги Если это выражение больше нуля (для начального момента), частица начинает движение как свободная, так как нет противоречия между наложенной связью и законом движения лип = Р. Если оно равно нулю или меньше нуля, связь ограничивает движение частицы, уравнение движения надо брать в виде тш = Р+ Л и нетрудно получить общее выражение для В, как показано в «Теоретической механике» Г. К.
Суслова Я 120). Однако уже при двух связях начинает сказываться эффект, можно сказать, их взаимодействия. Вследствие этого, как показано выше, критерий Остроградского может приводить к неверным заключениям. Поэтому неправильно и заключительное замечание в э 121 «Теоретической механики» Суслова: «Когда одна из связей или обе неудерживающие, ход решения будет тот же, что и в $ 120» (где рассматривается случай одной связи).
ГЛАВА ПЯТАЯ Поеледиие дееятилетия Геометризвция механики 1. Те примерно семь десятилетий, которые прошли от первого издания «Аналитической механики» Лагранжа до смерти Остроградского, дали науке очень много. Это в полной мере относится к теоретической механике. В 1788 г. можно было бы говорить только об одной школе теоретической механики — французской (собственно, еще уже— парижской): в России после смерти Ломоносова и Эйлера на некоторое время значительно снижается продуктивность Академии наук, в Пруссии и других немецких государствах, в раздробленной Италии работают только одиночки; в Англии теоретические исследования отходят на второй или третий план, а вне этих стран физико-математические науки почти совсем не представлены.
В 60-е годы Х1Х в. в новую общественную эпоху (после деятельности Остроградского — в России, Якоби — в Германии, Гамильтона и Грина — в Англии) во всех этих странах, равно как во Франции, ведется исследовательская работа в области механики; значительно оживляется научная жизнь в Италии и скандинавских странах, формируются научные центры в СП1А; наука, в течение нескольких столетий только европейская, начинает создавать свои базы на других континентах. Занимаются механикой не только в академиях наук, но и в университетах и быстро растущих технических вузах. Успехи механики связаны теперь с работой не только теоретиков с математическим уклоном, но и физиков, в том числе экспериментаторов, и инженеров.
Механика в середине Х1Х в. включает в себя гидро- динамику не только идеальной, но и вязкой жидкости, теорию упругости, подходит к изучению пластических деформаций, начинает смыкаться с термодинамикой в задачах внутренней баллистики и газовой динамики. Но главные свои проблемы она унаследовала от предыдущей эпохи — «от Лагранжа до Остроградского», и она будет их решать под влиянием успехов и срывов своей предшественницы. Этих главных проблем три, и преимущественная роль одной из них характерна для трех основных направлений, которые выделяются в механике первой половины века (им посвящены соответственно вторая— четвертая главы книги).
Одна из трех главных проблем — повышение эффективности аналитического аппарата теоретической механики. Теория Гамильтона — Якоби — Остроградского была здесь высшим достижением, она во многом определяет направление исследований последующих десятилетий. Вторую главную проблему можно охарактеризовать как проблему внедрения, проблему перехода от теоретических результатов к техническим, и не только чисто техническим применениям.
Именно это вдохновляло представителей «индустриальной механики» или тяготело над ними. Иной раз вопрос ставился крайне остро вплоть до признания построений теоретической механики принципиально непригодными для технической практики. Успехи механики деформируемых сред сняли такую постановку вопроса, и в этом историческая заслуга механики первой половины Х1Х в. Постепенно общим стало убеждение (его хорошо выразил, например, Ляме в своих «Лекциях по теории упругости»'), что «настоящая механика» раньше или позже полностью решит выдвигаемые техникой задачи, но покамест надо создавать «науки переходного типа». В таких науках полученные теорией решения упрошены для практического использования, а в задачах, которые теория не может полностью исследовать, применены приближенные методы и использованы эмпирические данные Пример последовательного выполнения атой программы— работы такого замечательного ученого, как Сен-Венан.
Та техническая дисциплина, которой дали имя «сопротивление материалов», сформировалась под влиянием подобных взглядов. Следующие десятилетия Х1Х в. мало что здесь изменили. Известная перестройка взглядов в этой области приходится уя«е на ХХ в. Еще одна главная проблема механики — проблема ее основ, физических основ. Решить зту проблему на путях «молекулярной механики» было тем идеалом, которым вдохновлялись виднейшие ученые первой половины века. Идеал оказался недостижимым.
Это было неудачей, но неудачей плодотворной: она выдвинула «метафизические» вопросы (которые оказались «метамеханическими») о пространстве и времени, о системах отсчета, об относительности движения, она заставила снова заняться взаимоотношением механики и других физических дисциплин, и зто оказалось неотделимым от решения кардинальных вопросов всей физики.
По этому пути шли к теории относительности. Итак, механика эпохи от Лагранжа до Остроградского — необходимое звено в развитии науки. Ее вклад не поражает, но внушителен. Как своими достижениями, так и своей незавершенностью она подготавливала новую »лоху в науке. В этом деле механика последних десятилетий Х1Х в. — ее непосредственное продолжение. Но в последние десятилетия века закономерно выявляются и некоторые новые особенности развития механики. Одна из них уже получила свое название в литературе — зто геометризация механики. 2. Строго говоря, развитие механики всегда происходило в тесной связи с развитием геометрии. Это справедливо и для античной науки, и для нового времени.
Но во второй половине Х1Х в. во взаимоотношениях механики и геометрии стали выявляться новые грани зтих наук. Это стало возможным как благодаря достижениям геометрии, так и вследствие совершенствования аналитического аппарата механики. Как известно, великое открытие Н. И. Лобачевского и Я. Боян — построение геометрической системы (так называемой гиперболической геометрии),логически равноправной с геометрией Евклида, — имело глубоко принципиальное значение для всего естествознания. При жизни Лобачевского его труды не принесли ему признания, Боян оставался неизвестным еще дольше.
Но с 60-х годов Х1Х в., не без влияния одобрительных отзывов Гаусса, опубликованных после его смерти, Лобачевский становится знаменитым. (Гаусс, как стало известно после изу- чения его архива, еще раньше' пришел к выводу о «не- единственности» евклидовой геометрии) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
