Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При движении из какой-то начальной в конечную точку по траектории будет «(От = 0 и, следовательно, интеграл ) )~'2 ( У + Ь) с«г, взятый по дуге траектории, равен )о9 = ૠ— а,. Тот же интеграл, взятый от той же начальной до той же конечной точки по ..6.« .~" ~ Р- ~. Р- . 1У~~ + ~'а'., ~„~ «, т. е. заведомо будет больше. Таким образом, получается доказательство принципа наименьшего действия в форме, приданной ему Якоби ", притом в усиленной формулировке: «действиез на реальной траектории имеет з«инимальное значение по сравнению со всеми другими допустимыми кривыми ". 6. Изложенная в предыдущем пункте геометрическая интерпретация обобщается на случай произвольной (консервативной) механической системы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода или каноническими уравнениями. Чтобы показать это, нужно, во-первых, обобщить теорию геодезических линий на пространство любого числа измерений, "во-вторых, нужно обобщить указанные выше соотношения механики для системы с любым числом степеней свободы.
Первая задача была выполнена Бельтрами в 1869 г. з', вторая — Линшицем в 1871 г. '" Сопоставление их результатов с целью геометризации общей проблемы динамики с полной отчетливостью было проведено Г. Дарбу (1842 — 1917) в его классическом курсе теории поверхностей (1888) ".
Рассмотрим вкратце эти результаты; начнем с геометрии. Согласно Бельтрами (и Риману!), вводим основную метрическую форму ~(а = ныл,НД (а) (д; — координаты, 1 = 1, 2,..., и); при повторяющихся ийдексах ~', к подразумевается суммирование от 1 до и, как принято в тензорном исчислении.
Эта квадратичная дифференциальная форма по условию является положительно определенной. Две системы дифференциалов координат (Ыд; и бд~) определяют два смещения Иг и бз из одной и той же исходной точки, угол (дг, ба) между ними определяется условием а;нбвд;йз соа(Нг, бг) = (Ь) —," 67,=О, аш поэтому условие ортогональности линии, смещение вдоль которой определяется дифференциалами Ндь (~' = 1,... ..., п), и поверхности (с) записывается в виде аы дд;Нд~ — — О.
(е) В формулах Щ и (е) коэффициенты при бд~ должны быть (очевидно, правая часть здесь по модулю меньше единицы). Поверхность в пространстве, характеризуемом метрикой (а), определяется уравнением вида ~р И~,", а.) = О, (с) линия — системой уравнений д; = д, (О, г' = 1,..., п, где ~ — параметр. Смещение бд; на поверхности удовлетворяет условию пропорциональны (в любой точке), откуда, беря коэффициент пропорциональности в виде Лог, получаем дрт др а.г — = Л вЂ”. сЬ дд;' Обозначим определитель | аы ~ через О, алгебраическое дополнение' элемента аы в нем — через Аы.
Решая систему (р) относительно Ид; ЙЬ, получим Ыд~ Аы дф — =Л— (а) сЬ Р дрт' др,. доз Но аы — ' — = 1 и на основании (р) и (я) это дает нам, Ыз дв что Аы дф дф Р д;дрз Аы де де Выражение ~ — — д, построенное для любой функции рг Чт 9 с помощью метрики (а), будем обозначать, следуя Дарбу, Д 9. Итак, Л' = ФДф). Вместе с тем из того, что дд; дчт ап — — = 1, да <Ь (Ь) и на основании (р) следует, что Л вЂ” — '=1, дф др1 др1 д5 $ нф Л 6Ь (Ь') Сравнение (Ь) и (Ь') дает зависимость (дф 12 ива что доказывает инвариантность Дф относительно преобразований, сохраняющих метрику.
Формула (1) выражает изменение параметра поверхности (с) вдоль линии, ортогональной к этой «эквипараметрической» поверхности. Это делает очевидным физическое истолкование приведенных геометрических сообра- жений. Но для дальнейших аналогий поставим еще вопрос о приведении квадратичной формы а(га к виду два + У (аада ° ° ~~оп), где) представляется суммой и — 1 квадратов относительно Ид„, Ид„, а т и Π— функции от д„..., д„. Так как агав (ИОЧт) доля<но быть положительной квадратичной формой только от и — 1 дифференциалов, то система уравнений д ~ , де а т дв — ~Ига — — ) = ад,а1уг — — — а19 = О, (Е = 1,..., и) два~ т) ' т дт должна иметь равный нулю определитель.
Присоединив к этой системе тождественное соотношение —,(в,— (9= О дв дд; и исключая из этой расширенной системы аае, Ыд„... ..., а1д„получим (см. выше формулы (1), (я), (Ь)) т = ДО. Найденное представление метрики ~г '= лв +~(а(~" где 1 — положительно определенная квадратичная форма дифференциалов ранга и — 1, имеет ясный геометрический смысл. Введем поверхность О = сопаа и угол между такой поверхностью и элементом кривой ааг согласно формуле = а1га1п(9, а(г).
до Уле Это согласуется с предыдущими определениями, так как в случае ортогональности получаем по выведенным формулам эапа (9, ааг) = 1. Аналогично угол между двумя поверхностями (9) и (9,) определим формулой .(9,9,) = = л (о, в,) р"ле у ле, где .4аа до деа Л (О, 9,) =- Р два два Все эти определения инвариантны в прежнем смысле. Как же эффективно выделить НОЧЛО в представлении (а)? Пусть входящая в (л) функция г представлена как сумма и — 1 квадратов. Если приравнять каждый из них нулю, получим п — 1 уравнений в полных дифференциалах. Допустим, что мы нашли п — 1 независимых интегралов этой системы: О = сопзс,..., О„г — — сопзС.
Функция О, как функция от д„, д„, не может зависеть от О„, О з, так как в противном случае, приравняв нулю ИО„, НО, т, мы получили бы и ИО = О, т. е. форма Изз оказалась бы ранга и — 1, а не ранга и. Это означает, что прн переходе от координат д„ , д„ к координатам О, О„..., 0„ т первое слагаемое в (а) останется без изменений, а во втором слагаемом О не появится: ав~ с?з' = — + ~~ (ИО„..., сЮ„-,). Мы получили теорему Бельтрами: Преобразованием переменных, которое требует только интегрирования и — 1 обыкновенных дифференциальных уравнений, положительно определенную квадратичную форму ~?зз можно привести к виду ,?з =,э+~,(ИО„...„?0„,), (1) где 0 — произвольно выбранная функция, ограниченная только условием Л 0+ О.
При ЛО = 1, в частности, имеем ?зз =?О + 1,(?О„...,?О„,). 7. Как связать эти соображения с задачей об отыскании геодезических линий, т. е. линий, для которых вариация длины пути равна нулю, д) дг = О? Допустим, что из п координат рассматриваемого пространства и — 1 выбраны так, что на искомом семействе геодезических линий они сохраняют постоянное значение: дз = с.„... ..., д, = с„. Геодезические линии, следовательно, характеризуются изменением на них д,(= О) при любых значениях констант с„, с„.
Для сЬз имеем ,?з'=,?О'+ „да+ а,„о;Ч, где в суммах индексы пробегают значения от 2 до п. Взяв О в качестве независимой переменной, из требования 6) Из = 0 получим, по правилам вариационного исчисления, систему дифференциальных уравнений Ы дз' дг' — — — — =О (1=2 ...,п) ЫО ' д. да,. т; (штрихи обозначаютдифференцирование по О).
Так как зти уравнения должны удовлетворяться, если д1 равны постоянным, то они сводятся к системе вида да ~ дд = О' откуда ан — — (р,,(дю..., д„). Рассмотрим теперь на поверхности 9 = сопзь (возьмем, для определенности, 0 = О) произвольную кривую. Угол ю между этой кривой,для которой 60=0, а Ьдю... ..., бд, произвольны, и геодезической, исходящей из точки на этой кривойи для которой И9 = ~Ь, Ид, =...= йу„= О, определяется так: андт; соэю= " *, (1,й=-2,...,п).
Р'аыдд,дд, ' Чтобы геодезические линии были ортогональны к поверхности 0 = О, необходимо и достаточно, чтобы соэ в был равен нулю при любых бра,..., Ьд„, т. е. для 9 = О должно быть ап = О, (1 = 2,..., и) (имеем здесь тояадество, так как в а„ 9 не входит). Так, по Бельтрами, обобщается теорема Гаусса: если геодезические линии пространства с заданной метрикой нормальны к некоторой поверхности 0 = О, то метрику можно задать в виде = ~(0'+ 11 ()Чю 1 «ра)1 и поэтому геодезические линии будут нормальны ко всем поверхностям 9 = сопэ$, причем дуги, отсекаемые на них поверхностями 9 = а, 0 = р, будут равной длины (р — а). Наконец, приведем без доказательства следующий результат, вытекающий из изложенных выше (Дарбу): Определение геодезических линий для заданной метрики (~Ьа) и интегрирование уравнения в частных производных Л9 = 1 — эквивалентные задачи ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
