Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Остроградский подчеркивает в этом письме, что его мемуар «не является простым распространением известных методов, в нем устанавливается новая теория, относящаяся к предмету, который включает в себя Динамику как весьма частный случай. Предметом мемуара является изопериметрическая задача. Нам кажется излишним входить в детали истории этой знаменитой проблемы, где встречаются знаменитые имена братьев Бернулли, Ньютона, Эйлера, Лагранжа и других.
Но этн великие геометры дали только постановку атой проблемы с помощью математического анализа (пе Йгеп« «1и'аззп)е$1г 1а опез«!оп а 1'апа1узе ша«Ьеша«щие — буквально: только подчинили этот вопрос математическому анализу.— ХХ. П.), тогда как наш академик 10строградский писал о себе в третьем лице.— ХХ. П.) старается ее разрешить. Ему зто удается сделать в той же мере, в какой математикам зто удалось в Динамике, хотя последняя является, как мы уже сказали, только очень частным случаем изопериметрической проблемы».
Нельзя не согласиться с последней формулировкой. Все, что удалось сделать в развитии методов интегрирования дифференциальных уравнений механики в течение 30-х и 40-х годов прошлого века (трудами Гамильтона, Якоби и самого Остроградского), Остроградскому здесь полностью удалось обобщить и применить к «знаменитой изопериметрической проблеме». Механика систем с одностороннинн свнзнни 1. Особую главу в истории аналитической механики занимает включение в нее систем с односторонними(неудерживающими) связями. Построить для таких систем аналитический аппарат той же зффективностн, что и для систем с двусторонними (удерживающими) связями, не представлялось, да и в действительности не было простым делом.
Пуассон даже во втором издании своего «Трактата по механике» (1832) особо обращал внимание ' на то, что принцип виртуальных перемещений в формулировке Лагранжа, зта основа аналитической статики (стало быть, и динамики), дает только условия равновесия, которые могут быть выражены уравнениями, и не дает условий равновесия, относящихся к направлению некоторых сил, имея в виду, очевидно, системы с неудерживающими свяаями.
Такие системы были включены в аналитическую механику трудами Остроградского. Первым по времени автором, который обратился к исследованию систем с неудерживающими связями, был Фурье. Это сделано им в известной работе «Мемуар о статике, содержащий доказательство принципа виртуальных перемещений и теорию моментов» '. В конце этого мемуара Фурье пишет: «Нет необходимости, чтобы момент был нулем для равновесия тела; достаточно, чтобы момент не был вев отрицательным ни для каного виртуального перемещения...
Таковы настоящие основы статики» '. Однако у Фурье нет никаких применений этой обобщенной (по сравнению с «Аналитической механикой» Лагранжа) формулировки. Кроме того, он ограничивается словесным выражением своего обобщения, не выписывает соответствующей формулы и не дает условий равновесия для этого случая. Но не возвращался ли Фурье в дальнейшем к этой проблемеГ Единственное, что мы смогли обнарунсить, заключается в следующем. Спустя двадцать пять, лет, в обзоре работ Французской академии за 1823 г., который Фурье составил по своей должности непременного секретаря, было сказано, что им зачитан на заседании академии «Мемуар по неопределенному анализу об исчислении неравенств» '. В этом мемуаре, говорится в отчете, целью автора было рассмотреть «вопросы нового рода и установить принципы исчисления, имеющего разнообразные применения в геометрии, алгебраическом анализе, механике и теории вероятностей».
В докладе приведены для иллюстрации две задачи статики из числа тех, которые сейчас называются статически неопределимыми. Больше мы ничего не знаем об исследованиях Фурье, по крайней мере применительно к механике: в его обзоре деятельности Французской академии за 1824 г. речь идет о применении «исчисления неравенств» в теории вероятностей. В двухтомном собрании сочинений Фурье, на которое мы ссылались выше и в которое вошли все напечатанные при жизни автора его научные труды, тоже нет ничего больше по интересующему нас вопросу.
Следовательно, вклад Фурье в рассматриваемый раздел механики — это приведенная выше обобщенная формулировка принципа виртуальных перемещений в статике. Следующий автор, к которому нам надо обратиться,— Гаусс. Он пользуется принципом виртуальных перемещений в обобщенной формулировке Фурье в конкретном вопросе,— при исследовании явлений капиллярности'. Никаких ссылок Гаусс не приводит, каких-либо рассмотрений по поводу систем с неудерживающими связями у него нет. Все же есть основания думать, что Гаусс, исходя из соображений, оставшихся нам неизвестными, считал существенным отличие систем с неудерживающими связями от систем со связями удерживающими (двусторонними).
Так, излагая свой знаменитый «принцип наи- вве меньшего принуждения», Гаусс обращает внимание на неудерживающие связи и указывает, как надо формулировать в этом случае принцип виртуальных перемещений. Имя третьего по времени автора, занимавшегося этим разделом механики, сейчас почти забыто. В 1827 г. появилась статья А. Курно (А.
Сопгпо«) под названием «Распространение принципа виртуальных скоростей на случай, когда условия связи системы выражаются неравенствами» '. Автор указывает, что статья написана в связи с его исследованиями по «исчислению неравенств», а этим исчислением Курно заинтересовался, когда познакомился с отчетами Фурье, на которые мы уже ссылались ". Мемуар Фурье 1798 г. в этой статье не упоминается. Курно выписывает и обосновывает неравенство, которым выражается принцип виртуальных перемещений при наличии неудеря«ивающих связей, и заканчивает эту часть стдтьи следующей фразой:«Это неравенство должно соблюдаться...
для всех виртуальных движений, совместимых с состоянием системы, и отсюда выводятся условия равновесия, как мы сейчас покажем на весьма простых примерах». После этого Курно разбирает два действительно простых примера, чем исчерпывается содержание статьи. Итак, общей постановки вопроса и вывода уравнений равновесия для систем с неудерживающими связями у Курно нет. Как Фурье и Гаусс, он ограничивается статической постановкой задачи. Таким образом, все, что принадлежит предшественникам Остроградского в механике систем с неудерживающими связями ', заключается в формулировке для этого случая принципа виртуальных перемещений, как условия равновесия, в виде неравенства и в применении этого обобщенного принципа для решения нескольких задач. Уравнения равновесия для систем с неудерживающимисвязями в общем виде не были получены.
2. Обратимся теперь к первой работе Остроградского о системах с неудерживающими связями — «Общие соображения относительно моментов сил» '. Во введении подчеркивается то значение, которое приобрел в механике. принцип виртуальных перемещений благодаря Лагранжу. Вместе с тем, укааывает Остроградский, формулировка этого принципа у И. Бернулли и Лагранжа слишком узка: «Математики заметили, что Лагранж требовал слишком многого и что для равновесия достаточно, чтобы полный момент системы не мог принимать положительного значения для всех возможных перемещений...
Принцип виртуальных скоростей, представленный в этой форме, приобретает ббльшую общность, допускает большее числоприложений и обнимает действительно все вопросы, которые можно поставить по отношению к равновесию сил». В первом параграфе работы содержится сушественно новый результат. Пусть Р, ф Л,... — силы, приложенные к некоторой системе; р, о, г,...— величины, определяющие положение их точек приложения (у Остроградского эти величины явно не введены).
Полный момент всех сил, относящийся к какому-либо перемещению (т. е. работа сил на атом перемещении), запишется в виде (а) Рар+ дад+Ваг+ .. и для равновесия «необходимо и достаточно, чтобы дифференциал(а) не был положительным ни при какомвозмоны ном перемещении»". Связи, наложенные на систему, Остроградский берет сразу в дифференциальной форме, записывая их в виде аЛ~~О, (М~~о,..., причем эти величины «будут равны нулю для одних возможных перемещений и не будут равны нулю для других; но ни одна из них не может изменить знака, если только мы не переходим от возможных перемещений к таким, которые не являются возможными». Затем, вводя, по Лагранжу, в условие равновесия выражение МЬ + рНМ + ..., Остроградский доказывает, что для соблюдения этого условия необходимо, чтобы знаки неопределенных множителей Е, р,...
были соответственно противоположны знакам Ы, ЫМ,..., тогда как мнон«ители при остальных независимых дифференциалах в выражении для виртуальной работы должны обращаться в нуль. Таким образом, в отличие от своих предшественников, Остроградский в общем виде получает уравнения равновесия для систем с неудерживающими связями и находит ограничение для лагранжевых множителей; характерное для этих систем. В $ 2 атой работы условие равновесия записывается в декартовых координатах, а в следующих четырех пара- !Б и. в. Погресыссаиа 241 графах разбираются примеры на равновесие точки на поверхности, равновесие веревочного многоугольника, гибкой нерастяжимой нити и несжимаемой жидкости.
Эти параграфы заканчивают первую часть работы. Во второй части работы («7 — 10) впервые рассматриваются уравнения движения для систем с неудерживающими связями. Переход от уравнений равновесия к уравнениям движения происходит, как обычно, на основании принципа Даламбера, ограничение знаков для множителей Х, р,..., соответствующих неудерживающим связям, остается в силе. А дальше находим ($8) «существенное замечание»: Остроградский указывает, что выведенные уравнения движения остаются в силе, только пока ни один из множителей Х, р,...
не приобретает знака, противоположного тому, который он должен был иметь первоначально. Если такое изменение знака наступает, соответствующее уравнение связи опускается, и дальнейшее движение системы происходит согласно видоизмененной системе уравнений. Это иллюстрируется в следующем параграфе примером, который с тех пор много раз использовался авторами курсов механики: движением тяжелой точки по вертикальному кругу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
