Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Основное обобщение Остроградского состояло в формулировке принципа виртуальных скоростей для случая нестационарных и, главное, односторонних (неудерживающих) связей. В соответствии с этим возникала оказавшаяся далеко нетривиальной задача о выводе уравнений движения для систем с неудерживающими связями. Остроградский тем самым открыл новую главу аналитической механики, что будет предметом следующего раздела настоящей работы. Остроградский допускал и неголономные связи, о которых мимоходом упоминает и Лаграняс, но он не занимался специально неголономными системами.
В связи же с применением принципа виртуальных перемещений в случае нестационарных связей Остроградский пришел к своеобразному определению действительных и возможных перемещений. Достаточно полно его трактовка изложена в резюме «Мемуара о мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям«(1838) '. Резюме начинается утверждением, что уравнения движения систем, подчиняющихся изменяющимся со временем условиям, установлены с недостаточной ясностью, и это может вызвать сомнения в их точности. И дальше читаем (Остроградский говорит здесь о себе в третьем лице): «Обозначив через Лх, Лу, Лг, Ьх', Лу', Лг',... проекции на координатные оси любых перемещений точек, движение которых отыскиваем, Остроградский рассматривает систему этих точек, определенную некоторым числом уравнений или неравенств такого вида: айх -~- ЬЛу + сЛг + а1йх' + Ь йу'+ с«Лг'+...
+ ТЫ ) О, (а) где а, Ь, с, а', Ь', с',..., Т вЂ” коэффициенты, которые могут зависеть от положения системы по истечении вр~ мени ~, элемент которого обозначен через сй. Чтобы иметь уравнения движения системы, нужно к условиям (а) добавить условия, которые выражают равновесие потерянных сил. Как раз доказательство этих последних уравнений и подвергает критике Остроградский. Воспроизведем ее.
Чтобы находиться в равновесии, потерянные силы как будто не должны стараться произвести в течение мгновения сй никакого перемещения, удовлетворющего условиям (а); во всяком случае это одна из первых идей, приходящих на ум. Но вместо того, чтобы следовать ей, начинают с того, что опускают в (а) члены, умноженные на й, что сводит условия системы к аЛх+ ЬЛу+ сйг+ а'ах'+... )О, и показывают, что потерянные силы не могут произвести никакого перемещения, удовлетворяющего (Ь). Приводимые в обоснование этого доводы совершенно пе имеют силы. Можно даже возразить, что чаще всего перемещения, удовлетворяющие (Ь), противоречат природе системы, и, следовательно, они не осуществятся, если только неоказалось необходимым их ограничить некоторыми условиями.
Потерянные силы должны, конечно, находиться в равновесии, и, таким образом, речь может идти только об условиях их равновесия. Но мы сразу после небольшого размышления придем к этим условиям. И вот принцип. который приводит к этому. Для равновесия сил, приложенных к движущейся системе, необходимо, чтобы действительное перемещение системы, в последовательном сочетании со всеми теми перемещениями, которые могут быть вызваны силами, находящимися в равновесии, приводило бы только к пе- ремещенням, невозмох1вым или противоречащим природе системы.
Таким образом, для равновесия потерянных сил нужно, чтобы они были неспособны вызвать перемещения, которые в настоящий момент доступны системе. Обозначим через с»х, с(у, аг, с(х', Ыу', Иг',... проекции на координатные оси действительных перемещений точек системы и через Ьх, Ьу, Ьг, Ьх', Ьу', Ьг',... проекции на те же оси одного из перемещений, которое могут вызвать потерянные силы. Необходимо, чтобы проекции с(х+ Ьх, Ну+ Ьу, Иг+ Ьг, Йх'+ Ьх',...
относились к невозможным перемещениям, т. е. к перемещениям, которые не удовлетворяют условиям (а). Отсюда следует, что неравенства а (с(х+ Ьх) + Ь (ау + Ьу) + с (Иг + Ьг) + а' (Ьх' + Их) +... ...+та)О не удовлетворяются. Но г. Остроградский доказывает ', что адх+ Ьс)у + сдг + а'ах'+... + ТсП =- О, значит, перемещения Ьх, Ьу, Ьг, Ьх', Ьу', Ьг',... не могут удовлетворять условиям абх+ ЬЬу+ сбг+ а Ьх'+... ) О. (с) Таким образом, нужно, чтобы потерянные силы не могли вызвать никакого перемещения, удовлетворяющего неравенствам (с); зто условие, которое обычно использу1от, но оно не было доказано». 2.
Остроградский дал новое, по сравнению с «Аналитической механикой»,и в вопросе об уравнениях движения. Уравнениями Лагранжа второго рода он не пользовался, так как, исследуя вопрос о движении связанных систем, стремился сразу явно вводить в расчет реакции связей. Однако, кроме уравнений Лагранжа первого рода, Остроградский вводит другие по форме уравнения, стремясь избежать «употребления координатных осей, так как это не вытекает из природы вопроса» '. Свою идею Остроградский сначала разъясняет на примере одной материальной точки. Обозначим через т массу материальной точки, находящейся под действием движущей силы Р, через и — скорость этой точки по истечении времени г, через а и «е — углы, которые Р и и составляют с некоторым заданным направлением (А).
Согласно «началу ускоряющих сил» Р сова=- т 4(» сев м) (с') Такую формулу «следует предпочесть трем уравнениям, посредством которых обычно представляется это начало и которые вытекают из (с'), еслиза направление (А) берутсМ последовательно направления осей прямоугольных координат» «. Основанием для такого предпочтения является то; что, не будучи заранее ничем ограниченыввыборе (А), мы можем, при подходящем выборе, получить наиболее простые формулы для определения движения. Так, если сила Р направлена к неподвижному центру, то в плоскости движения надо выбрать в качестве (А) перпендикуляр к направлению силы Р и касательную к траектории.
Конечно, как видно из этого примера, направления (А) могут быть переменными, и это надо учитывать, составляя дифференциальные уравнения движения, что подчеркивается Остроградским. В общем случае уравнения движения, по Остроградскому, получаются следующим образом. Пусть абаз сов О+ а'аз' сов 0'+... + ТИ)0, авЬ сов О«+ а,йз' сов Од +... + Т«П ) 0 суть условия, налагаемые связями (вообще говоря, неудерживающими, неголономными и нестационарными). Здесь О, О',..., — углы, образованные перемещениями <Ь, «Ь',...
с направлениями (А), (А'),... (постоянными или переменными); Оы О~, — подобные углы, образованные теми же перемещениями с направлениями (АД, (А;),... Направление (А) для каждой точки системы в каждом из условий (1) может быть свое, особое, и притом переменное. Для действительных перемещений условия (1) надо соблюдать в любой момент со знаком равенства. Повтому из (1) получаем, обозначив дз/аз через и,дз'~а«через и',..., аасовО+ а'э'совО'+... + Т = О, (2) а,з сов О, + атз'сов О«+...
+ Тт —— 0 Продифференцируем (2), учитывая переменность направлений (А). Результат можно записать в виде. дд(ь сов Е),, ь) (ь' сов В') а'(ь сов Ед), И (ь' сов 8 ) а, ад +а',, ' + +Мд=О, где в (а сов В), а' (а' сов Е') «Т Ю д)д «д (4) а(а сов з ), Н (ад«се зд),Еуд Мд=а вд ыд + ад Эту запись надо понимать так: производные, явно выписанные в (3), вычисляются в предположении неизменности направлений (А), (А'),...; в (4) производные вычисляются в предположении неизменности направлений и, и',...
Из (1), переходя от д к ( + д(( и соответственно от дЬ к Нг + бг, от «Ь' к дЬ' + бг',..., получаем с точностью до бесконечно малых второго порядка условия а бг сов ф + а' бг' сог ф' + ° = Мо (5) адбгсозфд+ а бг'согф, + ° ° — Мд, где ф, ф',..., фд,... суть углы, образуемые перемещениями б«, бг',... с направлениями (А), (А'),..., (А,),... Через бд., бд.д обозначены анакоопределенные (> 0) величины. Для всех перемещений, удовлетворяющих условиям (5), согласно общему уравнению «Аналитической механикив, имеем -1 Р сове — т д(ь сов «д) 1 п — »бг+ +~ Р' сов е' — т.
— ("- '," " )~ бг' -»-... -»- ХМ,-»- ХдМ,д -»-... = О, (6) (е, е',... — углы, образованные с перемещениями бг, бг',... силами Р, Р',...; од, од',— углы, образованные скоростями с теми же перемещениями). Множители )д, или Х„.. в уравнении (6) должны быть тех же знаков, что и соответствующие ЬЬ, бЕ„..., т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
