Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Лаплас вывел формулу (П), а также аналогичные формулы для обыкновенного и необыкновенного преломления, предположив, что свет состоит из частиц материи, которые движутся с определенными скоростями и на которые действуют только такие силы, какие неощутимы на сколько-ни- будь заметных расстояниях. Способ, которым я вывел это уравнение, не зависит от каких-либо гипотез относительно природы или скорости света, но я все же буду называть это уравнение, по аналогии, принципом наименьшего действия» '. Оставляя прежнее обозначение точек на зеркале (с помощью координат х, у, г), обозначим через а, Р, ( и через а', Р', 1' косинусы углов, образуемых с осями координат падающими отраженным лучами.
Конструктора оптических приборов в первую очередь интересует вопрос, можно ли данную систему лучей (исходящих из одной точки) с помощью зеркала «сфокусировать». Аналитически дело сводится к решению дифференциального уравнения (а+, ') (х+ (й+ К) (у+ (т+ т ) (з = О, (Е) что ораву следует из (0). «В атом уравнении а, Р, 1 рассматриваются как заданные функции от х, у, г, зависящие от характера системы падающих лучей, а а', р', т'— как ааданные функции от х, у, з, зависящие от положения фокуса; и когда эти функции будут таковы, что уравнение (Е) становится интегрируемым, его интеграл будет представлять бесконечное число различных зеркал, каждое из которых будет обладать свойством отражать в данный фокус лучи данной системы, поэтому я буду называть их фокусными зеркалами» *.
Затем Гамильтон показывает, что а'Нх + Р'с(у + т'оз всегда является точным дифференциалом. Действительно, если Х У Я' — координаты (фиксированного) фокуса, то, обозначив расстояние от точки отражения до фокуса через р', получаем Х вЂ” х = а р', У' — у = р'р', с' — з = т р, откуда ох = — р'с(а' — а'ор',..., и а'с(х+ ()'с(у+ 1"сЬ = — р' (а'с(а' + р'с1р'+ +Т~Т) "Р = — пр так как а'+()' + т ' = ( (система координат считается прямоугольной). Итак, если уравнение (Е) иптегрируемо, то полным дифференциалом доля<по быть и выражение хне ада + рду + таас, откуда приходим к «условиям полного дифференциала» (й «Условия (С) можно просто выразить геометрически: они выражают то, что падающие лучи нашей системы пересекаются под прямым углом системой поверхностей, выражаемых уравнением (адх+ рду+ 1«(г) = сонэ»» '.
(Н) Все это можно представить и так: дифференциальное уравнение (Е) зеркала имеет вид «(р + др' = О, его интеграл записывается таким образом: р+ р' = сопз» (1) и это значит, что весь (ломаный) путь, проходимый светом от ортогональной поверхности (Н)до зеркала и от зеркала до фокуса, одинаковой длиныдля всех лучей системы. Как видно, Гамильтон естественным образом пришел, оставаясь в рамках геометрической оптики, к вариационному принципу «постоянного действия» и к сочетанию представлений корпускулярной теории (световой луч — траектория частицы) и волновой (поверхность «постоянного действия» — фронт волны, исходящей из светящейся точки — источника колебаний). После этого он обобщает вышеизложенные рассуя«дения на случай любого числа отражений, упоминает, что (это показано во второй части той же работы) такие же реаультаты получаются и при преломлении света, так что в общем случае вместо (1) имеем систему поверхностей, уравнением которых является Хтр = сопз», где т — показатели преломления различных сред, которые умножаются на длины путей р, проходимых светом в этих средах, и снова сопоставляет все эти образы с механическими представлениями: «Так как в механике сумма, полученная сложением нескольких элементов пути частицы, умноженных каждый на скорость, с которой он проходится (ХИ»), называется действием этой частицы и так как скорость света в некристаллической среде была бы 187 пропорциональна преломляющей способности среды, а при отражении не изменялась бы, если бы свет был материальной субстанцией, то я буду называть поверхности (Е) поверхностями постоянного действия.
Этим я хочу только выявить замечательную аналогию, но не принимаю какой-либо гипотезы относительно природы или скорости света»'. Для дальнейшего нужна еще вводимая Гамильтоном ."лассификация систем лучей, под которой понимается бесконечное число лучей, «объединенных каким-либо аналитическим законом или каким-либо общим свойством». Число независимых переменных в уравнениях для произвольного луча рассматриваемой системы лучей определяет класс системы. Системы, зависящие от одной независимой переменной,— первого класса, зависящие от двух назависимых переменных,— второго класса («конгруэнции» вЂ” по более поздней терминологии) и т.
д. «Оптика, рассматриваемая математически, сводится большей частью к свойствам систем лучей первого и второго классов». В первую очередь интересны те системы, лучи которых пересекаются под прямым углом некоторой последовательностью поверхностей (нормальные конгруэнции). Их Гамильтон назьгвает ортогональными. В любой системе второго класса луч в общем случае может быть определен требованием, чтобы он проходил через заданную точку пространства, так как такое требование выражается двумя уравнениями, чего, вообще говоря, достаточно для определения значений двух аргументов, соответствующих этому лучу.
Поэтому направляющие косинусы (а, р, т) луча можно рассматривать как функции координат (х, у, г) любой точки луча. Если же система лучей к тому я<е ортогональна, то а Нх+ р Ыу + Ч(г есть точный дифференциал некоторой функции $'(л, у, г), иначе говоря, а = = (д$'!дл), (3 = (ду/др), у = (дауд»). Придя к этому выводу, Гамильтон заключает: «Свойства любой ортогональной системы, поскольку она отлична от других (ей подобных),могут быть целиком получены аналитически, исходя ~з вида функции г'. Метод, состоящий в таком выводе, в сочетании с определением вида характеристической функции К для каждой частной системы представляется мне наиболее полным и простым определением того, что собою представляет прилеп«ение анализа и оптике, поскольку рассматриваются системы, получаемые при обычном отражении и преломлении, которые, как я покажу, все ортогопальны.
И хотя системы, получающиеся при необыкновенном преломлении, в общем случае таким свойством не обладают, относительно них будет доказано, что существует аналогичная характеристическая функция, по которой можно определить все обстоятельства, относящиеся к такой системе. Таким образом, как мне кажется, оптика приобретает ту простоту и то единообразие, которых ей до сих пор не хватало»».
Вся методика Гамильтона носит отпечаток влияния «Аналитической механики» Лагранжа. Хотя Гамильтон живо интересовался философией и высоко ставил Беркли и Канта, он в исследованиях по оптике (и механике) явно избегает всякой «метафизики». Минимальное число исходных допущений, взятых из опыта, и создание на этой основе стройной теории, превращающей геометрическую оптику в ветвь математики,— вот чего достиг Гамильтон, явно следуя образцу, данному Лагранжем. Аналогия с механикой все время оставалась в поле зрения Гамильтона.
Не анализируя остальной части работы 1827 г., скажем только, что она посвящена в основном геометрии нормальных конгруэнций. В «Первом дополнении» рассматриваются любые оптические среды (неоднородные и неизотропные) и для световых лучей выводятся дифференциальные уравнения из принципа наименьшего действия.
Характеристическая функция г' рассматривается теперь как функция координат конечной точки и вместе с ней используется функция И' от направляющих косинусов последнего отрезка луча. Во «Втором дополнении» математическая теория близится к завершению: выводится уравнение в частных производных для У, вторая функция Й' истолковывается как общий интеграл этого уравнения. Наибольшая же общность достигнута в «Третьем дополнениим В «Третьем дополнении» характеристическая функция г рассматривается как зависящая и от начальных, и от конечных координат, и от «хроматического показателя» (показателя преломления), характеризующего среду.
Итак, г' = ) Жг (интеграл действия) становится функцией семи аргументов, а уравнения в частных производных, которым У удовлетворяет, связывают всего восемь величин. Функция И' рассматривается, теперь как функция координат начальной точки и производных от скорости хве по направляющим косинусам луча в конечной точке (дПда, дед(), дПду). Гамильтон оперирует здесь еще и с третьей функцией, просто связанной с «',— все это имеет значение больше для оптики. Наиболее существенно для дальнейшего развития механики и физики было другое: Гамильтон в «Третьем дополнении» показал, что метод характеристической функции в его самом общем виде дает геометрию световых лучей с полной общностью и совместим как с эмиссионной теорией света, так и с волновой.
Различие между этими двумя теориями, в пределах геометрической оптики, выявляется только в истолковании характеристической функции: в эмиссионной теории эта функция является интегралом от действия, и свет в своем распространении подчиняется вариационному принципу «наименьшего действия» (теперь уже переменного!), в волновой теории р является временем распространения света, которое подчиняется вариационному принципу Ферма. Но если учесть, как в волновой теории получается фронт волны (теория обверток Гюйгенса), то, с современной точки зрения, в результатах Гамильтона содержится доказательство математической эквивалентности вариационного принципа наименьшего действия и соответствующего закона, выражаемого контактным преобразованием.
В динамике Гамильтона этот результат раскрывается еще полнее. Для оценки методики работ Гамильтона поучительна данная им самим общая характеристика его исследований по оптике. В 1832 г. в сообщении, сделанном на ежегодном съезде Британского общества содействия наукам, Гамильтон высказался следующим образом. «В мемуарах о системах лучей, представленных мною Ирландской Академии, ... мой подход к математической оптике, как мне кажется, аналогичен подходу Декарта к алгебраической геометрии, и, вероятно, приведет тех, кто его примет, к аналогичному изменению метода...
Общая проблема, которую я ставил перед собою в оптике, состояла в исследовании математических следствий из закона наименьшего действия... Центральная идея, из которой следует весь мой метод, это идея одной основной или характеристической функции для каждой оптической системы лучей. Эта характеристическая зависимость, различная для различных систем, такова, что из нее могут быть выведены все математические свойства системы, так же как в методе Декарта для алгебраического решения геометрических задач все следует изцентральной идеи одного основного соотношения, для каждой плоской кривой или поверхности, в каковом соотношении заключены все свойства кривой или поверхности... Рассмотренная мною, при моем подходе к геометрической оптике, зависимость связывает в общем случае восемь величин.
Из них шесть дают элементы положения двух переменных точек пространства, визуально связанных, седьмой является цветной показатель; восьмая же величина, которую я называю характеристической функцией, так как, по-моему, в том, как она аависит от остальных семи, заключены все свойства системы,— это действие между двумя переменными точками... Для вариации характеристической функции в зависимости от вариаций полон«ений, от которых она зависит, я вывел некоторую основную формулу, и я считаю, что все проблемы математической оптики, касающиеся всех вообразимых комбинаций зеркал, линз, кристаллов и атмосфер, сводятся к изучению одной этой характеристической функции с помощью упомянутой фундаментальной формулы» '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
