Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Геометричесм«»м отатип«» 1. Древнейшая из дисциплин, составляющих меха- пику,— статика лишь на рубеже ХУП1 и Х1Х вв. окончательно оформилась и разветвилась. Общий метод Лаграня<а и основанное на нем исследование различных эадач составили аналитическую статику; Монж и Пуансо, решив геометрическими методами проблему приведения системы сил, приложенных к неизменяемой системе (первый — к двум ортогональным силам, второй — к силе и паре), завершили оформление геометрической статики. Казалось бы, на этом развитие статики должно было прекратиться — оставалось только решение частных задач. На деле же в течение ряда десятилетий не прекращалось обогащение статики новыми идеями и результатами. Наметим основные линии этого развития. Прежде всего выяснилось, что проблему приведения системы сил к некоторой простой системе, статически ей эквивалентной, нельзя считать «эакрытой». Действительно, у Монжа, и в меньшей мере, у Пуансо такое приведение является вспомогательным для вывода условий равновесия.

Однако оно имеет ценность и с точки зрения приложений: всякое приведение к некоторой канонической системе сил определяет вместе с тем конструктивную схему уравновешивания сил, прилагаемых к телу или к жестка связанной системе тел. Например, если, по Монжу, сводим любую систему сил, действующих на твердое тело, к силе, действующей в определенной плоскости (выбор этой плоскости в нашем распоряжении), и к силе, перпендикулярной к этой плоскости, то это о»качает, что мы мон«ем всегда закрепить тело с помощью двух взаимно перпендикулярных стержней, по которым соответствующие усилия будут переданы на опоры и уравновесятся их реакциями.

Очевидно, что полезно исследовать также «меру произвола» при таком приведении, т. е. выяснить, что есть общего междувсеми различными системами из двух сил, статически эквивалентными одной и той же системе, а значит, и друг другу (по Монжу). Такие же вопросы возникают в сея»и с методами приведения Пуансо. Но в действительности могут потребоваться конструктивные решения проблемы уравновешивания по иной схеме, например, если тело закрепляется с помощью трех или большего числа стержней, на подбор которых накладываются какие-то дополнительные условия.

Так могут возникать новые схемы приведения и для как<дай из них — проблема определения меры проиавола, что в другом истолковании означает исследование свойств, инвариантных по отношению к некоторой группе преобразований. Другое направление работ привело к созданию нового раздела — астатики. Приведение системы сил в статике твердого тела к некоторому каноническому виду, о котором только что шла речь, — это приведение системы полярных скользящих векторов, если пользоваться современной терминологией. Но когда мы имеем дело с силами тяготения, с силами притяжения или отталкивания электрических зарядов и магнитных полюсов, вектор силы неотделим от точки ее приложения — это вектор, связанный и (при достаточной отдаленности центра притяжения или отталкивания) сохраняющий свое направление, когда тело движется.

В механике второй четверти Х1Х в. исследование таких систем сил стало актуальной задачей и в связи с общими проблемами теории тяготения, электричества и магнетиэма, и в связи с рааработкой теории различных иэмерительных приборов (напомним о большом развороте исследований земного магнетизма и создании сети станций для этой цели в тот же период). Итак, параллельно со »статикой скользящих векторов» надо было создать статику связанных векторов, что и было выполнено. Работы обоих очерченных выше направлений могли быть по тематике и механическими, и геометрическими, по характеру и методу исследования они принадлежали геометрии и выполнялись преимущественно геометрами.

Эти работы обогащали геометрию; и на них в свою очередь, скаэывалось развитие геометрии. Новые геометрические представления и методы (проективная гео- метрия, применение различного вида обобщенных координат, теснейшим образом связанная со статикой геометрия прямых, позже — неевклидова геометрия) накладывали свой отпечаток ка зти работы, давали возможность осмысливать прежние результаты по-новому и обобщать их.

Такое переплетение статики (и кинематики) с геометрией характерно для всего Х1Х в. Но не только проблема приведения системы сил ведет по столбовой дороге развития статики. Потребовала усилий и проблема решения уравнений равновесия неизменяемой системы, несмотря на ее элементарность. Когда в строительной механике начали рассчитывать многостержневые конструкции — фермы, решать большое число линейных алгебраических уравнений при «ручной» вычислительной технике того времени было сложной задачей. Применение графических методов, сначала наощупь, заставило подвергнуть теоретическому рассмотрению все усложняющиеся графические построения.

Так, в середине века возникает новая дисциплина— графостатика. В ней сочетаются результаты, полученные еще на заре науки, и утонченные геометрические конструкции нового века. 2. В 20 и 30-х годах приведением системы сил, как системы скользящих полярных векторов, занимались, сочетая построения Монжа и Пуансо. В первую очередь решался вопрос, как располагаются в пространстве те двойки сил, которые эквивалентны заданной статической системе сил Я, т. е. эквивалентны и друг другу. Построение Пуансо (приведение Я к главному вектору Л, приложенному в произвольной точке О, и к паре сил с моментом, равным главному моменту Я относительно 0) покааывает, что прямую, по которой направлена одна из двух сил (Р, 6), можно выбрать произвольно (если момент Я относительно этой прямой отличен от нуля).

Отсюда же следует, что все остальное — величина Р, величина и линия действия 6 — тем самым вполне определены. Представим себе прямуэо .О, пересекающую линии действия Р и 6. Момент Я относительно В, равный сумме моментов Р и 6 относительно этой прямой, равен нулю. Нетрудно доказать и обратное утверждение: всякая прямая нулевого момента относительно Я пересекается с системой, точнее, с бесчисленным множеством систем (Р, 6). Кроме того, все прямые нулевого момента, проходящие через одну и ту же точку, лея<ат в одной и той я~е плоскости. Они обра- хве зуют линейный комплекс, указанный впервые Дж. Джорджини (С.

61огрп1, 1827), использованный затем М. Шалем, именем которого часто нааывают этот комплекс, и А. Мебиусом. У Мебиуса он называется нулевой системой. Шаль, Жергон и Мебиус — (все это геометры) исследовали свойства таких нулевых систем прямых. Для примера приведем одну из теорем, полученных при этих исследованиях (теорема Жергонна — Шаля): объем тетраэдра, построенного на двух силах, эквивалентных данной системе сил Я, одинаков для всех эквивалентных «двоек сизы Мебиус (1790 — 1868) в небольшой статье' дал доказательство этой, как он пишет, замечателышй теоремы статики (опа была опубликована Жергонпом, со ссылкою на Шаля, в 1828 г.), представляя моменты снл относительно точки на плоскости площадями треугольников, а моменты сил в пространстве относительно оси — объемами тетраэдров (две вершины тетраэдра — начало и конец вектора силы, остальные две вершины — начальная и конечная точки отрезка произвольной, но фиксированной длины, ваятого на оси).

Пользуясь такими построениями, Мебиус указывает другую формулировку той же теоремы: если четыре силы находятся в равновесии, то объем тетраэдра, построенного на двух из них, равен объему тетраэдра, построенного на остальных двух. Кроме того, Мебиус дает интересное обобщение этой теоремы в таком виде. Пусть произвольная система и сил заменяется двумя силами, статически эквивалентными системе.

Алгебраическая сумма объемов тех 1/2 п(п — 1) тетраэдров, которые можно построить, комбинируя эти и сил попарно, равна объему тетраэдра, построенному на двух заменяющих систему силах. Мебиусом же было доказано, что всякая система сил может быть единственным образом заменена системой шести сил, образующих тетраэдр. Идейным продолжением этих исследований была работа Сильвестра 1861 г. з, в которой решен вопрос, каким условиям должны удовлетворять и прямых линий, чтобы силы, направленные по ним, могли образовать систему, статически эквивалентную нулю. Сильвестр ограничился случаями п = 3, 4, 5, 6. В случае и ) 6 никаких ограничений на выбор прямых наше условие не накладывает, оно устанавливает только зависимость между величинами сил. Результаты, полученные Сильвестром, просты: и = 3, прямые должны иметь общую точку; и = 4, прямые должны принадлежать к одной и той же системе образующих поверхности второго порядка; и = 5, прямые долх<ны принадлежать одной и той же линейной конгруэнции; и = 6, прямые долинины принадлежать одному и тому же линейному комплексу.

Эти результаты Сильвестра являются уточнением решения, предложенного Мебиусом в $ 98 его .«Учебника статики»'. Книга Мебиуса — одна из наиболее важных монографий в этой области, в ней систематизированы основные результаты, полученные к тому времени, многие из них принадлежат автору книги.

Мебиус указывает в предисловии к книге, что статикой он начал заниматься, изучив «правда, небольшую, но богатую содержанием и элегантно написанную работу Пуансо», т. е. его «Начала статики». Метод изложения в книге Мебиуса не исключительно синтетический и не исключительно аналитический. Но, как правило, он предпочитает первый, т. е.

геометрический, и не раз приводит геометрические иллюстрации теорем, которые были доказаны аналитическим путем, «ибо при исследованиях пространственнь1х объектов геометрическое рассмотрение является рассмотрением по существу и поэтому наиболее естественно, тогда как аналитическая трактовка, как бы она ни была изящна, скрывает предмет под чуждыми ему обозначениями, и поэтому мы его в большей или меньшей мере теряем из виду»'. Эта декларация вполне в духе вь1сказываний Пуансо о значении наглядности в механике. Мебиус, впрочем, подходит к этому вопросу шире, по крайней мере в области статики.

Он указывает на то, что глубокая внутренняя связь между статикой и геометрией является двусторонней: не только статика нуждается в помощи геометрии, но и геометрия черпает из статики новый материал, новые теоремы, которые в свою очередь могут принести пользу последней. Таких примеров в книге Мебиуса немало. Конечно, для нас, да и для самого автора часто это только переход от одной терминологии и другой. Например, проанализировав свойства моментов (относительно точки) плоской системы сил, Мебиус потом дает полученные им результаты и в такой «чнсто геометрической» формулировке.

Пусть имеем на плоскости систему направленных отрезков АВ, СР, ... Алгебраическая сумма площадей треугольников МАВ, МСР, ... с общей вершиной М либо яви не зависит от выбора М, либо изменяется с изменением положения этой точки. В последнем случае на плоскости мо»кпо указать отрезок такой длины и так расположенный, что при любом положении точки на плоскости указанная выше сумма площадей треугольников равна площади треугольника, имеющего основанием этот отрезок и вершину в М».

Правда, в данном случае Мебиус дает и новое, чисто геометрическое доказательство, но оно опять-таки может быть переведено на язык статики. 3. Раздел астатики выпал почти из всех курсов механики последних десятилетий, поэтому мы изложим здесь как постановку вопроса, так и основные результаты. Будем рассматривать систему жестко связанных друг с другом материальных точек (называем ее телом), к каждой из которых приложена сила. Введем две ортогональные системы прямолинейных координат: неподвижную Охуз и жестко связанную с телом Ох'у'г'. Сила Р„приложенная к 1-ой точке, по условию, яри всех перемещениях тела, т. е.

Характеристики

Список файлов учебной работы