Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Такие слагаемые делают приближенные формулы непригодными при больших значениях аргумента. Но независимо от этого метод остается в силе для достаточно малых» и, как говорит Лагранж в предисловии ко второму изданию «Аналитической механики», «является общим приближенным методом решения всех механических задач для случаев, когда имеются возмущающие силы, величина которых незначительна по сравнению с главными силами»»». Здесь же, в предисловии, Лагранж указывает одно существенное обобщение: не обязательно, чтобы функция П, зависящая от возмущающих сил, была того же характера, что функция г (потенциал), входящая в состав «лагранжиана» невозмущенной системы. Смысл дальнейших разъяснений Лагранжа в том, что возмущающие силы не должны быть обязательно потенциальньпии, т.
е. их виртуальная работа не должна быть точным дифференциалом. Каковы бы ни были возмущающие силы, мы их можем разложить для каждой точки системы на три силы Х, У, Я, направленные по осям координат х, у, г. Величину Ь»«можно найти из выражения Хт (ХАт + УАу + ЯА«), «где А обозначает вариацию по отношению к произвольным постоянным, так что дИда можно заменить выражением Хт(Х ~ + уф+ л ~'); 181 равным образом можно заменить другие частные производные»1.
Этим путем можно достичь того, что настоящий метод станет применимым и к возмущающим силам, выраженным в функции любых переменных» ". 3. В рассматриваемом разделе «Аналитической механики» не выделены два существенных результата, содержащиеся в указанных выше мемуарах Пуассона и Лагранжа. Пуассон, оперируя с первыми интегралами механической задачи 1» («, дьр«) = аы 1«(«, до р«) = а„..., пришел в ходе вычислений! к выражениям вида в сокращенном обозначении (1ю ~~). Лагранж, который брал решение в явном виде д~ = ц;(», ам а„...), р» = р«(г, ам а„...), получил выражения вида в сокращенном обозначении (а„, аз). При этом оказалось, что Ы И вЂ” (а„, ссз] = О, —, ф,~,) = О, т.
е. и «скобки Лагранжа», и «скобки Пуассона» остаются постоянными во время движения. Результат, относящийся к скобкам Лагранжа, существен для метода вариации произвольных постоянных — для упрощения общих формул, но он не помогает нам продвинуться в интегрировании уравнений движения: вычисление скобки Лагранжа требует уже знания общего решения. Результат, относящийся к скобкам Пуассона — «теорема Пуассон໠— иного рода.
Чтобы вычислить одну скобку Пуассона, достаточно знать два пеРвых интегРала, скажем, 1»= аму« = = а«, а тогда, согласно теореме Пуассона, (1„1») = = сонэ«, т. е. опять получаем первый интеграл. Ни Лагранж, ни сам Пуассон не останавливались на этой стороне дела. Только после смерти Пуассона Якоби в письме, адресованном Парижской академии наук, охарактеризовал теорему Пуассона как результат особой важности, и как пример крупного открытия, значение которого не оце- зев нил сам автор. Но и Якоби не исследовал врпроса об условиях эффективности теоремы Пуассона. Дело в том, что производная от скобки Пуассона может быть равна нулю тождественно, либо я<е скобка Пуассона может оказаться функцией уже известных интегралов динамической системы — в обоих этих случаях мы не получаем нового интеграла. Исследования в этом направлении относятся к более позднему периоду развития аналитической механики.
Но метод вариации произвольных постоянных, оказавшийся в руках Лагранжа общим методом механики, нашел применение не только для приближенного интегрирования уравнений движения. М. В. Остроградский в «Заметке о вариации произвольных постоянных в задачах механики»" (написанной в 1829 г.) применил этот метод для вывода интегралов живых сил, центра тяжести и площадей. Он заметил, обобщая один из результатов Лагранжа, что можно непосредственно определить дифференциал варьируемой постоянной, если эта постоянная вводится интегрированием «общего уравнения» динамики. Действительно, запишем это уравнение в виде (19) аналогичное уравнение для возмущенной системы (11) Накладывая на вариации Д обычное условие Дд; = О, получаем, что С другой стороны, если вариации бо«таковы, что левая часть (11) обращаотся в полный дифференциал, то, обозначая постоянную интегрирования через Х, имеем для ее дифференциала «в смысле д» ~т~~ ~ д дТ дТ) следовательно, оХ = ЬГ, «лишь бы операция 6 во втором члене этого уравнения применялась только к величинам а, 6, ..., при вариациях которых имеет место интеграл с постоянной, равной К»".
Араго и Пуассон писали, что это «достойная внимания идея... Он (М. В. Остроградский. — И. П.) выводит отсюда... принципы живых сил, центра тяжести и площадей, рассматривая специальным образом произвольную постоянную, которая добавляется ко времени, когда и силы и связи системы не зависят от этой переменной, и те произвольные постоянные, которые относятся к началу координат и к направлениям координатных осей — последнее в тех случаях, когда система совершенно свободна или не моя«ет только свободно вращаться вокруг начала координат»'«.
В. Р. $'»»миэгьт«»н $. Новое слово в аналитической динамике было сказано В. Р. Гамильтоном (1805 — 1865). Общеизвестно, что отправным пунктом для Гамильтона были его работы по оптике и оптико-механическая аналогия. Гамильтон, вероятно, в связи с астрономическими вопросами занимался в 20-х годах теорией оптических инструментов. Это было время, когда борьба ме»кду эмиссионной теорией света и волновой теорией, возрожденной Т.
Юнгом и Френелем, еще не закончилась. Надо считать весьма вероятным предположение, что исследования Гамильтона по оптике были направлены не столько на то, чтобы выяснить, какая из этих двух теорий права, сколько на то, чтобы дать математические методы расчета оптических инструментов по возможности независимо от этих теорий, опираясь только на неоспоримые данные опыта.
Опубликованные теперь рукописи Гамильтона' показывают, что он пришел к своим общим результатам в геометрической оптике на основе кропотливого анализа частных случаев и полон<ил много труда на окончательную отделку изложения своих работ — отделку, полностью скрывающую путь, которым фактически шел автор. «...Просмотр рукописей радикально меняет наше представление о том, как работал Гамильтон. Вместо ослепительных вспышек гения, каждая из которых создает законченный и прекрасный общий метод, хотя, по видимости, непригодный для прилоя«ений, мы видим самоотверженный труд, затраченный на развитие этих методов, причем частные случаи предшествуют общему»».
Главное открытие, сделанное Гамильтоном в геометрической оптике, главное и для нас по его значению для механики — введение так наэываемой характеристической функции. Относится оно к 1825 — 1827 гг., а иэложено впервые в работе 1827 г. «Теория систем лучей». Результаты обобщались, изложение расширялось и совершенствовалось в «Дополнениях» к этой работе. Первое и второе «Дополнения» появились в 1830 г., «Третье дополнение» вЂ” в 1832 г.
' В «Третьем дополнении» теория Гамильтона дана в наиболее общем виде, и эту работу можно читать независимо от предыдущих. В работе 1827 г. Гамильтон рассматривает оптически однородную среду. Он исследует в общем виде свойства световых лучей, исходящих иэ одной светящейся точки и претерпевающих либо отражения, либо преломления. Постановка вопроса, как укаэывал Ф.
Клейн, исходит из запросов оптического приборостроения. В основу кладутся известные эаконы отражения и преломления, как установленные опытом. Обратимся, например, к первой части (об отраженных лучах). Пусть р — расстояние от произвольной точки на падающем луче до точки (х, у, г) отражения на зеркале, а р ' — расстояние от произвольной точки на отраженном луче до той же точки' (х, у, »).
Пользуясь известным законом (угол падения равен углу отражения), Гамильтон доказывает, что бр+ бр' = 0 (операция 6 о»качает переход от точки (л, у, г) к беснонечно блиэкой точке (х + Ьх, ...) на зеркале), и добавляет следующее характерное замечание: «Уравнение (В) называется принципом наименьшего действия, так как оно выражает, что если координаты точки падения бесконечно мало проварьировать в соответствии с природой зеркала, то вариация искривленного пути р + р' будет нулем; и если свет — материальная субстанция, движущаяся со скоростью, сохраняющейся при отражении, этот искривленный путь измеряет то, что в Механике называется действием, от одной иэ выбранных точек до второй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
