Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ограничиваясь этими двумя условиями, можно доказать, что равнодействующая двух равных и противоположно направленных отрезков равна нулю и что равнодействующая любых двух отрезков лежит водной с ними плоскости,— полон~ения, во многих доказательствах являвшиеся исходными. Наиболее же общий закон сложения, удовлетворяющий первому и второму требованиям, оказывается таким: можно взять любую функцию ~р одного аргумента и построить многоугольник на отрезках ~р(1,), ..., ф1,), направленных соответственно по 1„..., 1„; тогда замыкающая сторона даст направление равнодействующей В и будет по длине равна фтГ).
Дойдя до этого пункта в своем анализе, Дарбу должен ввести добавочное требование: сложение отрезков должно сводиться к алгебраическому для отрезков одного направления. Отсюда следует уравнение для определения вида функции ~р(х) (во многих доказательствах дело сводилось к решению такого я~е или сходного функционального уравнения) Ч (( + ~а) = Ч (~) +р(~а). если отрезки 1, и 1, направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. Чтобы сделать вывод, что ~р(х) = х, т. е. получить эакон параллелограмма сил, необходимо дополнительное условие: либо то, что ~р — непрерывная функция, либо то, что ~у всегда положительна; последнее равнозначно допущению, что равнодействующая двух отрезков проходит внутри обраауемого ими угла. Таков итоговый анализ доказательств параллелограмма сил.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ Аналитинеекие методы (от Лагранжа до Оетроградекого) Метод вариации произвольных поетоииных 1. После появления «Аналитической механики» (1788) первые существенно новые результаты были получены»в связи с методом вариации произвольных постоянных, который долгое время развивался лишь в рамках небесной механики. И в этом вопросе начало, по-видимому, положено Эйлером. В одной из работ (1748) Эйлер получил дифференциальные уравнения первого порядка для двух элементов возмущенной орбиты (наклонения и долготы узла), варьируя постоянные, выражающие эти элементы в невозмущенной орбите. Этот метод для расчета элементов возмущенной орбиты был использован самим Эйлером в других его работах по небесной механике, затем он был применен Лагранжем (прежде всего в «Мешо1гез зпг 1ез регФнгЬа11опз без р1апе1ез», опубликованных в «Мешо1гез йе ГАсадепйе дез Эс1епсез ое Вег11п» за 1781 — 1783 гг.) и Лапласом (см.
«Месапщне Се1ез1е», ч. 1, 1799). В идейном отношении эти работы Лагранжа и Лапласа мало что прибавили, как на это справедливо указывает Лежандр в одном из своих писем к Якоби. Целью всех этих исследований было получить выражение для вариаций элементов орбиты (планеты или кометы) через производные пертурбационной функции по координатам в соответствии с астрономической постановкой задачи. Однако в явном (хотя, может быть, и не в самом удобном) виде такое выражение, притом лишь для одного из шести элементов орбиты, было получено только Пуассонам» через 60 лет после первой д7 1 дТ дУ вЂ” — — + = О, 1 = 1, 2, ...
(1) д1 д,'. ) дд« дд« вЂ” ~Л (д« вЂ” обобщенные' координаты, 1 — время, Т вЂ” живая сд ° 1 сила, выражающаяся квадратичнои формой от 7) ш~' а возмущенной — в виде д7' дТ ду дГ« (2) ж ( д« ) д« + дд« дде где П = 12 (д„е7«,...) — пертурбационная функция. За этими работами Лагранжа последовало новое исследование Пуассона: «Мемуар о вариации произвольных по- 12 и. Б. погребысскиа хтт работы Эйлера.
Работа Пуассона имела еще и то значение, что снова привлекла внимание Лагранжа к проблеме вариации произвольных постоянных, и он, уже на склоне лет, сумел придать новое направление исследованиям. Мы имеем здесь в виду прежде всего мемуар Лагранжа 1808 г. «по теории вариаций элементов планет и, в частности, вариаций больших осей их орбите «. Помимо важных конкретных результатов, в этой работе Лагранж получает выражения для вариаций элементов орбиты через производные от пертурбационной функции не по координатам, а по элементам.
Точнее, Лагранж находит сначала производные пертурбационной функции по элементам в виде выражений, линейных относительно производных от элементов по времени, а затем обращает эти зависимости. Любопытно отметить, что одновременно аналогичные формулы получил и опубликовал Лаплас вполне независимо от Лагранжа. Но Лагранж в следующем мемуаре показал (это, впрочем, можно усмотреть и по изложению вопроса в мемуаре 1808 г.), что постановка вопроса и метод решения полностью приложимы к задачам механики в весьма общей постановке. Это видно из самого названия работы: «Мемуар по общей теории вариации произвольных постоянных во всех задачах механики» з В последней работе Лагранжа теория возмущений строится для механической системы с голономными стационарными двусторонними связями при наличии силовой функции; уравнения движения невозмущенной системы записываются в виде стоянных в вопросах механики» '.
Оно весьма содержательно, в частности, именно адесь Пуассон впервые вводит вместо обобщенных скоростей их линейные комбинации — обобщенные импульсы — и проходит, так сказать, полпути для получения канонических систем. В проблему, о которой здесь идет речь, Пуассон вносит то усовершенствование, что он непосредственно выражает производные по времени от элементов (проиавольных постоянных) через линейные комбинации производных пертурбационной функции по элементам.
Его формулы представляют обращение исходных формул Лагранжа. Коэффициенты, входящие в них, были впоследствии названы скобками Пуассона (в формулах Лаграня«а соответствующие коэффициенты — это скобки Лагранжа), и Пуассон показывает, что они не зависят от времени (знаменитая теорема Пуассона), подобно тому как Лагранж доказал независимость от времени коэффициентов, входящих в его формулы. Существенно и то, что Пуассон рассматривал исходное решение не в виде, скажем, о« = о«(«, а, 6, ...), где а, 6, ...— произвольные постоянные интегрирования (в задачах небесной механики — алементы), а в виде набора соотношений а 11(~ Ч «2 ''') г 12(" Ч1 ? '' ) где а, р, ...— постоянные, т.
е. в виде набора первых интегралов. 2. Во втором издании первого тома «Аналитической механики» Лагранж излох«ил свои реаультаты. Они составили пятый отдел второй части, названный «Общий приближенный метод решения задач динамики, основанный на вариации произвольных постоянных» '. Рассмотрим его содержание. Здесь впервые в монографии Лагранжа уравнения второго рода появляются в обычной теперь форме: яри наличии потенциала сил г' вводится разность я«ивой силы системы Т и функции г' (Т вЂ” «' = 7) и исходные дифференциальные уравнения записываются в виде сУ вЂ” „— — гИ==О, о —,— — Ю=.О,... (1') дР,' д~ ' дз~' дф Д, ф ...
— обобщенные координаты). Затем эти уравнения дифференцируются «в смысле символа 6, который мы относим исключительно к вариациям произвольных постоянных, содержащихся в выражениях переменных «Г, ..., функцией которых являются Ъ>, и, так как «( отяо- сится только к переменной г, выражающей время, то Ю = = ба. Аналогично берется вторая система вариаций произвольных постоянных «в смысле символа А».
Непосредственное вычисление приводит к замечательному результату, который у Лагранжа записан так: Ачба +Афба +''' (3) Перейдем к обычным сейчас обозначениям; вместо д7 дЯ э, »р, ... будем писать д„д» ..., а вместо р, р„... (обобщенные импульсы); соотношение (3) можно представить в виде (,"„"(бр,.л,у,, — б,.лр,.) = О. (3') Смысл этого равенства таков: мы представляем себе о; (» = т, 2, ..., и) выраженными через» и 2в произвольных постоянных а«(й = 1, 2, ..., 2и); при подстановке этих выражений для д«и соответствующих выражений для р« в (3') время г выпадает из суммы, стоящей в левой части.
Этот результат получает свое полное истолкование в связи с теорией касательных преобразований (С. Ли) и находит применение в теории уравнений в вариациях (А. Пуанкаре). Для Лагранжа он тоже имел большое значение: «Здесь мы имеем новое весьма замечательное свойство функции Т, выражающей живую силу системы, которое моя«ет дать общий критерий для суждения о точности решения, найденного с помощью какого-угодно метода.
Но ... важнейшее применение эта формула находит для варьирования произвольных постоянных в вопросах механики»«, Согласно основной идее метода вариации произвольных постояняых мы ищем решение уравнений (2), считая, что известно решение ды о„..., д„уравнений (1), и полагая в этом решении проиэвольные постоянные равными некоторым функциям Г; на этн функции накладываются дополнительно 2п условий, а именно: не только координаты дь но и скорости Ид;ЯГ в возмущенном движении должны иметь тот же внд как функции от 8 и аю что н в невоэмущенном движении. Задача состоит в том, чтобы получить уравнения для а» как функций д В ходе вычислехчв 1г ния выявляется особая роль такой системы постоянных аю когда они представляют собою начальные или, говоря более общим образом, отнесенные к определенному значению «(=«о) значения дь р;.
Сохраняя прежний смысл символов й и б, приходим к обобщению зависимости (3') в виде т (бРолтоо б оДР«) «г) «(« (4) откуда непосредственно следует система уравнений ' о = р111 о «Р1 д»« д« аао й; д»« д» дро 1 (6) Лагранж указывает, что эти уравнения имеют очень простой вид и таким образом дают наиболее простое решение задачи о варьировании произвольных постоянных. Н. И. Идельсон, как<ется, первый обратил внимание на то, что здесь впервые появляется в динамике каноническая система уравнений '. Величины ро, д«1 являются, аргументами "функции»«, которая по предположению очень мала. В соответствии с этим допускаем, что вариации величин р;, о; очень малы и берем последние в виде о о до = ао + сс«, р; = Ь + Д11 где аь д«фиксированы, а;, ~~ — весьма малые переменные величины. Разлагая»«в ряд по степеням ан ~ь получаем а=а,+~ « — ',"'+ ~~,ф+...
1 да« ~« Уравнения (6) дадут «Ь« = — —..Й4, Н()о = — Й$. д»«д»1 (7) Но «дифференциалы, обозначенные символом б, являются собственно дифференциалами произвольных постоянных, ставших переменными; а так как эти дифференциалы могут быть теперь отнесены и ко времени «, то представляется допустимым и даже удобным заменить символ б символом сь, тогда для определения новых переменных... будем иметь уравнения»о Полагая в первом приближении й = »«„из (7) получаем (8) Подставив эти значения в выражение для П, получим для второго приближения () () с~~ ~~~~ ~ ~~2о «(«+ ~ ~о~ ~ ~о «ц (9) что позволит перейти к следующему приближению, и т. д. В этом пункте Лагранж приводит не вполне исчерпывающие вопрос соображения относительно воэможности появления так называемых вековых (секулярных) членов: если функция»«» содержала время Г только под знаком синуса и косинуса, не могут ли появиться в процессе приближений слагаемые, в которые «войдет вне знака периодических функций, в той или иной положительной степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
