Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Историческим фактом является то, что в оптике блестящие результаты Гамильтона не были сраау использованы. В парадоксальном объяснении этого явления у Конвэя и Синга: «Гамильтон оказался в состоянии представить всю теорию геометрической оптики в столь компактном виде, что ее применение казалось почти невозможным делом», есть лишь небольшая доля истины, но сам вопрос относится к истории оптики. Только в конце века А.
Брунс (и другие) переоткрыл некоторые результаты Гамильтона, и тогда началось их «внедрение». В свою очередь это усилило интерес к оптико-механической аналогии, к генезису идей Гамильтона в механике и палея<иле свой отпечаток на развитие физики в первые десятилетия ХХ в. 2. Механические параллели, как мы видели, Гамильтон все время имел в виду. Добавим, что в подробном оглавлении его «Теории системылучей»указано содержание неопубликованной третьей части этой работы.
Последняя глава этой части названа «Закон наименьшего действия», и в нее должен был войти такой пункт: «Основания для того, чтобы назвать этот принцип принципом постоянного действия; аналогичный приннип, относящийся к движению систем тел»'«. Но в печати впервые Гамильтон выступил с изложением своего метода в механике (в частном виде) в 1833 г., опубликовав статью «Об общем методе определения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции "». Рассмотрим ее более подробно.
Статья начинается с обзора истории оптики. Этот обаор заканчивается четкой формулировкой тезиса, что, принимаем ли мы теорию Ньютона или Гюйгенса или какую-либо другую физическую теорию для объяснения законов «световой или визуальной связи», неаависимо от этого можно рассматривать эти законы и свойства лучей света как важный предмет исследования, составляющий особую науку — математическую оптику.
«Эта наука, как всякая другая физическая наука, имеет различные направления развития, нааываемые восходящей и нисходящей шкалой, индуктивным и дедуктивным методом, путем анализа и путем'синтеза. В каждой фиаической науке мы должны восходить от фактов к законам путем индукции и анализа и нисходить от законов к следствиям путем дедукции и синтеза» ". И в оптике, «которая привлекала внимание почти каждого математика в течение последних двух тысяч лет», оба эти метода дали немало больших открытий.
Но хотя законы этой науки могут быть беа труда сформулированы математически, математические следствия из них получены в весьма ограниченном объеме: «в то время как современные эксперименты так много способствовали индуктивному прогрессу оптики, дедуктивная оптика непропорционально мало использовала мощь современной алгебры»' ».
Причина последнего — в отсутствии общего метода, руководящей идеи. Потому что хотя дедукция сама по себе есть метод, но метод настолько обширный и равносторонний в своих применениях, что ему нужек, дабы он был цельным и мощным, какой-то центральный основной принцип. «И тот, кто размышлял о красоте и полезности общего метода Лагранжа в теоретической механике, кто ощутил мощь и достоинство центральной динамической теоремы, выведенной Лагранжем в «Аналитической механике» путем сочетания принципа виртуальных скоростей с принципом Деламбера, кто оценил простоту и гармонию, внесенные Лагранжем в исследование возмущений планет благодаря идее вариации параметров и дифференциалов пертурбационной функции, должен почувствовать, что математическая оптика только тогда достигнет уровня, сопоставимого с матема- х — х и= У так что дУ ду и= —,...
и««= — —,, дх ''' дх' ' А так как а» + р» + т» = 1, то функция у доля«на одновре- менно удовлетворять двум уравнениям в частных произ- водных первого порядка второй степени. тической механикой, или с динамической астрономией, по красоте, мощи и гармоничности, когда она будет обладать соответствующим методом и станет воплощением одной центральной идеи»т'. Но такой общий метод дедуктивной оптики должен основываться на возможно более общем законе или принципе из числа «высших результатов индукции». Таким является закон наименьшего действия (стационарного).
Охарактеризовав, в общих чертах, этот закон и свой аакон варьированного (переменного) действия, Гамильтон на простейшем примере светового луча идущего из точки (х', у', з') в точку (х, у, з) и образующего углы а, р, т с осями прямоугольной системы координат, демонстрирует свою характеристическую функцию у. В этом случае имеем К =- уг(х — х')'+ (у — у')'+ (з — з')», Дальше рассматриваются общая формулировка метода в оптике и вытекающая из него методика расчета, что составляет основное содержание статьи.
Но под конец мы читаем: «Теперь остается только, чтобы закончить предыдущие замечания, коротко пояснить уже сделанные намеки относительно аналогичной функции и аналогичного метода при исследовании планетарных и кометных орбит под влиянием их взаимного притяжения. Такая точка зрения представилась мне тому уже несколько лет„., но я до сих пор не опубликовал по этому вопросу ничего определенного»' ». И Гамильтон разбирает в качестве простого примера комету, массой которой пренебрегаем и которая движется только под влиянием силы притяжения к Солнцу по параболической орбите. Массу Солнца полагаем равной единице и Солнце считаем находящимся в на- »В и, Б, погре«ыссхха хев чале координат.
Пусть г — радиус-вектор .'кометы в любой (конечный) момент ~, г' — ее радиус-вектор в начальный момент, г ' — длина хорды, соединяющей концы г и г'. Положим (г = 2 )с'г + г' + г" ~ 2 )'г+ г' — г". Тогда прямым вычислением находим составляющие скорости кометы по осям ортогональной системы координат в конечный и начальный моменты в виде дз 6У ду бУ сСт бк сСС бх ' дС бу ' дС бз дс' бр ду' 6У дк 6У сСС бх' ' дС бу' ' сСС дг' Отсюда следует, на основании известного вырахсения для скорости кометы, что функция (' удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных производных: (80) «Я обнаружил,— продолжает Гамильтон,— что все остальные свойства параболического движения кометы тоже согласуются с приведенными уравнениями и содержатся в нихз.
Например, зги уравнения легко скомбинировать так, чтобы получить соткрытую Эйлером теорему о зависимости времени с — с' от хорды параболы г" и суммы г + г' радиусов, проведенных к ее концам». Но далее следует существенное обобщение. Гамильтон пишет, что аналогичные результаты получены им для любой системы точек илн тел, притягивающихся или отталкивающихся по особому закону, зависящему от нх взаимных расстояний, например, для Солнечной системы.
При подходящем выборе характеристической функции г' конечные и начальные значения количества движения любой точки системы можно выразить через частные производные первого порядка от у: дзс 6У дхс 6У тс — = — ... т,— =— дс бис '''' дс бис бу т,— = — —,,..., (8с) бх' ' 1 тел, рассмотренная с помощью моей характеристической функции», написанной раньше, чем разбираемая статья (эта работа увидела свет только в 1940 г.— она вошла во второй том Собрания сочинений Гамильтона), вводится характеристическая функция У = ) Т«< (Т вЂ” живая сила системы). В обеих работах мы видим, как постепенно Гамильтон вырабатывал, так сказать, систему механических эквивалентов для своих результатов в оптике. То, что характеристическая функция у него всегда удовлетворяет двум уравнениям в частных производных, является вполне естественным в этой связи, хотя математически естественно было свести дело к решению одного уравнения (впоследствии Якоби считал, что использование двух уравнений вместо одного затемняет суть прекрасных открытий Гамильтона).
Во всяком случае с оптикой связано то, что интегральный вариационный принцип варьированного действия занимает центральное место в теории Гамильтона, оптика подсказала метод интегрирования задач динамики. Этот метод с учетом последующих работ, обобщений н усовершенствований можно назвать методом Гамильтона — Якоби — Остроградского. 3. Первой работой, положившей начало теории Гамильтона — Якоби — Остроградского, была статья Гамильтона 1834 г.
«Об общем методе в динамике, посредством которого изучение двия<ений всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сводится к отысканию и дифференцированию одного центрального соотношения или характеристической функции» ". Она шире своего пространного заглавия. В З 2 речь идет о системах, для которых справедлив закон живой силы Т=б'+Н, где Н вЂ” постоянная (во времени).
«Однако величина Н может получить любое произвольное приращение, когда мы мысленно переходим от системы, движущейся по одному пути, к той же системе, двия<ущейся по другому пути, при тех же динамических соотношениях между ускорениями и положениями ее точек, но при различных начальных данных». Мы узнаем здесь идею перехода от стационарного действия к варьированному. Итак, применяя в этом смысле знак Ь, получаем ЬТ = ЬУ+ ЬН.
лев Если учесть, что Т = '/«Хт (х'+ у'+ з«), а ЬН = Хт (хбх + убу + гбз), то, помножив (а) на а«и проинтегрировав, получим ~ ~ т (Йхбх + «(убу + «(гбг) = = т т (охбх+ аубу + а2бг) + ~)бнет, «что дает согласно принципам вариационного исчисления Ьт' = ~~~~~т (хбх+ убу+ збг)— — ~~~ ~т (або+ ЬЬЬ+ сбс) + ЯН, если мы обозначим через У интеграл (А) К = ~ ~~ т (х«(х+ у«(у+ Ыз) = ) 2Тй, о Итак, общая задача (для консервативных систем) сведена к отысканию одной единственной функции )" зная ее, «оставалось бы только исключить Н из Зп+ 1 уравнений (С) и (Е), для того чтобы получить все Зп промежуточных интегралов, или из (Р) и (Е), для того чтобы получить все Зп конечных интегралов дифференциальных уравнений движения»«'. Но откуда взять непосредственно функцию К? Так как в нашем распоряжении интеграл живых сил Т = У + Х или, для начального значения времени, Т = У» + Н„где У вЂ” заданная функция координат, то, 19« а именно накопленную живую силу, часто называемую действием системы от ее начального до конечного положения«т«.
И отныне Гамильтон рассматривает «' как функцию начальных и конечных значений координат, следовательно, из (А) получаем уравнения дУ дУ вЂ” т«хм > тпзп дх, ' ''' дт„ (с) ду ду — = — т«ам ° ° — = — т„с„; (Р) да« дев бУ бн =' (Е) используя (С) и (Р), получаем два уравнения, которым удовлетворяет г' и к интегрированию которых сводится вся задача: «и рассматриваем часть Я, а именно определеннь«й инте- грал Н = ~(Г+ Н1(г о как функцию начальных и конечных координат и времени, так что вариация этого интеграла, согласно нашему закону переменного действия, будет 6Я = — НЬ| + Я т (хбх — аба + убу — Ь66 + лба — сбс).
Отсюда 6« — = — Н' 6« 6Ю 6Я вЂ” = т~х«,...;, = — т«а« 6х« '''' 6«; Но «рамки данной работы не позволяют нам развить след- ствия, вытекающие из этих новых выражений»". Указано только, что 8 удовлетворяет уравнениям и намечена общая схема метода теории возмущений приме- Проверка этой вычислительной схемы, применение ее к системам двух, трех и большего числа материальных точек и построение, применительно к новому методу интегрирования, теории, аналогичной теории возмущений в небесной механике, составляет дальнейшее содержание атой работы Гамильтона. В конце же работы вводится такое важное видоизменение метода, которое Гамильтон называет <введением времени в общем виде в выражение характеристической функции в любой задаче динамики». Полагаем нительно к функции 8. А именно, пусть Я=Я»+Я„ где Яс — приближенное выражение для Я, Я» — искомая поправка к этому приближению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
