Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 37
Текст из файла (страница 37)
системы Ох'у'х', остается той н<е величины, прилеплена в той же (материальной) точке и сохраняет свое направление. Таким образом, величина силы одинакова в обеих системах координат, координаты точки приложения постоянны в подвижной системе, направляющие косинусы постоянны в неподвижной. Такая система сил (будем говорить система связанных сил) является обобщением системы параллельных между собою сил тяготения, для которой понятие центра было введено Архимедом как центр тяжести и Вариньоном в общем виде (центр параллельных сил). В первых исследованиях по астатике Ф.
Г. Миндинга (1806 — 1885), напечатанных в журнале Кролля (14 и 15 тт.) и изложенных в систематизированном виде в его «Механике» ', это понятие обобщается на случай системы связанных сил. Почти одновременно с Миндингом начал работать в области астатики А. Мебиус, его исследования вошли в уже указанный выше «Учебник статики» '. Полученные ими результаты могут быть изложены более просто по методу, примененному Г. Дарбу (С.
ПагЬопх) «. Разложим каждую силу Ро приложенную в точке ть на три силы, приложенные в той же точке и направленные вдоль осей неподвижного трнэдра Охуг. Наша система связанных сил заменяется тремя системами параллельных сил, нападая из которых в общем случае астатически эквивалентна одной си- хве ле, прилоя1енной во вполне определенной точке — центре соответствующей системы параллельных сил.
По известным нам формулам обычной статики (проекции Р; обозначим через Хь Уо Уо координаты ин — через хо уо г«), вводя обозначения ,'«" У,=У, '~~~У.,-~, ~,,Х,. Х„ ~оуХ, = Х„, ...,'я.,х, = г„ получаем двенадцать величин, характеризующих систему связанных сил. Это сила Х, приложенная в точке А,(х„у„х„); сила У, приложенная в токе А„(лю ую гг); сила Я, приложенная в точке А,(х„у,, г,); -~х х Х Двенадцать величин Х„..., Я, называют астатическими координатами, или элементами данной системы связанных сил. Если взять произвольную прямую ~, проходящую через О, с направляющими косинусами а, р, 1 и разложить каждую силу Г; на составляющуювдоль этого направления Г; и ортогональную к нему составляющую, система параллельных сил у; сведется к одной силе, приложенной в центре этой системы,— точке с координатами х„+ д'„+ тх„ах„+ («у„+ тк.„ аХ+««У+ТЕ' ,' аХ+бУ+тЕ з аХ» + ««Уг + т7л «Х-+ ау т, При поступательном движении тела, на которое действует система связанных сил, ничто не изменяется, поэтому надо учесть только вращения вокруг точки О.
Оказывается, что при этом вращении, когда изменяются а, р, т и, следовательно, х, у, г, точка с координатами х, у, г остается в плоскости, уравнение которой сразу составляется по астатическим координатам: 1, т, у, г — 0 у у„ у„ у, х х„ х„ х, хте Действительно, очевидно, что в этой плоскости лежат три точки А„Аю А„и это ее, вообще говоря, вполне определяет, а с ними в одной плоскости долл<на лежать и точка (з, у, г) при любых а, р, т. Эта плоскость, введенная Миндингом и вслед за ним Мебиусом, называется центральной плоскостью рассматриваемой системы сил. Она неизменно связана с триэдром Охуг, т.
е. с телом, к которому прилоясены силы. На этой центральной плоскости выделяется центральная точка той же системы сил. А именно при всяком разложении сил Р«по трем взаимно перпендикулярным направлениям, не совпадающим в общем случае с направлениями осей триэдра Охуг, мы сведем систему «и; к трем силам, приложенным в точках, находящихся в центральной плоскости. Припишем каждой такой точке «вес», пропорциональный величине приложенной в ней силе, и найдем центр тяжести этих трех точек. Он оказывается одним и тем же для всех разложений, его координаты определяются по формулам хх, + уу.
+ гг, хо = г«+у«+г« ХХ„+1 у„+ ггч У«=- у* ( у«г« "хг + у1 *+ ~~а х' .(- у' -(- е Эта центральная точка (Миндинга) занимает в теле вполне определенное положение — это действительно (астатический) центр заданной системы сил. Приведение к трем взаимно перпендикулярным силам удобно для определения центральной плоскости и центральной точки,но не является единственной канонической формой приведения в астатике.
В работах ее основателей (Миндинга, Мебиуса) различные исследованные ими формы приведения естественно возникают при рассмотрении проблемы астатического равновесия. Эта проблема ставится следующим образом. Пусть на тело действует связанная система сил и пусть тело находится в равновесии. При поступательных перемещениях равновесие сохраняется, но при вращении тела оно может нарушаться. Коли уравнения ХХ«=-0,..., Х(у,.Е; — з;У«) = Э, (сс) и если (Ххр)Р + (ХУ~)Р + (ХЯр)Р+О, исключением х„, ур, з„Х, У, Яр получаем условия приводимости к однои силе ~Ч~ ~Х,.хр ~ У,.хр ~~ Я,.х,. ~,'Х,. ~',Ур ЯХ,.
Ч~~~ ХрУр ~ Урвр Ч~~ ~Ерв ~хр ч'.у, ~х, х'.) х' Х Ул Х хсзр ~Хр ~1р ~,'г,. Если они соблюдаются, то Х =Ххь ~уру, ~, л... ур= ~у 1 р= ~д е ~ Х,.х; имели место в начальном положении. то при каких условиях, налагаемых на силы, они будут удовлетворяться при любом повороте около начала координатр Ответ получается просто. Выразим координаты х, у, г через координаты х', у', г'. Коэффициенты преобразования выражаются через косинусы и синусы трех эйлеровых углов. Перепишем уравнения (а) в этих величинах. Эти уравнения будут удовлетворяться при любом положении тела, т. е.
при любом значении эйлеровых углов, если коэффициенты при каждом слагаемом, зависящем от этих углов, будут одновременно равны нулю. Это дает двенадцать условий астатического равновесия, или астатичности рассматриваемого тела, Х=~~~~хр=о, У= ЯУ;=О, ~~Хр=Х=О, ;,"Х,,=Х„.=О, ..., 'ЯХ,'р=К,=О, т. е. должны быть равны нулю двенадцать астатических координат. Пусть система связанных сил не в (астатическом) равновесии; можно ли ее свести к одной силе Вр(хр, Ур, Яр), приложенной в точке (х„ур, з,). Для этого она должна уравновешиваться силою — Вр, приложенной в той же точке тела, что дает двенадцать условий Ххр — Хр=о, ..., Ххрх~ — Х х = О, ..., Хх,гр — Я~я~ = О, и точка (х», у«, г«) — центр заданной системы сил. Если условия (р) не соблюдаются, систему свяаанных сил приводят к силе и паре.
Это оказывается возможным (если (БХ«)»+(БУ«)» + (БЛ;)»+О) при соблюдении уя<е яе шести, а двух условий. При этом в теле выделяется определенная прямая, параллельная плечу результирующей пары и характериауемая тем, что результирующая сила может быть приложена в любой точке этой прямой— центральной оси системы свяаанных сил. При нарушении хотя бы одного из двух упомянутых выше условий система связанных сил приводится к силе и двум парам, мы приходим к фиксированной в теле центральной плоскости, которая параллельна плечам двух реаультирующих пар, а результирующая сила может быть приложена в любой ее точке. Если же БХ« = БУ; = ХЯ; = О, систему связанных сил можно свести к трем парам.
Более детальное исследование таких приведений поаволило обнаружить интересные геометрические зависимости между характеризующими их величинами. Применение этой теории к магнитным приборам в наиболее полном виде было дано норвежским ученым О. Брохом (О. У. ВгосЬ) в его изданном на немецком языке курсе механики ». 4. Одним из вопросов, перешедших в Х1Х в. из ХУ111 в., был вопрос о «доказательстве» закона параллелограмма сил в статике — вопрос сравнительно скромный, но принципиальный.
Начало положила помещенная в первом томе «Комментариев» Петербургской академии наук работа Д. Бернулли, датированная 1726 годом. Считая неправомерным выводить законпараллелограмма сил из параллелограмма движений» (метод Ньютона и Вариньона), Д. Бернулли дал «геометрическое» доказательство закона сложения сил: он не пользовался кинематическими представлениями, а опирался на некоторые приписываемые силам свойства.
Эти свойства, в конечном счете, взяты из опыта: само понятие равнодействующей, предположение, что равнодействующая двух сил проходит внутри угла, образованного направлениями слагаемых, и некоторые другие, оговоренные или не оговоренные. Принципиальное значение такой постановки вопроса двоякое: 1) основное положение статики доказывается, не выходя из круга свойственных этой науке понятий; 2) экспериментальная проверка тех положений, иа кото- рых уже чисто логически выводится закон параллелограмма сил, гораздо проще, чем проверка самого закона.
Различные доказательства этого закона и видоизменения предложенных ранее доказательств были опубликованы в течение полутора веков в большом числе. Назовем несколько имен. Даламбер упростил доказательство Д. Бернулли. Лаплас дал новое доказательство. В Х1Х в. новые по идее доказательства были предложены Пуассоном, Коши, Мебиусом, Остроградским, Ампером. Однако при тщательном рассмотрении всех этих докааательств оказывается, что не все фактически используемые в ходе рассуждений исходные допущения оговорены. Кроме того, все авторы без исключения имели в виду конечную цель и шли к ней, не выявляя попутно, каков будет характер результата, если ограничиться меньшим объемом посылок.
Дарбу поставил себе цель провести доказательство так, чтобы были выявлены все исходные допущения и роль каждого из них. Поэтому его работа была в известном смысле завершающей '". Постановка задачи у Дарбу такова. Даны п отрезков 1м Ц, ..., 1„с общим началом (в точке О) и требуется определить для них закон композиции (сложения, иначе говоря, составления равнодействующей), удовлетворяющий двум требованиям: 1) равнодействующая, единственная и однозначно определенная, остается без изменений, если часть отрезков заменяется их (частичной) равнодействующей, и не зависит от порядка, в котором производятся эти частичные сложения; 2) при перемещении системы п отрезков как твердого тела вокруг точки 0 равнодействующая перемещается вместе с ними, сохраняя свою величину и свое положение относительно слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
