Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Однако представить общие уравнения движения в каноническом виде пе было в теории возмущений столь же естественным делом — такие уравнения в готовом виде входили в условия проблемы и не было необходимости преобразовывать эти исходные уравнения. Поэтому вполне отвечает логике вещей последовательность открытий Гамильтона: только уже располагая своей характеристической функцией и анализируя с этой точки зрения проблему теории возмущений, Гамильтон открывает каноническую форму уравнений движения (воз- можно, не без влияния результатов Лагранжа и Пуассона).
В девятой лекции Якоби приводит уравнения, заменяющие канонические, для системы без силовой функции: если обозначить через ф выражение то уравнения движения запишутся в виде «Ч; дТ дР; дТ ' = — — +О. д«др« ' д«дч««' Это же обобщение было указано Остроградским (в печати — раньше). В восьмой же лекции, записав уравнения Лагранжа для систем с силовой функцией У дРв д(Т+ У) дТ рв д«дд, ' в дд, ' Якоби обращает внимание на то, что «благодаря форме этих уравнений получаем непосредственно следующий замечательный результат: если можно выбрать новые переменные так, что одна из них, д„ не входит в силовую функцию и что в Т не входит сама переменная д„ а входит только ее производная д, то из этого обстоятельства каждый раз получится интеграл данной системы дифференциальных уравнений, именно р, = сова»» '.
Второй раз (впервые у Лагранжа) выявляется то упрощение, которое вносится наличием «циклической» координаты. Новый важный результат содержит 19-я лекция. В ней доказано, что два уравнения в частных производных Гамильтона для его характеристической функции К = ~ (Т вЂ” 7У) аЧ связаны друг с другом: они переходят одно в другое при перестановке переменных Г, ды ..., д1 с их начальными значениями ««, дн ..., д„, если одновременно заменить о о Г на — »', Л» на — й«. Тот же результат формулируется для более общей «изопериметрической» задачи, после того как Якоби показывает, что уравнения «Эйлера — Лагранжа» этой задачи можно тоже представить в канонической форме. В этой и следующей лекции доказаны теоремы, в определенном смысле завершающие построение теории: если (дГ!дг) +ф = О есть любое уравнение в частных производных первого порядка, где ЧУ=ФИ Чпр~) Р~= э (~=~ 2 ''' Р) ау и если известно полное решение этого уравнения У, т.
е. решение, содержащее кроме аддитивной постоянной еще р произвольных постоянных, то система зависимостей дУ вЂ” = Р. дя,. ф; — новые постоянные) дает полную систему интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений й; д~р яр; дф (и) ,и ар,.
и дд, Последние уравнения являются условием того, чтобы обращалась в нуль стоящая под знаком интеграла часть вариации 6,~ ~Ы~, если ~р, будучи выражено через г, дь д;, связано с ф соотношением 1 =- Х Р~Т вЂ” Ф причем в правой части д, заменяются «импульсами» р; = — (д<р!дд;). Если же исходить из функции у'= ~уй ь и потребовать обращения в нуль 6У, то приходим к канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений (а) и убеждаемся, что функция У должна удовлетворять уравнению в частных производных — +1= О.
дУ 2. Очередным вопросом стало изучение математической проблемы — связи между решением уравнения в частных производных и решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Такой переход от механики к математике обычно характеризуют как формальное на- правление исследований. И Якоби, который действительно положил много труда на развитие математических методов, ставших актуальными в связи с теорией Гамильтона, не избежал таких упреков. В историко-научной литературе встречаются упоминания о «формальной школе» в механике, основанной Якоби в Германии. Подобного же рода характеристики даются и Лагранжу.
Например, в ряде работ по истории механики ХУН1 в. К. Трусделл, изучая работы Эйлера, противопоставляет их «формальным исследованиям Лагранжа» и, видимо, склонен оценивать влияние Лагранжа в области механики как отрицательное'. Подобные оценки, с нашей точки зрения, не оправданы, они не учитывают внутренней логики развития механики, да и внешние факты не приняты здесь во внимание в должной мере. Ведь совершенно неизбежно, что при достаточном развитии теории, когда определенные задачи удается сформулировать математически, нужный для их решения математический аппарат становится предметом исследования и разработки, если его нет в готовом виде. И такое математическое исследование часто происходит в пределах той науки, для которой оно понадобилось.
Но если для математики такое направление обычно является прикладным, то в механике, скажем, оно уже выглядит формальным. Тем не менее такой зтап при изучении определенной проблемы является неизбежным и необходимым. Со временем, когда движение в етом направлении будет приостановлено «сопротивлением материала», наступит пора и поисков новых интерпретаций результатов, полученных математически, и принципиально новых постановок проблемы то и другое может дать средства для преодоления новых трудностей. А когда обозначится новый успех теории, начнется новый «формальный» период, который снова может вызвать упреки в чрезмерной абстрактности и отрыве от практики. В описанной выше (конечно, весьма упрощенной) схеме не учтены мощные внешние факторы, которые могут решающим образом входить в игру.
Эти факторы — внешние по отношению к изолированно рассматриваемой отдельной науке, они выражают: одни — внутреннюю логику развития науки в целом, другие — общие закономерности развития общества. Так, в теоретической механике Х1Х в. многое тесно связано с развитием физики. Например, определенная механическая модель оказывается лишенной смыс; нет ла или только недостаточным приближением вследствие изменения физических представлений. Дает ли это основание упрекать в «формализме» тех, кто работал над этой моделью, что было в свое время неизбежным и необходимым этапом? Поучительными примерамиявляются система «молекулярной механики» в духе Лапласа и модель идеальной жидкости.
Социальные условия во многих случаях также могут приводить к тому, что затягивается этап чисто теоретической разработки и что полученные результаты медленно осваиваются и корректируются практикой. Это в состоянии надолго задержать развитие теории, влечет за собой то, что она выглядит формальной, оторванной от практики, но не дает оснований оценивать тех, кто ее разрабатывал, как представителей формального направления. Блестящие работы Гамильтона по геометрической оптике в течение нескольких десятилетий оставались без применений — этот факт не говорит о «формальности» направления, представленного этими работами. Он может быть полностью объяснен только на основе привлечения большого материала из истории техники и с учетом условий общественного развития в Х1Х столетии, и можно не сомневаться, что подобный анализ выявит полную закономерность такого явления, тогда как анализ самих работ Гамильтона показывает, в рамках истории науки, полную закономерность их появления.
Вернемся теперь к теории Гамильтона — Якоби— Остроградского (мы увидим вскоре, что есть все основания объединить эти три имени). Ее надо рассматривать как целиком идущую,по идеям и методам, в русле аналитической механики Лагранжа. Как раз зтя новые успехи аналитического метода, связанные с дальнейшим увеличением доли абстракции и разработкой математического аппарата, позволили в близком будущем заново и в более широком плане осмыслить физическую суть этих обобщений и расширить область их применения. Те, кто выполнял такую работу, оглядываясь на прошлое, выделяли в нем именно абстрактный аспект, однако, пользуясь трудами исследователей того периода, должным образом оценивали их значение. Это отчетливо видно в высказываниях Максвелла о методах Лагранжа и его последователей. В начале пятой главы четвертой части «Трактата об электричестве и магнетизме» (том второй) » читаем: «В четвертом разделе второй части своей «Аналитической механики» Лагранж дал метод сведения обычных динамических уравнений для движения частей составной (сошрозео) системы к такому числу, которое равно числу степеней свободы системы.
Уравнения движения составной системы были даны Гамильтоном в другойформе,что повело к значительному обогащению этой высшей части чистой динамики. Так как мы стремимся ввести электрические явления в рамки динамики и для этого намнеобходимо иметь динамическое представление в виде, пригодном для непосредственного применения к физическим вопросам, мы посвятим эту главу изложению динамических идей с физической точки зрения. Целью Лагранжа было сделать динамику применением математического анализа. Он начал с того, что выразил элементарные динамические зависимости в виде соответствующих зависимостей между чисто алгебраическими величинами и вывел из полученных таким образом уравнений свои окончательные уравнения чисто алгебраическим путем.
В уравнениях движения для составляющих систему частей появляются некоторые величины (выражающие реакции частей системы, вызываемые их физическими связями), и с математической точки зрения исследование Лагранжа представляет метод исключения этих величин из окончательных уравнений. На различных этапах этого исключения наш ум занят вычислениями и его не надо обременять динамическими представлениями. Напротив, наша цель — развитие наших динамических представлений. Поэтому мы воспользуемся трудами математиков и сделаем обратный перевод их результатов с языка математического анализа на язык динамики, так, чтобы наши слова вызывали в уме образ не некоторого алгебраического процесса, а некоторого свойства движущихся тел»».
В конце этой главы своего трактата Максвелл пишет: «Такое описание методов чистой динамики не бесполезно, потому что Лагранж и болыпинство его последователей, которым мы обязаны этими методами, вообще ограничивались их доказательством и, чтобы сосредоточить свое внимание на символах, с которыми они имели дело, стремились изгнать все представления, кроме чисто количественных... Чтобы иметь возможность ссылаться на результаты такого анализа, пользуясь обычным динамическим 14 и. Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
