Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

погребысскиа 209 языком, мы старались дать перевод метода на язык, понятный без использования символов» ". «Так как развитие идей и методов чистой математики сделало возможным, благодаря созданию математической теории динамики, выявить многие истины, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то, если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические истины, и математические выводы. «Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как наука об электричестве, с силами и с их действиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, являющиеся достоянием основной науки — динамики, чтобы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый нами язык нам помогал, а не мешал» ". 3.

Исследования Якоби, связанные с методом Гамильтона и изложенные им в последних лекциях его курса, действительно в значительной мере являются чисто математическими не только по методу, но и по формулировкам и содержанию результатов. Обобщив метод Лагранжа интегрирования уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными на случай любого числа переменных, Якоби получает возможность глубже проникнуть в свойства канонических систем (он их называет изопериметрическими) дифференциальных уравнений. При вычислениях большую роль играют «скобки Пуассона», которые, как мы знаем, впервые были введены в теории возмущений. Якоби в связи с этим снова находит теорему Пуассона, которую мы приведем в его формулировке ". Пусть дана система «изопериметрических» дифференциальных уравнений л««э~ лр,.

ан ш зр« ' л» дд« (»'=$,2,...,п), которая при Н = Т вЂ” Н переходит в систему диффереь. циальных уравнений динамики. Если мы знаем два неза- висящих от 1 интеграла Н, = Ь„Н, = Ь, этой системы и составили выражение ! дО«дН, дО, дН«««» и, = (н„н,~ = ~ ~ — — ' — — ' — ~, ~, др; зд«др«дд«) то соотношение Н, =- Ь», где Ь» обозначает третью произвольную постоянную, вообще является новым интегралом системы '4. Тутже указывается, что в частных случаях Н» может быть постоянным числом или функцией от Н„Н«, Н (Н = Ь есть очевидный интеграл канонической системы, раз» не входит в Н), и ~огдаН, = Ь» не является новым интегралом. Якоби считает эту теорему одной из самых замечательных во всем интегральном исчислении и, «в частном случае, когда положено Н = Т вЂ” Н, это есть основная теорема аналитической механики.

Именно она показывает, что если имеет место теорема живой силы, то из двух интегралов дифференциальных уравнений двия ения простым дифференцированием вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д., так что либо получатся все интегралы, либо, по крайней мере, некоторое число нх» '». В свое время, получив эту теорему, Якоби «сообщил об этом академиям в Берлине и Париже как о совсем новом открытии», но вскоре заметил, что теорема «уже была открыта, но в течение 30 лет оставалась в неизвестности, так как не подозревали ее истинного смысла, а употребляли ее только как вспомогательную теорему при совсем другой задаче».

Мы приведем здесь поучительные разъяснения Якоби по этому поводу, так как это хороший пример того, как смысл результата, полученного в более конкретнои и, казалось бы, потому более осязаемой формулировке, раскрылся гораздо полнее при более общем подходе. «Если для определенной механической задачи мы проинтегрировали дифференциальные уравнения и теперь хотим, согласно так называемой теории возмущений, развитой Лагранжем и Лапласом, определить изменения, которые претерпевает движение благодаря присоединению малых сил, то мы придем к определенным выражениям, составленным из рп д; и не зависящим от времени,— таков результат, принадлежащий к величайшим открытиям названных геометров.

Пуассон, который повел исследование несколько иначе, нашел, что эти не зависящие от» выраже- 311 14* ния имеют как раз форму (Нь Н»). Эта теорема Пуассона была знаменита трудностью своего доказательства; но ей придавали так мало значения, что Лагранж даже не поместил ее во второе издание «Аналитической механики», а предпочел свои формулы, как более простые. По как раз эта теорема Пуассона по существу совпадает с вышеизложенной. Действительно, если выражения (Нь Н»), которые у Пуассона входят как коэффициенты в возмущающую функцию, не зависят от времени, то они должны быть функциями, которые в первоначальной задаче обращаются в постоянные величины.

По это замечание ускользнуло от математиков и понадобилось на самом деле новое открытие, чтобы выдвинуть теорему в ее истинном значении» ". В связи с этой теоремой Якоби приходит к классификации интегралов канонической системы — классификации, смыслизначение которой в полном объеме раскрылись много позже. Он усматривает, выражаясь его словами, некоторую полярность интегралов, т. е.

их качественное различие. Раньше каждый интеграл был равноценен с остальными: любой давал понижение на единицу порядка данной системы, и к этому все сводилось По теорема Пуассона и Якоби показывает, что существуют, точнее, могут существовать такие интегралы Н, = Ь„Н» = Ь», из которых можно сразу вывести все остальные. «Этот случай является даже общим. В самом деле, если равенства Н, = Ь, Н, = Ь„..., Н = Ь дают все интегралыи мы образуем из их левых частей произвольную функцию Р(Н» Н» ° ° Н )=Н которая может быть заранее задана, то в бесконечно превышающем числе случаев можно вывести из Н +, и из одного из данных интегралов, например из Н„+»' и из Н„все остальные интегралы, и это есть общий случай, так как функция Н »,, приравненная произвольной постоянной, представляет наиболее общую форму интеграла.

По первые интегралы, которые мы находим при решении некоторой задачи, как правило, не являются теми, которые специально принадлежат данной задаче, подобно Н +„и которые составлены из интегралов, получаемых из общих принципов; обычно они — только общих типов, и поэтому мы не получаем из них всех интегралов задачи». Здесь впервые намечен подход к аналитической характеристике общих интегралов динамической задачи, соответствующих законам сохранения. В последующем та же проблема будет возникать в разных планах, подходить к ней будут с разных точек зрения, и это будет связано в большей мере с углублением физической трактовки, чем с усовершенствованием и развитием математического аппарата.

В последних двух лекциях Якоби вычисляет скобки Пуассона для гамильтоновых интегралов канонической системы, т.е. для интегралов, получаемых путем решения соответствующего уравнения в частных производных, и с помощью этих результатов строит теорию возмущений для канонических систем. Здесь появляются дифференциальные уравнения возмущенной задачи, которые, как выражается Якоби, согласуются с дифференциальными уравнениями, данными Лагранжем и Лапласом, в том, что возмущенные элементы являются искомыми переменными и что правые части дифференциальных уравнений выражаются через производные от возмущающей функции по возмущенным элементам.

Но в каждое дифференциальное уравнение в общем случае входят все производные возмущающей функции, и вычисление коэффициентов при этих производных затруднительно. Якоби отмечает, что в «Аналитической механике» Лагранжа «с огромным искусством сокращена растянутость необходимых вычислений» ", но все же преимущества перехода к каноническим уравнениям велики: «Только благодаря тому, что мы взяли элементы невозмущенной задачи как раэ в форме, которую дает метод Гамильтона, мы смогли так упростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только одна производная от возмущающей функции и что коэффициент при этой производной приводится к положительной или отрицательной единице.

Такой выбор элементов имеет огромную важность; поэтому при определении движения планет по методу Гамильтона мы подробно выяснили геометрическое значение введенных там произвольных постоянных» '». И действительно, применение канонических уравнений и соответствующее этому построение теории возмущений во второй половине века прочно вошло в курсы небесной механики, например в известный курс Тиссе- рана. М.

В. Остроградский 1. Работы М. В. Остроградского (1801 — 1802) касаются всех основных проблем аналитической механики того времени. Его первыеисследования30-х годов дополняли и развивали методы Лагранжа; позже, с 40-х до 60-х годов, он много сделал для обобщения и усовершенствования метода Гамильтона, и благодаря его трудам и трудам Якоби теория, основы которой заложил Гамильтон, превратилась в достаточно общее и законченное учение.

Работы Остроградского и Якоби во многих пунктах перекрываются; некоторые их общие достижения были раньше опубликованы Остроградским, другие появились раньше в статьях Якоби, взаимнаянезависимость обоих выдающихся ученых, высоко ценивших друг друга, не подлежит сомнению. Вьппе рассмотрена ранняя работа Остроградского о вариации произвольных постоянных, идейно примыкающая к Лагранжу. В следующих его работах центральное место занимает вопрос об истолковании и обобщении того, что составляло основу механики Лагранжа — принципа виртуальных перемещений.

Характеристики

Список файлов учебной работы