Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В «Аналитической механике» Лагранжа указаны для случая удара уравнения, соответствующие уравнениям Лагранжа второго рода, но нет ни анализа, ни применения этих уравнений. Во втором томе своего «Трактата о механике» Пуассон уделяет много места теории удара ". Особенно подробно он рассматривает различные случаи соударения двух тел, но общей аналитической трактовки удара для системы здесь нет. У других известных нам авторов — предшественников и современников Остроградского — вопросы теории удара освещены менее полно, чем у Пуассона. А. М.
Ляпунов по поводу споров о приоритете, о которых было сказано выше, справедливо заметил, что «...если названное обобщение и было сделано раньше, то этим нисколько не умаляется важность рассматриваемого мемуара, значение которого обусловливается не этим обобщением, естественно вытекающим из анализа Остроградского, а тем, что в мемуаре атом дается общий способ решения вопросов теории удара» ".
5. В сочетании с тем, что сделано Остроградским в механике систем с неудерживающими связями, рассмотренные выше его результаты доводили систему механики Лагранжа, с точки зрения современников Остроградского, до высокой степени завершенности. В работах, которые были откликом на открытия Гамильтона, Остроградский аналогичным образом усовершенствовал новую систему аналитической механики, и есть все основания называть ату систему теорией Гамильтона — Остроградского— Якоби. Сделано это Остроградским в основном в трех статьях, появившихся в печати в 1848 — 1850 гг.
Первой была статья «О вариации произвольных постоянных в задачах динамики» 1847 г. (напечатана в 1848 г.) ". С введением канонических уравнений, естественно, был поставлен вопрос о получении уравнений теории возмущений в канонической форме. Позже подобные исследования влились в более широкое русло общей теории преобразований уравнений динамики. Но в рассматриваемой работе новый аппарат канонических уравнений используется с более узкой целью: упростить вывод той системы уравнений для вариаций произвольных постоянных, которая была дана Пуассоном (см.
первый раздел настоящей главы) и которая явилась, в известном смысле, завершением предшествовавших ей исследований. Остроградский так и формулирует свою задачу в начале статьи: «Мы ставим себе целью изложить упрощения, которые могут быть внесены в знаменитый труд Пуассона о вариациях произвольных постоянных, напечатанный в „эопгпа1 «(е ГЕсо)е Ро)уэеспш«(пе" ". Эти упрощения не представляют никакой трудности, если исходить из той формы, какую г. Гамильтон придал общим уравнениям динамики "; поэтому мы не придаем особого значения тому, что указали на нихэ. Содержание статьи шире ее названия, поскольку первые три параграфа дают вывод канонических уравнений в оригинальном излох<ении автора.
Однако исходные предположения у Остроградского здесь еще те же, что у Гамильтона (стационарные удерживающие связи, силы потенциального характера); обобщение канонических уравнений на случай нестационарных связей было дано им позже на год. В $ 4 дано оригинальное доказательство теоремы Пуассона о первых интегралах уравнений дина- мики. Этот параграф играет роль вспомогательного для последнего, пятого, где собственно и выведены более просто, чем у Пуассона в работе 1809 г., уравнениятеории возмущений, иначе говоря, уравнения, определяющие вариации произвольных постоянных, входящих в решение, соответствующие невозмущенному движению.
Характерным для всего изложения Остроградского является то, что он избегает обращения к какому бы то ни было интегральному принципу и что он неоднократно подчеркивает частный характер предположений о связях по отношению к общим механическим системам, когда связи могут быть и нестационарными, и неудерживающими, и неголономными. Характерно и то, что уравнения Пуассона Остроградский получает как частный случай более общих уравнений, соответствующих предположению, что элементарная работа возмущающих сил имеет вид пе ХХ;дх», а Г(Х;Ьх«+ Р«брт), где Х; и Р; обозначают любые конечные функции координат х, и импульсов р«.
6. Следующая статья рассматриваемого цикла «Об интегралах общих уравнений динамики» относится к 1848 г., а в печати появилась в 1850 г." В Архиве АН СССР" сохранился автограф отчета, составленного Остроградским для непременного секретаря академии Фусса (мл.) о своих работах за 1848 г. Там он следующим образом резюмирует содержание статьи: «В ней рассмотрены методы интегрирования, изобретенные математиками для дифференциальных уравнений движения систем, подчиненных конечным и не изменяющимся во времени условиям, и показано, что эти методы охватывают движение систем, определение которых изменяется в каждый момент времени».
«Определение системы», о котором здесь идет речь, в терминологии Остроградского равнозначно заданию наложенных на систему связей. Итак, то новее, что есть в работе, автор ее усматривал в распространении на системы с нестационарными связями метода интегрирования, связанного с именами Гамильтона и Якоби. Фактически это можно расчленить на два новых для своего времени результата: а) вывод канонических уравнений для этого случая (силы имеют потенциал, который может зависеть от времени, но живая сила системы не является уже однородной функцией второй степени относительно скоростей, а содержит члены первого и нулевого измерений относительно 15 и.
в. погрезысскиа вил этих переменных); б) вывод при этих допущениях уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби и доказательство того, что его полный интеграл дает все интегралы соответствующей канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теперь известно, что эти же обобщения были ранее получены Якоби, но работа Якоби была напечатана посмертно, почти на 20 лет поаже комментируемой статьи, когда не было в живых и Остроградского.
В первых двух параграфах статьи Остроградский останавливается на понятии возможных перемещений. В основном он повторяет здесь трактовку, ранее изложенную им в работах 30-х годов. Главные результаты выведены в последних двух параграфах просто и отчетливо, и в наше время изложение этих вопросов в учебной литературе, как правило, воспроизводит данное Остроградским.
Современниками эта работа Остроградского была высоко оценена. В своем известном обзоре" Кэпи писал о ней, что она «представляет важный шаг вперед в теории уравнений движения». 7. «Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметрической задаче» " — самое обширное и вместе с тем одно из наиболее редко цитируемых произведений Остроградского. Последнее объясняется, вероятно, тем, что многие результаты этой работы были найдены, независимо от Остроградского, К. Якоби. При нсизни Якоби его исследования, относящиеся к этому предмету, оставались в рукописях, но Якоби имел ряд учеников и последователей, которые позаботились после ранней смерти своего учителя о публикации и популяриаации его трудов.
Зтому немало содействовало издание в 70 — 80-х годах прошлого века полного собрания сочинений Якоби. Работа же Остроградского осталась неизвестной большинству западноевропейских ученых, да и в отечественной литературе на нее ссылались главным образом в связи с обсуждением вариационных принципов динамики, что лишь в малой мере отрансает ее содержание.
Затруднял читателей и объем мемуара. Например, Раус пишет, что мемуар «изрядно труден из-за весьма обширных алгебраических преобразований» ". Так или иначе, но хотя приоритет Остроградского, опубликовавшего свою работу задолго до появления в печати исследований Якоби, бесспорен, многое из того,что содержит «Мемуар об изопери- метрах», связывают только с именами Якоби и некоторых других ученых. Чтобы облегчить ознакомление с этим произведением монографического характера, разберем его построение и содержание. Предметом исследования явлшотся те дифференциальные'уравнения, которые получаются как необходимое следствие обращения в нуль вариации интеграла вида ь » 67ах 1п Называя аадачу об экстремуме такого интеграла изопериметрической, Остроградский следует обычной в его время терминологии (см., например, работы Якоби и его «Лекции по динамике»), тогда как теперь слово «изопериметрический» применяют лишь к задачам на связанный акстремум.
В ХУП1 и Х1Х вв. изопериметрическими называли все те задачи, в которых требуется найти некоторую кривую по требованию, что относящийся к ней определенный интеграл должен быть экстремальным по сравнению с соседними кривыми. Раз предмет мемуара таков, то его, на первый взгляд, следовало бы отнести к математическому анализу. Но он является естественным продолжением и раавитием исследований по аналитической механике Гамильтона, Якоби и самого Остроградского и находится в такой тесной идейной связи с работами его автора по механике, что отделить от них этот мемуар совершенно нецелесообразно.
Как в «Лекции по динамике» органически вошло многое из результатов Якоби по вариационному исчислению, так и «Мемуар об изопериметрах» прочно связан с работами Остроградского по механике. Первую часть мемуара образуют 5 1 — 4. Характерной чертой изложения является то, что Остроградский избегает операции интегрирования: вопрос ставится сразу о преобразовании вариации «выражения вида дифференциала» $'й, где г' зависит от 8 и от его функций х„х„..., х с их производными по 1 до некоторого произвольного порядка и включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
