Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вводится оператор д б 1 С ЬУ б М б дя 6 ~ +~ ( + + ссс бс ~ ж ~ бх бх бу бу дс бх)' В этих обозначениях сСС ~+ х-с2т[( бх) +( Ьу) +( Ьх ) ~' где У вычисляется по Ясс бс +'~~ 2т [( бх) +(бу) +(бс ) 1' Отсюда, пренеберегая квадратами частных производных от Я„поскольку Я» считаем, равно как и ее производные, малой величиной, получаем приближенное выражение для Я»с с Я» = ~(У вЂ” Ус) сР о (здесь 8„, = 8„, = 0).
В работе $835 г. «Второй очерк об общем методе в динамике»" теория возмущений и разбор примеров применения нового метода тоже занимают большое место. Все это теперь излагается с помощью введенного во втором очерке аппарата канонических уравнений. Гамильтон исходит сначала из уравнений Лагранжа второго рода для системы и свободных материальных точек, записывая их не в прямоугольных коодинатах, а «в более общих отметках положения ц„ц„..., ц»„»: бт бт бгс <з) По-прежнему Т является однородной функцией второй бт степени относительно ц 2Т = Хц †, и вариация ее 1 записывается в двух видах ьт — ~ ( — ьц + бц) - У', (ц 6 — ьц) «Тогда, если мы для краткости положим ьт — Ьт зтп ~ ° — юзз ЬЧзз и будем рассматривать Т (как мы зто вправе сделать) как функцию следующего вида ~ (мы ' г тззз~ Чы ' ' ~ Чзз)~ 6(у — Р) ез ьч; Теперь, если мы для краткости введем следующее выраже- ние Н: ~ (етм .
~ з зз~ Чтт ' ' 1Чзз) ~~(чп ' ' 1 Чзп)~ то подойдем к новому способу представления дифферен- циальных уравнений движения системы и точек, притя- гивающих или отталкивающих одна другуюззз: зтз« вЂ” — — (т = з,..., Зп). (А) еч; ьн и Далее излагается метод интегрирования: рассматривается вариация определенного интеграла Ю = ~",~~~ (тз = — Н) т(з 0 (причем 6« = 0), для нее получается выражение ьо = ~~~ ~(шьч — рбе) (р, е — начальные значения ю и Ч), и если Я рассматривать как фУнкЦию от Чы е; (включающУю также вРемЯ), полУчим зависимости — 68 Ы Й = — р 6.' ' 6 ч« = з, иее 67 ьр ьт то Увидим, что = = Чм ... и — = — — , ..., 6«т, ' ''' 6Чт 6Чт' и следовательно, общее уравнение (3) может быть преобразовано так: «которые, очевидно, являются формами искомых интегралов бп дифференциальных уравнений движения (А), содержащими только одну неизвестную функцию о» "— главную функцию движения системы.
Гамильтон напоминает, что эта функция была введена им в предыдущей работе в виде и отмечает, что вариация атого определенного интеграла обладает тем двойным свойством, что она «дает дифференциальные уравнения движения для любых преобразованных координат, когда крайние положения рассматриваются как закрепленные, а также дает интегралы этих дифференциальных уравнений, когда крайние положения рассматриваются как переменные». Указав, что вместо Я можно было взять и функцию и функцию $' =- ~Хв =от' = Х~«»дт~ б«з о е (Я' = Х (юб«) — рбе) + ЙХ), Гамильтон переходит к выводу уравнений в частных про- изводных для Я '" и записывает их в виде оЯ ( 68 » оЯ » Ы Он выписывает также аналогичные уравнения для функций () и «'.
Оценивая развитую Гамильтоном теорию, мы видим, что он ограничился случаем свободной системы материальных точек при наличии силовой функции, т. е. системы, в которой действуют только консервативные силы. В этом сказалось, как указывал Л. С. Полак, «астрономическое» направление его научных интересов, но это было вызвано и его общими физическими воззрениями: «Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объ- яснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек»,— читаем в изложении его выступления на съезде Британской ассоциации содействия науке в 1834 г. " И Гамильтон был приверженцем «молекулярной механики»! Далее, оптико-механическая аналогия у Гамильтона играет своеобразную роль.
В оптике результаты Гамильтона согласуются и с теорией истечения, и с волновой теорией, что он усиленно подчеркивал, но истолковываются они в обеих теориях по-разному. Переходя к механике, Гамильтон опирался и мог опираться только на одно истолкование — в соответствии с эмиссионной теорией; иначе в его время и нельзя было смотреть на этн вещи. Поатому исторически не обоснованы упреки, высказанные в адрес Якоби (их можно было бы адресовать и Остроградскому, и другим ученьгм Х1Х и начала ХХ в.), что он, формально развивая теорию Гамильтона, отодвинул в тень оптикомеханическую аналогию: ничего больше тогда нельзя было извлечь из нее и никаких импульсов к обобщению она уже не могла давать. Более глубокое понимание этой аналогии было и могло быть выработано лишь на основе более глубокого изучения применяемого математического аппарата (и по атому пути шли Якоби, Остроградский, это подготовляло более общий подход в работах Ли и других ученых второй половины Х1Х в.) и на основе новых физических представлений, что могло произойти лишь после революционных открытий в физике начала ХХ в.
Все говорит о том, что раньше де-Бройля и Шредингера этого нельзя было достичь, скорее удивительным является то, что это не произошло позже. Надо еще сказать о последовательности открытий Гамильтона. При изложении созданной им теории в современной литературе, включая историко-научную, встречается такое рассуждение. После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, разрабатывается теория их интегрирования, построение же этой теории должно было заключать в себе три последовательных этапа: 1) установление возможно более простой формы уравнений движения — это канонические уравнения Гамильтона; 2) вывод законов преобразований, сохраняющих фор- му канонических уравнений; 3) развитие собственно теории интегрирования систем канонических уравнений, что приводит к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.
Фактически мы видим, что в соответствии с ходом решения оптической задачи введение «главной» функции, открытие вариационного принципа переменного действия и выяснение значения «главной функции» для уравнений движения были первым этапом создания новой теории, вторым же было установление уравнений в частных производных для нового «действия» как средства его определения, что и дало новый метод в динамике. Лишь затем последовало открытие новой формы уравнений движения— канонических уравнений. Все зто было сделано Гамильтоном для свободных консервативных систем. Заодно им же была разработана «теория возмущений» применительно к новому методу.
Задачи же теории возмущений уже непосредственно приводили к исследованию вопроса о преобразованиях, сохраняющих каноническую форму уравнений. Кроме того, требовалось исследование методов интегрирования как канонических систем, так и уравнений в частных производных. Наконец, ограничиваться свободными системами при наличии в теоретической механике общих методов исследования систем со связями не было никаких оснований. Возникающие в связи с этим задачи решались уже на следующем этапе развития новой теории.
И. «»моби 1. Якоби первый начал разрабатывать метод Гамильтона. Полученные им результаты он только частично и без доказательств изложил в небольшой статье 1837 г.' Гораздо более полное и методически обработанное изложение содержится в его «Лекциях по динамике»», прочитанных в 1842 — 1843 гг., но изданных только в 1866 г. (посмертно, Клебшем). Поэтому «Лекции по динамике» надо рассматривать как основной источник для ознакомления с идеями и результатами Якоби.
В восьмой и девятой лекциях излоя«ен принцип Гамильтона и дан вывод канонических уравнений. Все изложение проведено для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время. Якоби говорит о предшественнике Гамильтона: «Важ- нейший шаг вперед в преобразовании дифференциальных уравнений движения, после появления первого издания „Аналитической механики", сделал Пуассон в статье о методе вариации постоянных, которая помещена в 15-й тетради журнала Политехнической школы (1808 г.).
Здесь Пуассон вводит вместо величин д' (д — координаты, д'— в их производные по времени) величины р~ = — »'. Укадд, зывается та форма, к которой Пуассон приводит уравнения движения: дР; о о (1) где К«и Р«не содеря<ат других переменных величин, кроме р и д, причем К; линейны относительно р, Р; — второй степени относительно р. «Эта система 2к уравнений обладает замечательными свойствами, именно дК,, дКг дК«дР, дР,. дРг др, др« ' дд, дР« ' ддг дд; причем первая группа уравнений дается Пуассоном в то время как остальные непосредственно вытекают из его результатов.
Уравнения (2) показывают, что величины К; и Р; следует рассматривать как частные производные одной и той же функции по величинам р; и — дь Этого замечания, непосредственно вытекающего из уравнений (2), Пуассон не делает и тем более он не разыскивает этой функции. Определил ее впервые Гамильтон и благодаря введению его характеристической функции все преобразование чрезвычайно упрощается»«. Эта историческая справка, а также результаты Лагранжа в теории вариации произвольных постоянных, о которых мы говорили в начале этой главы,'покааывают, что в этой теории каноническая форма уравнений, можно сказать, навязывалась.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
