Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 56
Текст из файла (страница 56)
8. Остается перевести изложенную выше теорию на язык механики. Пусть имеем (голономную) консерватив- ную систему с любым числом (и) степеней свободы. Ее положение (состояние) определяется и обобщенными координатами д„, д„. Пусть живая сила системы Т выражается квадратичной формой скоростей 2Т = агзд;дг (), й = 1,..., и). Имеет место закон живых сил Т = У + й. Вводим в рассмотрение дифференциальную форму (2У + 2)))а)г г(д4дю Она играет роль а)У.
Результат Липшица" состоит в том, что заменой переменных зту форму можно привести к виду )1В' + У (АО„..., аО„,) . Это — полный аналог приведенной выше теоремы Бельтрами, только у Липшица речь идет о выражении для живой силы. Обратимся теперь к принципу наименьшего действия ы)) б~ 2ТАг -О )А) в форме Якоби (в) 6 ~ 1) (2У+ 2Ь)~/а)зг(д)дд = — О, )А) где (А) и (В) обозначают два фиксированных положения механической системы. Используя результат Бельтрами— Липшица, получаем Так как 1 есть положительно определенная форма своих аргументов, имеем доказательство того, что действие на реальных траекториях системы (на которых О, = сопзФ,... ..., О„, = сопз$) принимает минимальное значение.
Принцип наименьшего действия определяет траектории системы как геодезические линии при мероопределении )багз = (21) + 2й) (ои Дд, г(д ). Вместе с тем выясняется, что определение траекторий равносильно определению линий, ортогональных к поверхностям О = сопят, соответствующим постоянным зна- чениям действия.
Наконец, последний результат предыдущего параграфа связывает воедино эту задачу с интегрированием уравнения в частных производных относительно функции 0. Таким образом, вся теория Гамильтона— Якоби предстает в геометрической оболочке. Стоит обратить внимание на то, что время нз этих рассмотрений исключается. Это вполне соответствует духу ньютонолой механики, которая оперирует в четырех измерениях, но в которой четырехмерный континуум пространства — времени по существу распадается на трехмерный пространственный и одномерный временнбй. Это позволяет отделить определение траектории от определения закона движения (во времени) по этой траектории. Не повторяет ли изложенная геометризация те оптико-механические аналогии, из которых исходил Гамильтон? Если мыслить наглядными геометрическими образами, то тут много общего с представлениями Гамильтона.
Однако геометрическое истолкование динамики консервативных систем, данное во второй половине века, соответствует существенно более высокому уровню абстракции и общности: геометрическая оптика снабжала исходными аналогиями только в трехмерном случае. Более высокий уровень абстракции соответствовал, как показало дальнейшее развитие, и болыпей общности физических представлений. Чтобы выявить это, надо было связать метрику пространства с распределением в нем материи, о чем размышлял Риман и что было осуществлено в общей теории относительности Эйнштейна.
Изложенные в последних пунктах исследования подготавливали такие построения. 9. Под конец века в историю геометризации механики была вписана еще одна глава. Впрочем, и в ней надо начать с Гаусса. В $829 г. он опубликовал небольшую статью «Об одном новом общем принципе механики» ". Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-вндимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано» «'.
Гаусс только словесно сформулировал свой принцип «наименьшего принуждения», что вызвало даже некоторые расхождения в понимании принципа ". В аналитической записи принцип Гаусса состоит в утверждении, что в действительном движении системы материальных точек т; величина «принуждения» (обозначения обычные) Р = ~ и« ~ (х; — — ') + (р. — — ') + (㫠— — ') 1 минимальна по сравнению с другими движениями системы, совместимыми с наложенными на систему (идеальными) связями ". При сравнении значения «принуждения» на действительной траектории с его значениями на возможных траекториях варьированию подлежат ускорения У;, ро г;, но не координаты и скорости.
Таким образом, принцип Гаусса одинаково приложим к голономным и неголономным системам ". Г. Герц ($857 — 1894) придал принципу Гаусса геометрическую форму. Введем изображатощую (фигуративную) точку ЛХ в евклидовом пространстве Зп измерений (и— число материальных точек, образующих механическую систему) с координатами у тьво )/т;уо )(т;го (»= т,..., п).
Если определить, по аналогии со случаем п = 1, кривизну траектории этой точки, то требование, минимума «принуждения» для системы по Гауссу совпадает с требованием минимума (геодезической) кривизны)для траектории фигуративной точки. Иными словами, путь точки должен быть при наложенных связях возможно менее кривым, или, иначе говоря, возможно более прямым. Это и есть «принцип наиболее прямого пути» Герца, который мох<но положить в основу механики. Это метод геометризации механики, существенно отличный от того, который основан на отождествлении траекторий механической системы с геодезическими линиями.
Принцип Гаусса — Герца проще, чем принцип наименьшего действия, «так как он не требует применения вариационного исчисления: минимизнруется не определенный интеграл, а обычная функция. Однако его большим недостатком является то, что нуя«но вычислять ускорения: вообще говоря, это требует сложных вычислений, тогда как в принципе наименьшего действия имеем дело со скалярной функцией. в которую входят проиаводные степени не выше первой» '». Все же надо напомнить, что на стороне дифференциального вариационного принципа Гаусса— Герца то преимущество, что он непосредственно применим к неголономным системам. Механика и физика 1.
Помимо геометризации, для механики последних десятилетий века характерен другой процесс, который по аналогии можно было бы назвать физикализацией, если бы это слово не было таким неуклюжим. Строго говоря, механика всегда была частью физики, но она была той физической дисциплиной, которая первой оформилась как самостоятельная наука. От эпохи Галилея и до ХХ в. механика была основой физики и служила образцом при построении теории различных ее областей. Пока в этих областях накапливались данные наблюдения и опыта, выдвигались первые общие гипотезы и только намечались количественные закономерности, их взаимодействие с механикой оставалось слабым. Например, учение об электричестве и магнетизме в ХЧП и ХЧ)П вв.
развивалось практически независимо от механики. Лишь после установления законов притяжения и отталкивания магнитных и электрических зарядов могла быть создана, в трудах Пуассона и Грина, теоретическая электростатика и магнитостатика (с использованием в значительной мере того, что уже имелось в теории тяготения). Но это было также началом процесса обратного влияния: Грин и, несколько позже него, Гаусс закладывают основы общей теории потенциала, результаты и методы которой находят применение и в электромагнетизме,и в небесной механике, и в гидромеханике, и в теории упругости.
Приведенный пример демонстрирует общую закономерностго по мере формирования (на основе механики) новых разделов теоретической физики последние, в свою очередь, начинают оказывать влияние на механику. И это влияние имеет тенденцию со временем усиливаться. Во взаимоотношениях механики и физики есть и другая сторона. В Х1Х в., кан и в ХЧ11 и ХЧП1 вв., объяснить что-нибудь в физике и построить теорию явления означало (по господствовавшему в науке убеждению) объяснить с помощью механики, построить механическую модель. На этом пути были достигнуты значительные успехи. Акустика еще в ХЧГП в. была принципиально сведена к механике: теория звука стала учением о колебаниях механических систем (упругих тел типа струны, мембраны, стержня, столба воздуха в трубе и т.
п.). В Х1Х в. успехи волновой теории света позволяли делать вывод, что в оп- тике удастся выполнить аналогичную программу. Создатель электромагнитной теории света Максвелл и крупнейший его последователь Лоренц тонсе стремились сделать оптику разделом механики. В учении об электричестве и магнетизме в течение столетия налицо два главных направления: либо теорию строят по образцу теории тяготения (дальнодействующие заряды), либо, следуя Фарадею, исходят из представлений о поле, и при этом тоже руководствуются механическими аналогиями.
В теории теплоты наряду с успехами термодинамики, где преобладает феноменологический подход, все болыпих результатов удается добиться, исходя из кинетической теории вещества. В итоге развития всех этих физических дисциплин механика становится как бы ответственной за них. Создается положение, когда серьезные трудности или противоречия в других областях физики дошкны обязательно сказаться на механике.
Механика принимает на себя все ббльшую нагрузку как основа растущего здания теоретической физики, но зато и ей уделяется большое внимание: тот, кто надстраивает новые этажи теоретического естествознания, проверяет и стремится укрепить его цоколь.
В первой половине Х1Х в. среди ведущих механиков преобладают математики, во второй — физики. 2. Описанный выше в общих чертах многосторонний процесс взаимодействия механики и физики (все это можно охарактеризовать как «физическую механику») мы проиллюстрируем несколькими примерами.
Естественно начать с уже упомянутой нами теории потенциала. Формирование теории потенциала как самостоятельного раздела теоретической физики сопровождалось значительным изменением содержания ее основных понятий. Первые исследования в этой области — работы ХЪ'111 в., в которых изучалось притяжение сфер и эллипсоидов, решались задачи, поставленные астрономией и геодезией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
