Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Предположим, что жидкость заменена одинаково повсюду проводящим веществом, граница же канала или отверстия — не- Х проводниками. Мы знаем, чго, если с помощью батарей или каким-нибудь другим путем на обеих сторонах поддерживается рззность электрических потенциалов, то через отверстие будет протекать постоянный электрический ток пропорционзльной величины. Отношение полного тока к электродвижушей силе называется проводижосглью канала; таким образом, мы видим, что наша постоянная с представляет просто эту проводимость, если принять, что фиг 58. удельная проводимость гипотетического вещества равна единице. То же самое можно выразить иначе, сказав, что с есть сторона куба, сопротивление которого между противоположными гранями одинаково с сопротивлением канала.
В дальнейшем мы часто будем пользоваться электрической аналогией. Если с известно, собственный тон резонатора легко найти, Так как тяояня Рязонлтогов [гл. ххч Длина волны ), которая является величиной, наиболее тесно связанной с размерами полости, дается уравнением ). = — = 2г. ~/ а / х (б) Ф г с и изменяется обратно пропорционально линейному размеру, Следует заметить, что длина волны является функцией только размера и фоРмы резонатора, между тем как частота зависит также и от приРозы газа; важно отметить, что высота зависит от природы газа, находящегося внутри канала и вблизи него, но не от природы газа, занимающего внутренность сосуда, так как его инерция не играет роли, а сжимаемость всех газов приблизительно одинакова.
Таким образом, в случае трубы замена водорода воздухом в соседстве с узлом вызвала бы лишь малое изменение, но ее эффект в соседстве с пучностью был бы значительным. До сих пор мы говорили об одном соединительном канале, но если имеется несколько каналов, то существенного изменения задача не претерпевает. Та же формула для частоты еще приложима, если мы, как прежде, понимаем под с полную проводимость между внутренностью сосуда и внешним пространством. Если каналы расположены достаточно далеко друг от друга, чтобы действовать независимо, результирующая проводимость есть простая сумма проводимостей, принадлежащих отдельным каналам; в иных условиях результирующая меньше, чем вычисляемая путем простого сложения.
Если имеются дза совершенно одинаковых канала, которые не взаимодействуют друг с другом и проводимость каждого из которых в отдельности есть с, то мы имеем )ч'= ')Г 2 ° — ~/ (у) — уравнение, показывающее, что нота выше, чем в случае только одного канала, в отношении )Г2: 1, т. е. на интервал, значительно меньший квинты, — закон, наблюденный Зондхаусом и доказанный теоретически Гельмгольцем для случая, когда соединительные каналы представляют собой простые отверстия в бесконечно тонких стенках резервуара, 305.
Исследование проводимости для каналов различного рода является важной частью теории резонаторов; однако точное решение задачи во всех случаях — исключение составляют лишь очень нею югие — недоступно современной математике. Можно, впрочем, изложить некоторые общие принципы, проливающие свет на вопрос; во многих же интересных случаях можно получить приближенное решение, достаточное для практических целей. Мы знаем (Я 79, 242), что энергия жидкости, протекающей через канзл, не может быть больше энергии любого воображаемого движения, дающего тот же самый общий поток. Отсюда если поток каким-нибудь путем сузить или ввести какое-нибудь препятствие, то Зоб! !75 ПРОСТЫЕ ОТВЕРСТИЯ проводимость в результате этого уменьшится, так как введенное изменение эквивалентно дополнительной связи.
Перед изменением жидкость могла свободно принять то распределение течения, которое имеет место в конечном счете. В тех случаях, когда точного решении получить нельзя, мы можем воспользоваться свойством минимума, чтобы оцепить нижний предел проводи>юсти; энергия, вычисленная из гипотети ческого закона течения, никогда не может быть меньше истинной и должна превосходить ее, если только гипотетическое и истинное движения не совпадают. Другой общий принцип, который часто бывает полезен, удобнее высказать на языке теории электричества. Величина, с которой мы имеем дело, есть проводимость некоторого проводника, состоящего из вещества с единичной удельной проводимостью.
Принцип состоит в том, что если проводимость какой-либо части проводника возрастает, то возрастает и проводимость всего целого, если же проводимость какой-либо части уменьшается, то уменьшается и проводимость целого; исключение могут составлять лишь несколько весьма специальных случаев, где изменение не имеет места. При прохождении через проводник электричество само распределяется таким образом, по диссипация энергии для данного полного тока является наименьшей из возможных !8 82).
Если бы теперь удельное сопротивление какой-либо части было уменьшено, то полная диссипация была бы меньше, чем прежде, дам<е если бы распределение токов осталос~ неизменным. А )огйоп! это будет иметь место, когда токи перераспределяются так, чтобы сделать диссипацию минимальной. Если бесконечно тонкая пластина вещества, натянутая поперек канала, сделана идеально проводящей, то сопротивление целого уменьшится, если только она не совпадает с одной из невозмущенных эквипотенциальных поверхностей. В последнем исключительном случае это не даст никакого эффекта. 306. Среди каналов различного вида важное место должно быть отведено таким, ко>орые состоят из простых отверстий в неограниченных плоских стенках бесконечно малой толщины.
В практических приво>кепиях достаточно, чтобь> стенка была очень тонкой сравнительно с размерами отверстия и приблизителыю плоско>1 на расстояниях от отверстия, больших сравнительно с теми же размерами. За счет симметрии по обе стороны от стенки движение жидкости в плоскости отверстия должно быть нормзльным и поэтому потенциал скорости постоянным; на остальной части плоскости движение должно бьшь исключительно тангенциальным, так что для определения л на одной стороне плоскости мы имеем условия (!)я = сопз! на площади отверстия, !!!) да!дп = 0 на всей остальной части плоскости стенки, (!)!) л = сола! в бесконечности. Так как для нас интересны только изменения м, то мы можем предположить, что >я в бесконечности исчезае~.
Мы увидим, что 1уб (гл, хш ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ условия (!!) и (!П) удовлетворяются, если предположить, что р есть потенциал притягивающего вешества, распределенного по плошади отверстия; остальная часть задачи заключается в нахождении такого распределения вещества, чтобы его потенциал мог быть постоянным на той же самой плошади. С математической стороны эта задача одинакова с задачей нахождения распределения электричества на заряженной проводящей пластине, расположенной в открытом пространстве и имеюшей форму рассматриваемого отверстия; проводимость отверстия можно выразить через емкосшь пластины в статической задаче. Если ю, обозначает постоянный потенциал в отверстии, то электрическое сопротивление (для Одной стороны) будет где интегрирование распространено по площади отверстия.
Но ~ ~ — г!з = 2п у((полное количество распределенного веше- Г 1дт ,) дп ства), и, таким образом, если М вЂ” емкость, или заряд, соответствующий единичному потенциалу, то полное сопротивление есть (ЯМ)-'. Соответственно этому для проводимости, которая является величиной, обратной сопротивлению, с=ЯМ. ~ = — ~ ~ р гй = х ~ ~ р а'5 = 4пхо !ус я), (2) так что (8) 1) Случай резонатора с эллиптическим отверстием был рассмотрен Геаьмгольцем (Сгетгж том 57, 1860), результат которого эквивалентен (8). з) 2с обозначает здесь третью главную ось эллнпсонда. Насколько мне известно, эллипс — единственная форма отверстия, для которой с или М можно определить теоретически'); в этом случае резулыат содержится в известном решении проблемы нахождения распределения заряда на проводяшем эллипсоиде.
Из того факта, что оболочка, ограниченная двумя концентрическичи, подобными и подобно расположенными эллипсоидами, не производит никакого воздействия на частицу, расположенную внутри нес, легко видеть, что поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, необходимая для того, чтобы давать постоянный потенциал, пропорциональна длине перпендикуляра р, опушенного из центра на касательну1о плоскость в рассматриваемой точке. Таким образом, если р — плотность, то р = хр; общее количество вещества 1;) дается выражением 306) 177 ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ОТВЕРСТИЕ В обычном обозначении 1 Р= .сз уз зз — + — +— аз Ьз сз хз хз уз или, так как —.= 1 — — — —, сз аз Ь-' ' Р— хз уз сзхз сзуз 1 — —,— — + — +— аз Ьз аз Ьз (4) Мы должны теперь найти значение постоянного потенцнапа Р. Рассматривая значение Р в центре пластинки, мы видим, что Интегрируя сначала по г, имеем: р суг = !7 ча Ьс! — ессоззй где е — эксцентркситет; таким образом, л где Р†симв полной эллиптической функции первого рода, Полагая Р = 1, находим с а л Р(е) ' (6) Это — окончательное выражение для емкости эллипса, главная полуось которого а и эксцентриситет е.
В частном случае круга е = О, Г(е) = — л и, таким образом, для круга радиуса сх 1 2 с =2Я. (6) Если емкость резонатора есть Я, то из (6) Э 304 мы находим (7) 12 Ззз. зтж Рзсза, зЗ Если мы теперь предположим, что с бесконечно мало, мы получим частный случай эллиптической пластинки, а если мы больше не различаем две поверхности, то получаем: р == с) / хз уз 2лаЬ згт 1 — — — —, аз Ьз 178 [гл. хзп ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ Площадь а эллипса дается выражением а = яаэ р' 1 — еэ, отсюда, выражая с через з, 1 1 / т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
