Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Отсюда, если мы определяем единниый двойной источник, ияк предел лвух равных и противоположных простых источников, расстояние между которыми уменьшается и интенсивность которых возрастает беспредельно такии образом, что произведение интенсивности на расстояние совпадает с такич же произведением для двух единичных простых источников, помещенных друг от друга на расстоянии, равном единице, то мы моя<ем сказать, что скорость жидкости в А в направлении АА', обусловленная единичным простым источником в В, численно равна потенциалу в В от единичного 'двойного источника в А, ось которого лежит в направлении АА'.
Следует заметить, что эта теорема верна независимо от всяких препятствий нли рефлекторов, какие могут существовать вблизи источников. Но если АА' и ВВ' представляют собой два единичных двойных источника с олинаковой фааой, то скорость в В в направлении ВВ', обусловленная источником АА', та же, что и скорость в А в направлении АА', обусловленная источником ВВ'.
Эти и другие результаты подобного характера можно также получить непосредственным применением общего принципа й !08. Этих примеров достаточно, чтобы показать, что, прилагая принцип взаимности, необходимо учитывать характер источников. Двойной источник, расположенный в открытом пространстве, не слышен из точки, расположенной в его экваториальной плоскости, но из этого не следует, что простой источник в экваториальной плоскости не слышен из положения двойного источника. Этот принцип, я думаю, позволяет объяснить любопытный опыт Тиндаля г7, в котором имеет место >) Тупйа11, Ргоееед(пйе оу где 74оуаг lпе1йпг!оп, январь 1875.
Также Т>и1а11, Ол Болл>б 3-е издание, стр. 405. 'ГЛАВА ХЧ ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБШИХ УРАВНЕНИЙ 296. Когда ничем не стесненный цуг плоских воли попадает в объем, занятый веществом, механические свойства которого отличаются от механических свойств окружающей среды, возникают вторичные волны, которые можно рассматривать как возмущение, обязанное изменению природы среды, — точка зрения, подходящая особенно тогда, когда об.гасть возмущения, равно как и изменение механических свойств, малы.
Если среда и препятствие — жидкости, то механических свойсгв, о которых идет речь, два — сяеимаемость и плотностей трение или вязкость здесь не учитываются. В главе, посвященной сферическому гармоническому анализу, мы рассмотрим прелложенную здесь проблему в предположении, что препятствие сферическое, без какого-либо ограничения относительно малости изменения механических свойств; в настоящем исследовании форма препятствия произвольна, по мы принимаем, что квадраты и высшие степени изменений механических свойств можно опустить.
Пусть с, т), ь обозначают параллельные осям координат смещения частицы, положение равновесия которой опрелеляется через х, у, г, и пусть е — нормальная плотность, а гл — постоянная сжимасмости, так что ьр = те; тогда уравнения движения имеют вид: да д (те) дге ' дх и лва аналогичных уравнения для т) н ".. Полагая, что все двиькепие пропорпионально е""', где, как обычно, й = 2к/)г и (9 244) аз = т е, (!) можно переписать так: д (те) з — — е)Ь а ;"=О.
дх Соотношение межлу сжатием з и смещениями!, 4, "., получающееся при интегрировании (3) 9 238 по времени, есть д; дч д", — = — '+ — + —. дх ду де Для системы первичных волн, перемещающихся в направлении — х, величины т) и " равны нулю; если гь и зе — значения с и з, а тз н яС вЂ” механические константы для певозмущенной среды, то мы инеем, 296) 151 ВТОРИЧНЫЕ ВОЛНЫ как в (2) или, иначе, (та) 'Иаз(+д (бт'ао) Ьа')а а':о=О (5) д,, д где ат и Ьч обозначают, соответственно, т — то и - — ао. Урав- нения для и и ". имеют аналогичным образом вид: д — (тг) — оИаач1+ — (агт ° ао) = О, (6) д (та) оИаа + д (бт 'ао) =О.
Следует залгетить, что Ьт и Ьг обращаются в нуль всюду за исключением того малого пространства, которое рассматривается как область возмугцения;!, т, ь, а, являющиеся результатом возмущения, следует трактовать как малые величины порядка Лт и М так что в нашем приближенном анализе изменениями т и а в первых двух членах (5) и (6) следует пренебречь, так как они умножаются па ма,чьге величины.
Мы получаем, таким образом, из (5) и (6) путем дифференцирования и сложения, пользуясь (3) в качестве дифферен- циального уравнения для а, следующее соотношение: ЧЯ(та) + Ита = Иае — — (Ла ° со) — ЧЯ(бт ° ао). Кагг и в 9 277, решение (7) имеет вид: 4лть = ~ ~ ~ — ( Ч'(Ьт ° ьо) — Иаа д— (бт ° (о) ) г7Ъ', (8) где интегрирование распространяется по об ьему, целиком заключаю- щему в себе об.часть возмущения. Интеграл в (8) может быть пре- образован с помощью теоремы Грина. Обозначая две его части соответсгвснно через Р и Я, мы имеелг: (71 Р= ~ ~ ~ — Чя(7ат ° а )ггьг= ~ ~ ~багга . г Ча(~ )г7(г+ + ~' ~'(е-гаг д а д (е — гггг) ) ') (Зго обозначение принято для краткоши. Для ясности можно было бы писагь с = со+ а1, а = хо+ дао и т.
д., так, чтобы 1, а и г. д. сохраниии свой прежняя смысл.) " (т 'г1 а Иаяс = О, (4) дх но 1о и ао не удовлетворяют (2) в области возмущения, благодаря имеющему там место изменению т и а. Предположим, что полные значения суть 1о+1, т„" и хо+а '), и подставим в (2). Тогда, принимая во внимание (4), мы получаем д (та) дао дт дх — аИаа1 + (т — т ) — + а — — (а — о ) Иаа! = О дх одх о 152 пгиложю>ия овщих >я»знаний !гл. хч где 5 обозначает поверхность объема, по которому распространяетсв тройное интегрирование. Но на Я как Ьт, так и — (>Л>и ° зв) равны д дл нулю, так что оба интеграла по поверхности исчезают. Кроме того, >е -гзь > 1 дя, е- г»л и, таким образом, )> = — — — йч ~ ~ ~ — Аю ° зе д )г.
(9) Если область возмущения мала сравнительно с Л, то мы ма>кем написать Р= — йз,' —,'~ ~ ~б Л. (1О) Аналогичным образом для второго интеграла в (8) находим =-'"'И'— .А '-""'= =>ееаз ~ ~ ~ Ьз ° се — ( — ) >>1»=1йзазчвр — ~~ ~ Ь»>1»,(11) где и обозначает косинус угла между х и г. Линейными размерами области возмущения пренебрегаем в сравнении с Л, а Л пренебрегаем в сравнении с г. Если Т вЂ” объем пространства, где Ьт и Ьт имеют заметные значения, то мы можем написать ~ ~ ~ >Лтд)>'= Т >Лт, ~ ~ ~ Ьзд!г= 7 >Ля, если в правых частях Ьт и Ьз относятся к средним значениям рассма.гриваемых изменений.
Таким образом, из (8) ЛИ >е — ~" — — (>Л>и ° зе — йав Ье ° (е)»). аям~ (! 2) Выразим теперь ."е через зв; из (3) мы имеем св= — ) звдх; та- ким образом, если сжатие для первичных волн равно з = вы Оме""1, Й!е = — зе, и (12) мо>кно представить в форме (13) где зе обозначает сжатие для первичных волн в месте возмущения в момент времени 1, а з обозначает сжатие для вторичных волн в тот же самый момент времени на расстоянии г от возмущения. Так как разность фаз, представляемая множителем е-'»", соответствует просто расстоянию г, то мы можем считатьгчто в месте возмущения рмеет место простое обращение фазы.
Амплитуда вторичных во.щ 296) 153 зависимость от длины волны обратно пропорциональна расстоянию г и квадрал>у длины волны 1,. Из лвух членов, содержащихся в (13), первь>й симметричен во всех направлениях вокруг места возмущения, между тем как второй изменяется пропооционально косинусу угла между первичным и вторичным лучами. Таким образом, место, где и> изменяется, ведет себя как просп>ой источник, а место, в котором изменяется е, — как источник двойкой Я 294). Тот факт, что вторичное возмущение должно меняться по закону й-е, можно показать непосредственно методом размерностей. Если Ьт и Лз заданы, то амплитуда необходимо пропорциональна Т и, в согласии с принципом энергии, должна также изменяться обратно пропорционально г. Но величинами (зависящими от пространства, вреиени и массы), функцией которых может быть отношение амплитуд, являются только Т, г, )„ а (скорость звука) и -, из которых последняя пе может встречаться в выражении простого отношения, поскольку она — единственная из них, которая зависит от массы.
Из остающихся четырех вели~>ин Т, г, Л и а последняя — единственная, которая зависит от времени, и поэтому она также исключается. Нам остаются Т, г и Л, единственной комбинацией которых, меняющейся по закону Тг-' и не зависящей от единицы длины, является Тг->А-в >). Интересное приложение результатов этого раздела можно произвести для объяснения явления, названного гармоническим эхо в). Если первичный звук является сложной музыкальной нотой, то различные составля>ощие ее тоны рассеиваются в неолинаковой пропорции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
