Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это лает нужные расстояния, когда Л известно. В описанном эксперименте Л = 1,2, а = 83. Процесс усиления общего эффекта попеременным блокированием эон можно продолжить значительно дальше. Так, если между источником звука и пламенем расположена соответствующая круговая зонная решетка, вырезанная из листа цинка, то эффект во много раз больше, чем в случае, когда экран совершенно удален '). Решетка, как и в соответствующих оптических экспериментах Соре, играет роль собирательной линзы. Фокусное расстояние линзы определяется выражением (1), которое можно написать в форме: иЛ а Ь ра' !3) так что ра У=— иЛ' (4) 1) «!)!!!гас!!оп о! ЗОБН~Ь, Ргок )роу. /из!., Январь 20, 1888, а) «Асояз!!са! Оьаегуа!!Опз», РШ!.
Ма~., том !Х, стр. 281, 1880; Ргок )шоу. Гиг)„!ос. сц. В действительной решетке, построенной согласно этому плану, восемь зон — первая, третья, пятая и т. д. — ваняты металлом. Радиус первой воны, или центрального круга, равен 7,6 см, так что рз!и = 58. Таким образом, если Л = 1,2 см, 7= 48 см. Если а и Ь равны, то каждая ив этих величин должна быть равна 96 см.
Положение вещей в центре тени круглого диска исследовать еще легче. Если мы построим мысленно систему зон, начинающихся с края диска, то увилим, как в $283, что общий эффект в точке на оси, представляемый половиной эффекта первой зоны, таков же, как если бы не было никакого препятствия. Этот аналогичный анаменитому оптическому эксперименту опыт легко осуществить э).
В одном эксперименте был взят стеклянный диск лиаметром 38 см, а его расстояния от источника и от пламени были сделаны соответственно равными 70 сж и 26 см. Для этого опыта подходит птичий манок, дающий чистый тон (Л = 1,6 см), но его можно заменить игрушечной язычковой трубой нли каким-нибудь другим источником звука. дающим короткие, хотя и необязательно простые волны. В нелабораторной обстановке вместо чувствительного пламени можно пользоваться ухом, вооруженным каучуковой трубкой. 298) 145 РасшиРение теоремы ГРш!л Область отсутствия заметной тени, хотя опа и пе ограничена математической точкой на оси, имеет небольшие размеры, и достаточно очень умеренного перемещения диска в его собственной плоскости, чтобы успокоить пламя.
Непосредственно вблизи центрального пятна имеется кольцо почти полного молчания, а за ним имеется снова некоторое усиление эффекта. Вычисление интенсивности звука в точках, лежал!их в стороне от оси симметрии, слишком сложно, чтобы им можно было здесь заняться. Результаты, полученные Ломмелем '), можно легко приспособить к акустической проблеме. Для данных, указанных выше, диаметр кольца молчания, непосредственно окружающего центральную активную область, составляет примерно 1,7 см.
293. Значение функции Ч, которая удовлетворяет всюду в аамкнутом односвязном пространстве 5 уравнению Чар = О, можно вь!- разить как потенциал вещества, распределенного по поверхности 5. В некотором смысле это верно также и для класса функций, которыми мы теперь занимаемся и которые удовлетворяют уравнению Ч'Ч+йеЧ= О. Последующее доказательство принадлежит Гельмгольцув). В силу теоремы Грина, если Ч и ф обозначают какие- нибудь две функции х, у, з, то 11-'-:"-~ 1~ '" =~~"й--Ш'"-" Прибавим к каждой стороне — ~ ~ ~ )сзЧф!с(Ч»; тогда, если аэ(ЧЕЧ+ ИЕЧ)+ Ф = О и аз(Чсф+ )сзо!) + !У = О, то аз ~ ~Ч вЂ” 'д5+ ~ ~ ~ Чтут!)г= ' ~ ~' — а!5+ ~ ~ ~',Ф Если Ф и !Р равны нулю внутри 5, мы имеем просто ,),) Чд ),) фд (2) Предположим, однако, что с -та» г где г представляет собой расстояние от произвольной точки до неподвижного начала О внутри 5.
Во всех точках, за исключением О, Ф обращается в нуль; последний член в (1) принимает вид: ~ ~ ~ ЧФсЛ/= — ав ~ ~ ~ ЬЧснгИ=4яаеу, !) Еошае), АЗИ. дсг Ьаусг. Алад. »Гсг )Гггсс., !! К!., тои ХЧ, отдел П. См. также Епсус!проел!а В»!талл!со, статья «Ч!яче Тв оту». з) не!т)!о!!г, тисог)с дсг еиугссиссглдипдсп гл !сои»ел глг! оууслсп Еп»Гсл, СгсПс, том ЕЧ11, стр. 1, 1860. 10 Зск.
!ттэ. Рзлея, Н 149 !гл. хге ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ где 6 относится к точке О. Таким образом, получается выражение 4кф=~ ~ — ~ — йЗ вЂ” ~ ~ф- — ( — )Ю+ — ~ ~ 1г(г — й!/,(4) которое при Ч', обращающемся в нуль, дает нам значение ф в любой внутренней точке О через значения ф и д6/дп на поверхности. В случае обычного потенциала, к которому мы возвращаемся, полагая й = О, 6 было бы определено одними значениями дг/дп на поверхности. Йо с конечным й этот закон перестает быть универсально верным.
Для данного пространства 3 имеется, как в случае, исследованном в й 267, ряд определенных значений й, соответствующих периодам возмогкных простых гармонических колебаний, которые могут иметь место внутри замкнутой'твердой оболочки, имеющей форму 5, Очевидно, при любом из этих значений й, ф не определяется своим изменением по нормали на 3, и ясно, что оно удовлетворяет всюду внутри 5 уравнению чаф -1- й'6 = О. Но если предпологкенное значение /г не совпадает ни с одним значением из этого ряда, то задача определена; действительно, разность каких-нибудь двух возможных решений, если она конечна, удовлетворяла бы условию отсутствия нормальной скорости на 5 — условию, которое, согласно предположению, не может быть удовлетворено при вринятом значении й.
Если размеры пространства 5 очень малы в сравнении с Л(= 2я/й), то е-'л" можно заменить единицей, и мы заключаем, что ф очень мало разнится от функции, которая всюду внутри 6 удовлетворяет уравнению чэф = О. 294. Расширяя теорему Грина (!), ! ельмгольц нашел показательство следующей важной теоремы. Если в заполненном воздухогг пространстве, частично ограниченном простираюигигсися на конечное расстояние неподвиокнылси телими, частично оке не ограниченнолг, в какой-либо точке А возбуокдаются звуковые волны, то обусловленный ими в какой-либо другой точке В потенииал скорости а по величине и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в А, если бы в В находился источник звука.
Если уравнение а ~ ~(, д-' — ф д — )до= ~ ~ ~ (фФ вЂ” фФ)й)~, (1) где ф и ф — произвольные функции и Ф = — ав(чзф + йгф) и гр = — аа(7в/ + йгф), прилагается к пространству, целиком охваченному твердой границей и содержащему некоторое число неподвижных твердых тел, и если ф и ф — потенциалы скорости, обусловленные источниками внутри 5, то мы получаем (2) 14г таогвма гельмгольца Таким образом, если з обусловлено нсгочннком, сосредоточенным в точке А, Ф = — 0 всюду за исключением этой точки, и где ) 1 ( Ф дГ представляет собой интенсивность источника. Аналогично, есчн ф обусловлено источником, расположенным в В, то ~ ~ ~ ИГЛ = у,~ ~ ~ РИН.
Следовательно, если источники конечны и равны, так что то (4) что и является символическим выражением теоремы Гельмгольца. Если пространство 5 не ограничено, то интеграл по поверхности все еще равен нулю, и результат будет тот иге самый; здесь, однако, нет необходимости входить в детали вопроса, так как эта теорема заключается в гораздо более широком принципе обратимости, установленном в главе Н. Исследование, проведенное там, показывает, что этот принцип остается верным и при наличии диссипативных сил, при условии, что они возникают как результат сопротивлениИ, пропорциональных первой степени скорости, и далее, что жидкость не должна быть обязательно однородной, а соседние тела — твсрдыми н неподвижными. В приложении к бесконечному пространству все неясности исчезают, если предположить, что колебания медленно затухают, после того как они прошли расстояние между А и В (рассматриваемыми источниками).
Читатель должен тщательно помнить, что в этой теореме одинаковыми источниками звука являются те, которые получаются в результате периодических введений илн изъятий равных количеств жидкости или каких-либо других воздействий, приводящих к такому же эффекту, и что одинаковые источники в одинаковое время не обязательно испускают одинаковые ко .ичества энергии. Так, например, источник, расположенный вблизи поверхности большого препятствия, испускает вдвое больше энергии, нежели источник, расположенный в открьпом пространстве. В качестве примера применения этой теоремы мы можем взять случай слуховоИ, или разговорной, трубы, представляющей собой коническую трубу.
Действие ее, таким образом, одинаково, независимо от того, наблюдается ли в вершине конуса звук, произведенный в некоторой точке снаружи трубы, или же источник равной силы, расположенный в вершине конуса, наблюдается во внешней точке. Важно также иметь в виду, что теоэема взаимности в форме Гельмгольца приложима только к простым источникам звука, кото- 1гд, Х>У Огщие угхаизния рые в отсутствии препятствий давали бы симметричные волны. 1(ак мы увидим более отчетливо в следующей главе, возмо>кпо осуществить источники звука, которые не удовлетворяют этому условию, хотя и сконцентрированы в бесконечно малой области. Здесь достаточно рассмотреть случай двойных источников, для которых видоизмененная теорема взаимности имеет самостоятельный интерес. Предположим, что А есть простой источник, дающий в точке В потенциал — ф, а А' — равный и противоположный источник, расположенный в некоторой соседней точке, потенциал которого в В есть ф + Ьф.
Если оба источника действуют одновременно, то потенциал в В равен Ьф. Предположим теперь, что в В имеется простой источник, интенсивность и фаза которого одинаковы с интенсивностью и фазой источников в' А и А', соответствующий потенциал в А' будет ф и в А' ф + бф. Если расстояние АА' обозначить через л и предположить, что опо беспредельно уменьшается, то скорость жидкости в А в направлении АА' будет равна пределу 7>ф(7>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
