Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Для полного изменения давления, действующего на пластинку, мы имеем (3 244) ~~драв= —;~~ ~як= — ГД -.~~ рд3, где з — нормальная (па!Ига!) плотность, а й меняется пропорционально ага '. '1'аким образом, согласно (1), (2) д .йе( м'й г В двойной сумме га, у~ У ', дЬ'дК (3) которую мы должны теперь вычислить, каждая пара элементов должна быть взята только по одному разу, и эти произведения нужно суммировать после нх умножения на множитель г->е-'"", зависящий от взаимного расстояния элементов. Лучшим методом является тот, который предложен проф.
Максвеллом для обычного потенциала '). Величина (3) рассматривается как работа, которая была бы затрачена для полной диссоциацин вещества, составляющего писк, т. е. для удаления каждого элемента нз области влияния всякого другого, в предположении, что потенциал двух >) Мах>ге!1, «Гаев>у О1 Кезопапсеь РЛП. Тгапа., 1370. 163 3021 КОЛЕБЛЮЩАЯСЯ КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА элементов пропорционален г-ге '"', Величину требуемой работы, которая зависит только от начального и конечного состояний, можно вычислить, предполагая, что операция выполняется любым путем, какой окажется более удобным.
С этой целью мы предположим, что диск разделен на элементарные кольца и что каждое кольцо уводнтся прочь в бесконечность прежде, чем будут нарушены какие-либо нз внутренних колец, Первым шагом является вычисление потенциала 17 на краю диска радиуса с. Взяв полярные координаты О, О с какой-либо точкой окружности в качестве полюса, мы имеем В Вс ссв Е с 2 ( 1Г= ~ ~ — рвгр а70 = ~ ~ е-ееес(рс70 = —. ( (! а-в!асееве)779 О О Эту величину нужно умножить на 2ясс(с, а затем проинтегрировать по с между пределами 0 и !с.
Удобнее, однако, произвести сначала преобразование. Мы имеем 2, 2 — е э'гвс ссв ес!О = — ~ е енес вм ес(0 2 = — ! соя(2йсэ!п 0) О(0 — — ~ Б!Я(2йс Я!п 0) А70 =./О(г) — !К(л), (4) 27' где вместо 2!ес написано л. /О(а) есть функция Бесселя нулевого порядка (О 200), а К(л) — функция, определенная уравнением К(л) = — ~ Б!Я(аз!ЯО)с(О = 2 О 2! Лв ле Л7 3-+ ! 3 О ! 3 О.т+'''~. Отвлекаясь в настоящий момент от дальнейшего рассмотрения функции К мы можем написать (6) и, таким образом, ао 7!о' = — ~ Б7~1к(~) — 711 — У~(~))1. О 164 (гл.
хч ПРИЛОЖРНИЯ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ Но, согласно (б) й 200 и (8) $204, а Ур (з) г д а = я.), (а); а таким образом, если определить К, равенством: а К, (г) = — ~ К (а) г а(г, Р то мы можем написать Полное давление выводится отсюда, если ввести множитель (ала дг дл' так что ~ рр (Ю= а- ° я)гв — ((1 — у(+( — ' — К,(2(ага). (10) — — „) ы.—.
дт / .Iг (2Л)г)А . аае дт Реакцию воздуха на диск можно, таким образом, разделить падве части, из которых первая пропорциональна скорости диска, а вторая †ускорен. Если $ обозначает смещение диска, так что ! = †, то мы имеем а = йа: = (ва †; и поэтому в уравнении дт дв дп' дл' движения диска реакция воздуха представляется силой трения аа ° вКж ° а ~! — — ), l, (2Ю) л)г ) замедляющей движение, и приростом инерции, равным — ВК,(2(ЕЯ). Если Ф)г мало, то мы имеем из ряда (5) Э 200 для уы расположенного по возрастающим степеням, У (2ЬА)1 Ьауз Ла)РА Ла)РЕ )Л1(а ЛД ! .2 1.2В.З 1.2А.За.4 1.2а.3а.ла.р так что член, соответствующий трению, равен приблизительно 1 2 — пав)са(езй"-„. (12) В силу самой природы задачи коэффициент при ! должен быть положительным, иначе реакция воздуха, вместо того чтобь| уменьшить, стремилась бы увеличить скорость. То, что у,(л) 1 действительно всегда меньше, чем — а, можно проверить сле- 2 дующим образом.
Если 0 лежиг между 0 и в, а а положительно, то 302! 165 колввлющАяся квуглдя пллстинкА з!и (г з!п О) — 2 з!и 0 отрицательно, и поэтому Поэтому, когда О)с мало, мы можем написать в качестве выражения для прироста инерции Яй~з 3~,> — = сп!СЯ— 3 зя (14) Эту часть реакции воздуха можно поэтому представить, предположив, что колеблющаяся пластинка несет с собой массу воздуха, равную заключенной в цилиндре, основанием которого служит пластинка, а высота равна 8)с!Зк, так что, если пластинка достаточно мала, присоединяемая масса не зависит от периода колебания. Рассматривая ряд (5) для К(2), можно доказать непосредственно, что 1 Лг Л1 2 — — ! 2 — ! К(2) = — — К(2), Л2, Д2~ 22 (15) или (,» 3+ ! + ) 22' (16) Из первой формы (15) следует, что К, (2) = ~ К(2) 2 а'2 = — 2 — 2 2 ЛК(2) к Л2 а (17) — (з1П (2 51п О) — 2 51п О) з!п О г(0 1 г.
3 1 также отрицательно. Но этот интеграл равен 2 (2) — — 2, а следо- 2 ва1ельно, и эта разность отрицательна для всех положительных аначений 2. Когда к)с велико, /1(2я!с) стремится к нулю, и тогда член, выражающий трение, становится равным просто аяп!св;", Этого ревультата можно было бы ожидать; действительно, если !2)с очень велико, волновое движение в соседстве с диском становится приблизительно плоским.
Мы имеем тогда, согласно (6) и (8) О 245, г(р= ареО, где ре плотность (2), так что задерживающая сила есть я!сэ Ор = азп!(Я ° с. Мы должны теперь рассмотреть член, представляющий изменение инерции, и наряду с прочим доказать, что это изменение является увеличением, т. е. что К,(2) положительно. В результате непосредственного интегрирования ряда (5) для К (который всегда сходится), имеем 2 ! 21 2Я 21 ~ 112 3 12 ° 32 ° 5+ 1Я ° 31 ° ОЯ ° 7 1гл. хч ПРИЛО>КЕНИЯ ОБЩИХ УРЛВНЕНИй С помощью этого выражения для К,(а) легко доказать, что функ- ция всегда положительна. Действительно, ггК(л) Ы 2 1, . 2 ! =„— — ~ 5!П(гюпО)г)В= — ~ сов(гз!ОО)51ИВБ(О, (18) так что К~ (я)= — ~1 ) с05 (л 5!и О) 5!и В гй ~ = 25 ! к о 5 чл ~ (! ~2 — 5!пв — 5 5!П О) 5!П В с(В (19) о — интеграл, каждый элемент которого положителен.
Когда г очень велико, сов(г 5!п В) колеблется с очень большой частотой, и, таким образом, К,(5) стремится к форме: 2 К, (а) = — л. (20) и мы можем положить ОЭ К(л) = — ), + дополнительная функция, ') '-+' О Если г велико, ряд, расположенный по возрастающим степеням, для К и К,, хотя всегда в конце концов и сходящийся, становится бесполезным для практического вычисления, и тогда необходимо обратиться к другим приемам. Заметим, что дифференциальное уравнение(16), удовлетворяемое К, то же самое, какое принадлежит функции БесселЯ Уе, за исключением члена в пРавой части, именно 2ГЯг. ФУнкция К входит поэтому в форму, которая получается, если к общему решению уравнения Бесселя, содержащему две произвольные постоянные, прибавить какое-либо частное решение (16).
Таким частным решением является ! 2 — я К (г) = г ' — л-а + 1Я 35 г-в — 15 ЗР 55 л-' + + !в 35 55 75 г-в — ..., (21) как это легко проверить подстановкой. Ряд в правой части (21), несмотря на то, что он в конечном счете расходится, может быть с успехом использован для вычисления, когда я велико. Действительно, он является аналитическим эквивалентом ) е (л + р ) ' пр, О зо ) коляялющляся кггглля плтстицкл определяя две произвольные постоянные путем исследования форм, принимаемых, когда г очень ве.!ико. Но, может быть, проще следовать методу, каким пользовался в случае бесселевых функций Лнпшиц"), Согласно (4), мы имеем 1 2 2 ! е !««лп .Уо(г) — !К(а) = — ! е-!««««о«гО = — ~ .
(22) о о ! «и'«Гэ Рассмотрим интеграл ~ — , где тн — комплексное переменное , )'1+~- вида и+-!о. Рассматривая, как обычно, одновременные пары значе- ний и и о, как координаты точки, мы видим, что интеграл равен нулю, если интегрирование по оз распространено по контуру прямо- угольника, вершинами которого являются соответственно О, й, 1+1, !', где !т — некоторая действителш!ая положительная вели- чина. Таким образом, е «о ои ~ е '!"««Ю«Г(«п) ! г «!о ""Ии ~ г ы" «г(до) 1' 1+и«! гг!+(й+«о)«г 1+(и+«)«! г 1 — оо откуда, если мы предположим, что й = со, * Е «" «!о, ( ««оаи ~ ««!о* '~!а )'1 — оа .! Т'1+и«,! )~1+(и+«Р' Заменяя ил через,'т, мы можем написать (23) в форме ! «О о Первый член в правоп части (24) — целиком мпи«!ый; согласно(22), 1 поэтому — я ° «о(л) является действитег!ы!ой частью второго члена.
2 " о Развертывая бином под знаком интеграла и затем интегрируя пи формуле ') !.!росЫ«, Ое(те, том !.Н1, 1859; ьошгпе!, ЫиИеп ОО«г ««Ге Вез«еб говел Гипа!«опегь стр. 59. (гл. тч пгиложвния овщих увлвнвний 168 мы получаем разложение Уе(з) по отрицательным степеням я в виде Г2 ! !'3 т 1 12(8)в . ~ (, 4 Обрывая разложение на любом желаемом числе членов и образуя выражение для остатка, можно доказать, что ошибка, какую совершают, когда пренебрегают остаточным членом, не может превосходить последнего из удерживаемых членов (9 200).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
