Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если У обозначает полный поток, то мы имеем ех Иурорйеш для скорости на оси в какой-либо точке х и = а-'У, (2) откуда с помощью уравнения непрерывности [(6) ф 238) — + — =0 д (ги) д (го) дх дг можно определить радиальную скорость и. Таким образом, 1 да-г го = сопя( — — Угэ —, 2 дх' или, так как на оси нет никакого источника жидкости, 1 да — к о= —, (lг 2 дх' (3) Кинетическую энергию теперь можно вычислить простым интегрированием: иэа с(х = уэ ) а-' Их, ~ пэ2ягс)гс)х= — ~.
:ук( д ) Их, где у †ради канала в точке х, так что а = яуэ. Таким образом, 2 кинетическая энергия )' 1 ) 1 (ду Я~ (поток)я Это в величина, определяющая верхний предел для сопротивления. Первый член, соответствующий компоненте скорости и, олинаков с тем, какой был получен ранее для нижнего предела, как это и можно было предвилеть. Разность двух пределов, дающая максимальную ошибку, которая может вкрасться, если принять один из них за истинное значение, есть (5) 184 1гл.
хт1 ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ В приблизительно цилиндрическом канале ду/с>х есть малая величина, так что найденный этим путем результат является очень хорошим приближением. Не обязательно, чтобы сечение было почти постоянным, нужно лишь, чтобы оно изменялось медленно. Успех приближения в этом и аналогичных случаях связан с тем фактом, что значение оцениваемой величины есть минимум. Всякое разумное приближение к действительному движению даст результат, очень близкий к истине, согласно принципам дифференциального исчисления.
На основании свойств потенциала и функции тока Я 238) настоящая задача допускает действительное приближенное решение. Если 11 и ф обозначают значения этих функций в какой-либо точке х, г, а и, О обозначают аксиальную и трансверсальную скорости, то дт 1 др ду 1 др О= — = — — —— (8) га»» г1Р>Ч гвьт> 'у=~ — — + —.. — ., + 2З 21 4з 21 4а бз гав~ гам Гари гцж>1 2 2Я.4 21.41.6 2а.41.6Я.8 (9) где штрихи обозначают дифференцирование по х. На границе канала, где г=у, ф — постоянно (скажем, ф>).
тогда РЯН> У1Ь«УЗР" Ф= — — -' —.+.... —" 2 21 4 2а 4а ° 6 (10) — уравнение, связывающее у и Г. В нашей задаче у задано, и мы должны выразить г" через него. Последовательным приближением мы получаем из (10) (11) Полный поток дается интегралом я я ду ! 1дф дх ',~ г дг — 2пг дг = ~ — — 2кг с>г = 2кф, 1 и поэтому сопротивление между любыми двумя эквипотенциальнымм откуда после исключения —,+ — — + — =О, дз> 1 дт д'-Р д>м 1 дг для (7) д-ф 1 дф д) —, — — — + —, *= О.
18) дга г дг дха Если Г обозначает значение 17, как функции х, когда г= О, то общие значения 17 и ф можно выразить через г" посредством (7) и (8) в форме рядов: 183 309) сРАВнение с Опытом поверхностями представляется выражением — ~ Р'г7х. Выражение для сопротивления допускает значительное упрощение путем интегрирования по частям в случае, когда канал в пределах интегрирования строго цилиндрический. Этим путем мы находим окончательный результат з виде сопротивление = ! — ~ 1 -'- — у' — ~, (12)') Г йх ~ 1, (Зу'в — уу") ,1 гув~ ~ 2 48 у' и у" обозначают здесь производные у по х.
Таким образом, видно, что верхний предел в предыдущем исследовании является на самом деле правильным результатом до второго порядка приближения. Если мы рассматриваем у как функцию вгх, где гв — малая величина, то (12) правильно с точностью до членов, содержащих «г'. 309.
Знанием законов, которыми определяется высота тона резонаторов, мы обязаны трудам нескольких экспериментаторов и математиков. Наблюдением, что при данном устье (мундштуке) высота резонатора зависит, главным образом, от объема, мы обязаны Лисковиусу, который нашел, что высота тона колбы, частично наполненной водой, не изменялась, когда ее наклоняли, Этот результат был подтвержден Зондхаусом Я). Последний наблюдатель нашел далее, что в случае резонаторов без горла влияние отверстия зависело, главным образом, от его площади, хотя некоторое повышение тона и имело место, когда форма была очень удлиненной. Зондхаус дал формулу И = 52400 —, (1) в которой единицей длины является миллиметр. Теорией резонаторов этого типа мы обязаны Гельмгольцу а), формула которого а«А И= (2) приложима к круглым отверстиям.
Для колб с длинным горлом Зондхаусс ') нашел 'в И= 46705 ! л81Д г) Ргогеет!лйл оТ Где 5ол«Гол Ма!вата!!гав 8псГесбй том ЧП, стр. 70, 1876. в) Бопдйаявв, «()еЬег йеп Вгппнпкгеие! Впд дав 8сйгя!пйппйвйевегг бег НВЬ!эспен Р1ейепъч Ройй. Алл., 1.ХХХ1, стр. 235, 347, 1850.
в) Не)шйойг, СгггГе, том !.ЧП, сгр. 1 — 72, 1860. ') 8опййапвв, «ОВЬег й!е 8сйа1!всЬябпйппйеп пег Ьяй!и егпйг!еп сг!авгоЬ- геп япй !и Хейеск!еп Р1ейеп топ пп81е!сйег %ейе», Ройй. Апп., ЬХХ!Х, сгр. 1, 1850, 186 (гл. хч! ТЕОРИЯ РЕЗОНЛТОРОЯ что соответствует теоретической формуле а я» Я=в 2я )'.» СЧ» (4) (б) 1) Ч(ег!йе1т, »Мешо1ге заг )еа т!Ьгацопз зопогеа йе 1'а)г», Апп.
л. СЛ)ль (3), том ХХХ!, стр. 385, !851. На практике не часто встречается, чтобы горло резонатора было настолько длинно, чтобы можно было пренебречь поправкой на открытые концы, как предполагает (4), или, напротив, настолько коротко, чтобы можно было пренебречь им самим, как было предположено в (2). Вертгейм ') был первым, кто показал, что влияние открытого конца можно представить прибавкой в к длине, независимой, или приблизительно независимой, от Е.
и Х. Приближенным теоретическим определением а мы обязаны Гельм- 1 гольцу, который дал величину — я)се качестве поправки для откры- 4 того конца с бесконечным фланцем. Его метод заключался в отыскании форм трубы, для которых задача была бы разрешима, и в выборе такой формы, которая была бы всего ближе к цилиндру. ! Поправка — ягс строго применима к трубе, радиус которой у откры- 4 того конца и на большом расстоянии от него есть )с, но которая в соседстве с открытым концом незначительно расширяется. Из того факта, что действительный цилиндр можно получить введением специального препятствия (ОЬЕ1гпс1!Оп), мы можем заключить, что результат, полученный таким путем, слишком мал.
Интересно, что прием, которому мы следуем в этом труде и который впервые был дан в мемуаре о резонансе, ведет в точности к такому же результату, хотя трудно представить себе два метода, более непохожих друг на друга. Поправка на длину зависит до некоторой степени от того, задерживается поток воздуха от открытого конца или нет. Когда горло выдается в открытое пространство, торможение будет меньше, чем тогда, когда поток назад предотвращается фланцем, как было предположено в ваших приближенных вычислениях.
Впрочем неточность, вводимая этим путем, не очень значительна, и мы можем вооб!це 1 принять с хорошим приближением а=--п)с. На практике, когда 4 горла короткие, гипотеза фланца довольно хорошо согласуется с фактами, а когда горла длинные, поправка сама по себе имеет подчиненное значение. Общая формула имеет тогда вил: 187 810~ многокРАтный РвзонАнс где е — площадь поперечного сечения горла, или численно а еь Д7= б 882 Я'д '17 7 +08888 )7« Формула, лишь слегка отличающаяся от этой, была дана, как выражение результатов своих измерений, Зондхаусом'), который тогда же высказал убеждение, что она не является простой эмпирической интерполяционной формулой, но выражает закон природы.
Теория резонаторов с горлом была дана примерно в то же время а) в мемуаре «О резонансе», опубликованном в РЫ)оеорИГса! Тгалеасйалз за 1871, откуда взята большая часть материала нескольких последних страниц. 310. Простой метод вычисления высоты резонаторов, которым мы занимались, приложим только к наиболее низкому колебанию, характер которого совершенно особый. Обертоны резонаторов с узкими горлами относительно очень высоки, и соответствующие колебания ни в какой степени не являются независимыми от инерции воздуха внутри резервуара.
Характер этих колебаний будет более очевиден, если мы рассмотрим колебания воадуха внутри совершенно замкнутого сосуда, такого, как сфера; однако, редко случается, чтобы высоту можно было вычкслить теоретически. Имеются, впрочем, случаи многократного — а резонанса, к которым прило- А А' 3 л' жима наша теория. Онн имеют место тогда, когда два или больше сосудов сое- Фнг. б0. диняются каналами друг с другом и с внешним воздухом; их легко трактовать методом Лагранжа, конечно, при условии, что длина волны колебания достаточно велика сравнительно с размерами сосуда. Предположим, что имеются два резервуара Я и Я', сообшаюгцихся друг с другом и с внешним воздухом с помощью узких каналов или шеек.
Если бы мы стали рассматривать 55' как один резервуар н приложили к нему нашу предыдущую формулу, мы пришли бы к ошибочному результату, так как эта формула основывается на допущении, что инерцию воздуха внутри резервуара можно не учитывать; между тем очевидно, что энергия движения через соединительный канал может быть так же велика, как и энергия движения через два других канала. Однако исследование по тому же самому общему плану, как и прежде, полностью разъясняет этот случай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
