Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2Г(е) (! — Вз)9 с 25'а к (8) 2Р (е)(1 — ез)ц ез еа =! — —; 64 64 Пренебрегая е" и более высокими степенями, имеем поэтому '=2 рà — (!+64+64+ ) (!0) Этот результат показывает нам, что проводимость эллиптического отверстия почти одинакова с проводимостью круглого отверстия равной плод(ади. Среди отверстий различной формы данной площади должно иметься одно с минимальной проводимостью, и хотя формальное доказательство и представляет затруднения, легко понять, что таким отверстием может быть только круг. Нижний предел для значения с дается, таким образом, проводимостью круга равной площади, т. е.
2 )7 о/м, и когда действительная форма очень близка к кругу, то этот предел можно взять з качесгве хорошего приближения к действительному значению. Значение А дается тогда вырам<ением ) = 2'*кьа ~'О 7*. (11) Чтобы показать, как незначительно влияет умеренный эксцентрисигет на значение с, я вычислил с помощью таблиц Лежандра для Г(е) следующую короткую таблицу. Л,'а = соз ф Я!2г" (е) (1 — ье) Ч е=з)па 1,00000 0,93969 0,86603 0,76604 0,64279 0,50000 0,34202 0,17365 0,00060 0,00000 0,34204 0,50000 0,64279 0,76604 0,86603 0,93969 0,98481 1,00000 Если е мало, мы получаем, разлагая по степеням е перед интегрированием: 1 1 1з я !з Зз 1з.
ЗЗ.5з откуда 807) 179 ВЫЧИСЛРНИЯ ПО ПЛОШАЛИ Полагая е= з!П2, мы получим отношение осей, равное сов ф, и проводимость 2 1 соз Ь.Р(з!и() Значения последнего множителя, данные в четвертом столбце, представляют собой отношения проводимости эллипса к проводилгосл>и круга равной илолгади. Можно видеть, что даже при эксцентриситете эллипса, соответствующем отношению осей 2: 1, увеличение проводимости составляет всего около 3",'о, что соответствовало бы изменению высоты резонатора немного более, чем на комму (9 !8). Повидимому, нет никаких оснований предполагать, что эта приблизительная независимость от формы есть специфическое свойство эллипса, н мы в праве с некоторой степенью уверенности заключить, что в случае умеренно уллиненного овального отверстия проводимость со значительной степенью точности можно вычислить по одной лишь плошади.
Если площадь задана, то верхнего предела с не существует. Действительно, предположим, что площадь з разделена на и равных кругов, достаточно удаленных друг от друга, чтобы действовать независимо. Площадь каждого круга есть "7п, а его проводимость 2(ая) Ая". Общая проводимость в п раз больше и поэтому возрастает беспредельно вместе с и.
Как общее правило, чем больше удлинено или распространено отверстие, тем больше будет проводимость для данной площади. Чтобы найти верхний предел проводимости данного отверстия, мы можем воспользоваться тем положением, что всякое увеличение отверстия должно сопровождаться увеличением значения с. Так, в случае квадрата мы можем быть уверены, что с меньше, чем для описанного круга, а мы уже видели, что оно больше, чем для круга равной площади. Если Ь вЂ” сторона квадрата, то = ( с < ')l 2Ь. Тоны резонатора с квадратным отверстием, вычисленные из этих двух пределов, отличальшь бы друг от друга приблизительно на целый тон; более низкий нз них был бы несомненно много блюке к истинному.
Этот пример показывает, что даже тогда, когда анализ не может дать решения в строго математическом смысле этого слова, мы все >ке не остаемся в полном неведении относительно порядка величин, с которыми имеем дело. В случае подобных отверстий, или систем отверстий, с изменяется прямо пропорционально линейным размерам. 307. Большинство резонаторов, применяемых на практике, имеет большей или меньшей длины горло, но даже когда нет ничего, что можно было бы назвать горлом, нельзя каждый раз пренебрегать толщиной стенки резервуара. Мы исследуем поэтому проводимость канала, просверленного в преграждающей пластине, ограниченной 180 (гл. хш ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ ляэ с= Ь + — лР 2 откуда Если через и обозначить поправку, которую нужно прибавить к А, чтобы учесть открытый конец, то 1 Фнг.
бц а = — лй. л (2) Эта поправка, вообще говоря, незначительна, но если А очень мало в сравнении с Й, предполагаемое движение все ближе н ближе совпалает с действительным, и, таким образом, значение а в уравнении (2) стремится сделаться правильным. Верхний предел для сопротивления можно вычислить из гипо- тетического движения жилкости.
Для этой цели мы предположим, что в А и В введены бесконечно тонкие поршни; результатом этого явится то, что нормальная скорость будет в этих местах постоянной. Внутри трубы поток будет, как и прежде, равно- мерным, но для внешнего пространства мы должны будем рас- сматривать новую зздачу: определить лвижение жидкости, огра- ниченной бесконечной плоскостью, когда нормальная скорость на некоторой круговой плогпади плоскости имеет постоянное зна- чение, а на остальной части плоскости равна нулю.
Потенциал все еще может рассматриваться как обусловленный веществом, распределенным по диску, но он больше уже не постоянен на плошали; плотность же вещества, будучи пропор- циональной ду1дп, постоянна, Кинетическая энергии движения равна где интегрирование распространено по площади круга. параллельными плоскостями, и хотя мы не можем решить задачу строго, мы получим сведения, достаточные для практических целей. Толщину пластины мы обозначим через Е, радиус цилиндрического канала через 1с'.
Каково бы ни было сопротивление канала, оно уменьшится, если ввести в А и В бесконечно тонкие диски идеальной проводимости (фиг. 89). Эффект этих дисков тот, что они образуют постоянный потенциал на своих площадях, и задача видоизменяется так, что становится доступной строгому решению. Вне А и В движение одинаково с исследованным ранее, когда прегражлающая пластина бесконечно тонкая; между А н В поток равномерный. Поэтому в целом сопротивление равно 1 Е А Ь' 2В + лд'а ' 3071 181 пРОВОдимость ГОРЛ Полный поток через плоскость равен Отсюда "Вое 2 кинетическая энергия (поток)э э 4 с!и Если принять плотность вещества за единицу, то дф/до = 2т, и требуемое отношение выразится через Р)яэй', где Р обозначает потенциал на самого себя кругового слоя радиуса )с вещества с единичной плотностью.
Простейший метод вычисления Р связан с тем соображением, что Р представляет собой работу, необходимую для разложения диска на бесконечно малые элементы, и удаление их на расстояния, исключающие взаимное влияние '). Если мы возьмем полярные координаты р, 0 с полюсом на краю диска, радиус которого есть а, то получим для потенциала в полюсе У = ) ) й0 с!р, причем пределы для р ! 1 суть О и 2а сов 0, пределы для 0 суть — — и и + —,и. 2 2 Таким образом, !б — + —.
я)7э ЗяЯ ' Сопоставляя наши результаты, мы видим, что н 8 — ')с( о ( — гс 4 Зя (4) или а > 0,785)т, о ( 0,849)7. (6) ') Часть Я 302 повторяется здесь в интересах тех, кто пожелал бы избегнуть трудностей более полного исследования. э) Этот метод вычисления Р был падсквзвн автору профессором К. Максвеллом. У= 4а. (3) Вырежем теперь полоску ширины с!а по краю диска. Работа, необходимая для того, что удалить ее на бесконечно большое расстояние, равна 2та с(а 4а. Если мы постепенно урежем диск до конца и удалим все части в бесконечность в), то найдем полную работу, интегрируя по а от О до )с, в виде 8н)7э Р = —.
3 Пределом сопротивления (для одной стороны) является, таким образом, 8/Зпзьс; мы заключаем, что сопротивление всего канала меньше, чем [гл, хш 182 теогия гвзонлтогов Следует заметить, что а здесь обозначает поправку на один конец. Полное сопротивление соответствует длине7.+ 2я трубы, имеющей сечение яйя. Если Ь очень велико сравнительно с й, мы можем положить просто вяя с=— б ' (7) В этом случае мы имеем из (б) й 304 2 г' я '1ГЯУ. Р (8) Поправка на открытый конец а есть функция Л, совпадающая 1 с нижним пределом, именно — я)г, когда 7.
обращается в нуль. Когда 4 7. возрастает, я возрастает вместе с 7., но никогда не достигает (даже, когда 7. бесконечно велико) верхнего предела 8)с/Зя. Действительно, рассмотрим движение, происходящее на каком-либо среднем участке трубы. Кинетическая энергия больше, чем это соответствует только длине участка. Если поэтому удалить данный участок и соединить свободные концы так, чтобы движение в остальном продолжалось, как прежде, то кинетическая энергия уменьшится больше, чем это соответствует длине удаленного куска. А 1ог)!ои это будет справедливо для реального движения, которое существовало бы в укороченной трубе. То, что для 7.=со в не становится равным 8й/Зя, очевидно потому, что нормальная скорость, далекая от постоянства, как было предположено при вычислении этого результата, должна возрастать от центра наружу и становиться бесконечно большой на краю.
Дальнейшее приближение к значению я можно получить, предположив переменную скорость в плоскости устья. Вычисление можно найти в Добавлении А. Очевидно, что в случае бесконечно длинной трубы а не может достигнуть значения 0,82422)с. Действительное значение я, вероятно, недалеко от 0,82)с. 808. Кроме цилиндра имеется очень немного форм канала, проводимость которых можно определить математически. Впрочем, когда форма приближенно цилиндрическая, мы можем вычислить граничные величины, полезные для нас, так как они позволяют оценить влияние таких отклонений от математической точности, которых следует ожидать на практике.
Нижний предел для сопротивления какого-либо удлиненного и приблизительно прямого проводника можно получить непосредственно, вводя мысленно бесконечно большое число плоских идеально проводящих слоев, перпендикулярных к оси. Если через я обозначить площадь сечения в какой-нибудь точке л, то сопротивление участка между двумя слоями, отстоящими друг от друга на г1х, равно а-' Нл 308) пгивлизитвльно цилиндгичвскив каналы 183 и поэтому все действительное сопротивление, конечно, больше, чем а з~1х, (1) если только проводник на самом деле не является цилиндрическим. Чтобы найти верхний предел, мы можем вычислить кинетическую энергию потока на основе гипотезы, что скорость, параллельная оси, одинакова в пределах каждого сечения.
Гипотетическое движение— то, которое возникло бы в результате введения бесконечно большого числа свободно движущихся твердых поршней; вычисленный результат необходимо превзойлет истинный, если только сечение не является постоянным, Мы предположим для простоты, что канал симметричен относительно оси, а в этом случае и двнжениежилкости, несомненно, также симметрично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
