Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обозначая, соответственно, через Х„Хз, Ха полный перенос ') Бопаланве, Родя. Алл., том СХ)., стр. 53, 219, 1870. я) Ргоеееаглйе о/ )йе 77оуаг Баеге1у, ноябрь 24, 1870. 188 (ГЛ. ХЧ1 ТЕОРИЯ РЕЗОНЛТОРОВ жидкости через каждый из трех каналов, мы, имеем, подобно (2) 5 304, для кинетической энергии выражение Х Х, Х =-, ~ — '+ — з+ — '~, а для потенциальной энергии †выражен 1 з ((Хз — Х1)' 1 (Хз — Х)') (2) Применение метода Лагранжа дает дифференциальные уравнения движения в зиле Х1, з Х1 — Хз 5 Хв 1 в(Хз — Х1, Хз — Хз! О Т йз (3) Хз 1 аз Хз Х1 8/ После сложения и интегрирования с, сз сз Отсюда после исключения Хз (4) Х, + —,)(сз+ с,)ХЕ+ — '"' Х,) = О.
с, Полагая Х,=Аел' и ХЕ=Веа', мы получаем, после подстановки и определения отношения А: В, р' + рзаз ( †' ' + †',, ') + †, (с,сз + с (с, + сз)) = О (6) Х1+ — ((1+ лз)Х1+ Хз) = О, Хз + — 1(1 + т) Хз + Х,) = О, (7) между тем как из (4) Ха=в х,+х †уравнен для определения собственных тонов. Если !ч — частота колебания, Мэ= — рв/4яз и оба значения рз будут, конечно, действительными и отрицательными. формула значительно упрощается, если сз — — с, и 5' = В; олнако было бы поучительнее рассмотреть этот случай с самого начала.
Пусть с, = с = лзсз = глс. Дифференциальные уравнения принимают вид: 31О) 189 двойной ввзонлтог Отсюда (Ха+Ха)+ (т+ 2)(Х +Хз) = О (Х, — Х,) + — т (Х, — Хв) = О. (8) или, если Я=Я', с, =те. =те, я в (т+2) с, а'тсз 5 5з (1» (13) откуда № = —, )пл + 2 ~ )'тз + 4) . Если мы, далее, предположим, что т=1, или с сы то КЯ= —,„~(3-+ $l 5), (14) и, таким образом, Ка 3+ У5 = 2,618, К'в 2 К'з 2 = 2,618. К' 3 — )г3 Все движение можно разделить на две части. Для первой из них Х1+ Хв — — О, (9) для чего необходимо Ха=О. Движение поэтому такое же, какое могло бы иметь место, если бы сообщение между 3 и У было прервано, и имеет частоту, даваемую выражением аасл азтс 4гд3 4язй (10) Плотность воздуха одинакова в обоих резервуарах. Для другой компоненты Х, — Х, = О, так что 2ХД. ж ал(т+2) с (1 1) т ' 4гл5 Колебания, таким образом, противоположны по фазе.
Отношение частот дается выражением № !№ = (т + 2)/т; это показывает, что ж второе колебание имеет более короткий период. В этом колебании соединительный канал действует до некоторой степени как второе отверстие для обоих сосудов и таким образом повышает частоту. Если канал узкий, то интервал высоты между двумя нотами мал. Частный случай общей формулы, заслуживающий быть отмеченным, мы получаем, полагая сз=О. Это достигается устранением одного из сообщений с внешним воздухом.
Мы получаем, таким образом, 190 1гл, хчг ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ М ы видим, что интервал от Л~, до № одинаков с интервалом от № до Мя и равен $' 2,618= 1,618, т. е. несколько больше квинты. Можно видеть, что, каково бы ни было значение лг, интервал между двумя тонами не может быть меньше 2,414, что равно примерно одной октаве и малой терции. Соответствующее значение пг равно 2.
Аналогичный метод приложим к любой сколь угодно сложной комбинации резервуаров и соединительных каналов при единственном ограничении относительно размеров резервуаров и длин волн; только что приведенный пример достаточен, чтобы иллюстрировать теорию многократного резонанса. В уже упоминавшемся моем мемуаре о резонансе подробно разбирается несколько примеров измерения высоты тона двойных резонаторов. 311. Уравнения, которыми мы пользовались до сих пор, не учитывают ухода энергии из резонатора в пространство.
Если бы перехода энергии между резонатором и внешней атмосферой действительно не было, то движение было бы изолированным и имело бы небольшой практический интерес; тем ие менее характеристику резонатора составляют его колебания, являющиеся в значительной степени независимыми. Колебания, возбужденные однажды, будут продолжаться в течение значительного числа периодов без большой потери энергии, и их частота почти совсем не будет зависеть от скорости днссипации. Скорость лиссипации является, олнако, важФиг.
61. ной чертой в характере резо- натора, от которой существенно загисит при некоторых условиях его поведение. Следует иметь в виду, что рассеяние, или диссипация, о которой мы говорим, означает только уход энергии из сосуда и из пространства вблизи него и ее рассеяние в окружаю|пей среле, но не преобразование механической энергии в теплоту.
Такого преобразования наши уравнения не учитывают, если только не будут введены специальные члены с целью представить эффект вязкости, теплопроводности и теплового излучения, 1Влияние теплопроводности было рассмотрено Колачеком ').] В предыдущей главе (9 278) л~ы видели, как выражается дви. жение по правую сторону безграничного фланца (фиг. 61) через нормальную скорость жидкости на лиске А. Мы нашли, $278 (3)„ где у пропорционально еА'". А) КО1асех, 1РЧел.
Алл., том ХП, стр. 353, 1881. 3111 скояость диссиплции Если г — расстояние между двумя точкамн лиска, то Уаг — малая величина н е-тв'ж1 — Йг. Таким образом, Первый член зависит от распределения потока. Если мы предположим, что др1дл постоянно, мы получим в конечном счете член, представляющий увеличение инерции, или поправку на длину, равную 8Я)3п. Мы его уже рассматривали, когда предполагали, что в А находится поршень. Второй член, от которого зависит лисснпация, не зависит от распределения потока, являясь функцией только полного потока Х.
Ограничивая наше рассмотрение этим членом, мы можем написать ИХ 9 А 2г' (2) Предполагая теперь, что у пропорционально е'"', мы имеем лля той части изменения давления в А, от которой зависит диссипация, соотношение рлЛХ рлвХ 4р = — рюл = — грлюл = -' —, 2я 2яа ' (3) Соответствующая работа, совершенная при переносе количества рлвХ жидкости 3Х, есть — 3Х; а так как выражения лля потенциаль2та ной и кинетической энергии имеют, как в 3 304, вид: ! Хз 1 Х У = —, оав —;, 7= —,о —, 2' Зт' 2' С (4) то уравнением движения вместо (3) 3 304 будет следующее: Х+, Х+ — Х= 0 >).
(5) ') Уравнение (5) только приближенное, поскольку диссипативная сила вы шсляется в предположении, что колебание незатухающее; вто, однако, не ыоязет повести к существенной ошибке, если диссипация мала. При оценке с необходимо учесть инерцию жидкости с правой стороны от А, соответственно члену, опушенному в выражении бр. Уравнение (5) имеет обычную для свободных колебаний систеь~ с лиссипацией и олной степенью свободы (2 45) форму.
Амплитуда изменяется пропорционально е-""В" , уменьшаясь в отношении е:! по истечении времени, равного 4яа1лвс. Если высота (определяемая л) задана, то колебания обладают наибольшим постоянством в том случае, когда с наименьшее, т. е. когда горло максимально. узко.
312] 193 вынгждвнныв колвглпия когда сообщение с внешпич воздухом осуществляется через простое отверстие (9 306). Настоящая задачз почти целиком является частным случаем той задачи, которая рассматривалась в 9 46; различие связано с теч фактом, что коэффициент диссипации в (7) является фу>некией периода, а не абсолютно постоянной величиной. Если период, определяемый й, н 5 заданы, то (9) показывает, что внутреннее изменение давления () имеет максимум, когда с = лэя, т. е. когда собственная нота резонатора (вычисленная без учета диссипации) одинакова с нотой возбу>кдающего звука. Максимальное колебание, когда совпадение периодов идеально, изменяется обратно пропорционально Я; но если 8 мало, то незначительного неравенства периодов достаточно, чтобы вызвать заметное падение интенсивности резонанса (9 49), При пользовании резонаторами невыгодно слишком сильно понижать Л и с; это связано, вероятно, с тем, что приспособления, необходимые для установления связи внутренности резонатора с ухом или с другим чувствительным аппаратом, влекут за собой отклонение от тех предположений, на которых основаны вычисления, отклонение, все более и более значительное по мере того, как уменьшаются размеры.
Когда чувствительный аппарат не связан с внутренностью резонатора, как в опыте с усилением звука камертона посредством резонатора, в рассмотрение входят другие элементы и необходимо иное исследование ($ 319). В силу принципа взаимности предыдущее рассуждение можно прило>кить и к вычислению действия источника звука, расположенного внутри резонатора. 312. Мы переходим теперь к дальнейшему обсуждению задачи об открытой трубе.
Предположим, что открытый конец трубы снабжен бесконечным флапцем и что ее диаметр мал в сравнении с длиной волны рассматриваемого колебания. В качестве введения в вопрос мы предположим палее, что устье трубы имеет легко подвижный поршень, лишенный толщины и массы. Предыдущие задачи, от которых настоящая отличается по существу очень мало, уже дали нам основание полагать, что наличие поршня не вызовет значительного изменения. Мы принимаем (9 2бб), что внутри трубы потенциал скорости равен = (А соз Фх + В з1 и >ах) е"'>, причем, как обычно, >е = 2п'), = а>а. В устье, где х = О, = Ае'"' ь — «~ь = мВеьаь.
(2) Справа от поршня соотношение между лз и ( — ), согласно$302, /д«'> ь,дх)е ' имеет вид: (1 - - ~ — —,, Кь(2йй) (3) 1 ''1 Чеке к«(з .>ь (2лР) — — — 7«2Л> 13 злз ьг>з. я>лез. ь> 194 [ГЛ. ХЧ> ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ (й — радиус трубы). Отсюда можно получить решение аадачи без какого-либо ограничения относительно малости /4В; но так как присутствие поршня не меняет существенно дела только тогда, когда /4В мало, мы можем также воспользоваться преимуществом упрощения, полагая сразу, как в (1) 9 311, ) ! Т44!ч У,ЦР4 Щ~В (4>Р) 2 3 (4) Но так как поршень не занимает места, значения (д>Р/дх)е должны быть одинаковы по обе его стороны; а так как у него нет и массы, то аналогичное должно быть спРаведливо и длЯ значений Ц 4>чздщ Таким образом, Ач =/4В ( — -~-+! — у-~, или А В/( — — +4 (б) Подставляя в (1), мы находим, отбросив мнимую часть и положив для краткости В=1, р = ( з!п хх — — сов йх ~ сов О/ — ~-/>э/~Ясов лхз!п пг.
(б) ЗДД» 1 Зя В этом выражении член, содержащий гдп и/, зависит от диссипацни и таков же, как если.бы поршня не было вовсе, между тем как член, содержащий Ы>с/Зя, представляет эффект инерции внешнего воздуха в соседстве с устьем. Чтобы сравнить с полученными ранее результатами, возьмем а таким, чтобы ЗЛ/Г ьйп /гх — — соз лх = гйп /4 (х — а); Зч тогда, пренебрегая квадратами малых величин, имеем 8>г Зя (7) 4Р = з!и /4 (х — а) сов л/ — — 'няРэ соз /гх э!я иФ, 2 (8) Эти формулы показывают, что если оставить без учета диссипацию, то потенциал скорости оказывается таким, как будто труба удлинена на 8/Зп радиуса, и открытый конец ведет себя тогда как пучность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
