Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Величина втой поправки согласуется с тем предположительныв> результатом, какого, согласно предыдущему исследованию, мы могли бы ожидать от введения поршня. М»> видели, в чем причина того, что истинное значение в лежит между яй>4 и 8Я/Зя и что присутствие поршня не влияет на член, 195 3!3] твогия откР! !Тых концов откуда дф А'ег(нг-аг1 — — (1 + 17гг). дг га (2) Рассмотрим поведение массы воздуха, заключенной между плоским сечением в О н полусферической поверхностью, центр которой есть А и радиус г, причем г велико сравнительно с диаметром трубы, но мало сравнительно с длиной волны. В этом пространстве воздух должен двигаться приблизительно как несжимаемая жидкость. Но поток через полусферическую поверхность равен дф 2кгя — ~ = — 2кА'(1+ йг) е'ом "г1 = — 2яА'е' ' (3) дг если пренебречь квадратом Йг.
Если, как прежде, мы положим для потенциала скорости внутри трубы ф = (А соэ 7гх+ В 5!и йх) ег"г, (4) то поток через сечение в О будет равен а( — ) =ч7гВе"", г дта (,дл)а (б) представляющий диссипацию. Но прежде чем обсуждать наши результаты, бь ло бы целесообраано исследовать их заново несколько иным методом, который, будучи, кроме того, и несколько более общим, поможет пролить свет на механику всего этого вопроса. 313. Лля этой цели удобно переместить начало координат в отрицательном направлении на такое расстояние от устья, чтобы волны оказались там приблизительно плоскими, — смешение, которое согласно нашим предположениям не должно превосходить малой доли длины волны.
Трудность вопроса состоит в нахождении связи между волнами в трубе, которые на достаточном расстоянии Оч от устья являются плоскими, и расходящимися волнами вне ее, которые на достаточном расстоянии можно Фиг. 62. трактовать как сферические. Если переход имеет место в пространстве, малом сравнительно с длиной волны, как это, очевидно, и должно быть, если диаметр достаточно мал, то задача допускает решение, какова бы ни была форма трубы в соседстве с устьем. В точке Р, расстояние которой от А не очень велико, потенциал скорости есть (9 279) А' ф — е — гагепм г 196 [гл.
хч! теОРия РезоилтОРОЕ Это первое условие; второе должно быть найдено из того соображения, что полный поток (два значения которого были только что приравнены друг другу) пропорционален разности потенциалов на концах. Таким образом, обозначив через с проводимость канала между двумя конечными поверхностями, имеем (дх/о (/" то) и.!и — - = — е '!'" — А. а/с// А' с г Подставляя вместо А' его значение из (6), мы имеем: — А = ЯИВ( — + — ) = ЯЗВ'/-+ — — -~. В этом выражении вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым, так как с есть по большей части величина того же порядка, что и радиус трубы, а если устье сильно сжато, то еще меньше.
Таким образом, мы можем взять А =.ДВ ( — — '+,— "). (8) Г1одставляя это в (4), мы получим комплексное выражение потенциала скорости внутри трубы — если положить В равным единице — в виде 1, //Г! а = ( з(п /ах+ а/с ( — — + — ) соз /сх ~ еа', с 2а) или, если оставить только действительную часть, аа дсм а = ( з)п /сх — — соз йх ~ соз /!/ — — соз /сх з(п л/.
(9) с 2а Следуя Гельмгольцу, мы можем упростить наши результаты, вводя величину а, определяемую уравнением: 1Е'/са =- — . (1О) с Таким образом, аа = Ып д (х — а) еяа соз аа с05 и/ — — соз /сх 3!п л/, 2-.. (11) и соответствующий потенциал скорости вне устья аа ф = — — с05 (л/ — /сг).
2аг (12) Если /с — радиус трубы, то мы можем заменить а через и//а. и, таким образом, а/сВ =- — 2ЯА'. (6) 313! 197 ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫ.": ТРУВЬ> Если труба представляет собой простой цилиндр и начало координат лежит на расстоянии Ь). от ее устья, то мы знаем, что :с-'= 1 4 =17.+)«)т, где и — число, несколько большее — к. Втакомслучае (начало взято достаточно близко к устью) )га есть малая величина, н поэтому по (10) (13) В то же время соэ )гп можно принять за единицу.
Главный член в >т содержащий соя л1, можно тогда вь>числять так, как если бы труба была удлинена, и в точке, расположенной на расстоянии 1«)с дальше действительного положения устья, имеется пучность, — в согласии с найденными нами ранее результатами. Эти результаты, приближенные для обычных труб, становятся точными, когда диаметр беспредельно уменьшается, — если трением возможно пренебречь. Если в А нет фланца, то значение с изменяется очень мало прн удалении препятствия, но главный эффект сказывается на члене, представляющем диссипацию.
Если мы примем, в порядке приближения, что волны, расходящиеся от А, сферические, то мы должны взять для потока 4яггдЯдг вместо 2кг'д6!дг. Конечным эффектом изменения будет уменьшение наполовину значения потенциала скорости вне устья, равно как и соответствующего второго члена в ч> (содержащего з)п а!). Можно видеть, таким образом, что величина диссипацни существенно зависит от степени, с какою волны могут расходиться, и наши аналитические выражения лолжны рассматриваться лишь как грубые оценки.
Точная теория открытой органной трубы, включающая уравнения (11) и (12), была развита Гельмгольцел>'), метод которого, однако, значительно отличается от принятого здесь. Старые решения задачи, данные Лагранжем, Д. Бернулли и Эйлером, были основаны на допущении, что у открытого конца давление не может отклоняться от давления окружающей атмосферы — принцип, который, пожалуй, и в настоящее время допустимо применять к идеально открытому концу. Тот факт, что во всех обычных случаях энергия уходит в пространство, является доказательством того, что в трубе нигде пет абсолютной пучности, и можно было бы ожидать, что эффектом инерции воздуха непосредственно вне устья будет увеличение длины.
Полон<ения узлов в звучащей трубе были изучены экспернмепталь>ю Саваром Я) и Гопкинсом з), с тем результатом, что интервал между устьем и ближайшим узлом всегда меньше половины интервала, разделяющего последовательные узлы. >) Не!шйопг, СРЕПе, том 57, стр. 1, 1880. г) 8ЗУЗП, «кес!>егс)>ез гпг !Ез Уйклнопз г)е !'З)гл, Алл. >б СИл>., том ХХ!ТГ, 1823.
") Норк1пз, «Лег)л! У)ьглцопз !п су!!п<)г)сл! )пЬееч СатвгЫйе угллт асГаплу, том >7, сгр. 2')1, 1833. ! 93 !гл. хч! ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ )Поправка, необходимая для открытого конца, является источником отклонения от простого закона октав, который согласно влементарной теории связывал бы ноты закрытой и открытой труб одной и той же длины. Пусть, например, в приложении к органной трубе аут обозначает поправку для верхнего конца, когда он открыт, и ! — длину трубы, включающую поправку на устье у нижнего конца. Полная эффективная длина открытой трубы есть тогда !+ а)с, между тем как эффективная длина трубы, когда она закрыта на верхнем конце, равна просто 1, Открытая труба практически длиннее, и интервал между нотами меньше, чем октава простой теории').
Быть может, целесообразно указать, что поправка, предполагавшаяся независимой от длины волны, не должна нарушать гармонических соотношений между пзрциальными тонами, независимо от того, будет ли труба открытой или закрытой.) 314. Экспериментальные определения поправки для открытого конца производились, вообще говоря, без фланца, и поэтому важно дать хотя бы грубую оценку его эффекта. Никакого теоретического решения задачи об открытом конце без фланца до сих пор дано не было, но легко видеть (Я 79, 307), что удаление фланца понизит поправку гораздо ниже значения 0,32)с (Добавление А).
Ввиду отсутствия теории я попытался определить эффект фланца экспериментальным путем з). Органными мехами продувались две органные трубы, находившиеся приблизительно в унисоне друг с другом, чтобы давать биения, которые можно было бы подсчитать; эффект фланца выводился из разности в частотах биений, полученных для случаев, когда одна из труб была снабжена фланцем или когда фланца не было ни у одной из труб. Поправка на фланец составляла около 0,2)с. Повторение (вероятно, больше заслуживающее доверия) этого эксперимента Бозанкб дало 0,2М.
Если мы вычтем 0,22)с из 0,82Хз, то получим 0,6)х, что можно рассматривать как вероятное приблизительное значение поправки для конца без фланца, в предположении, что длина волны велика в сравнении с диаметром трубы. Попытки определить поправку целиком из эксперимента до сих пор не привели к очень точным результатам. Измерения Вертгеймаа) над трубами, открытыми с обоих концов, дали в качестве среднего (для каждого конца) 0,663!с, между тем как для труб, открытых только с одного конца, средний результат был 0,746Р. В двух тщательных экспериментах Бозанке ') с трубами, открытыми с обоих концов, поправка для одного конца была 0,633)с при А 12!х т) Воз шцпет, РЛД. Мая,, том Н!, стр. 63, !878.
а) Рйбй Ман. (5), том!П, стр. 458, 1877. !Самые ранние эксперименты этого рода пряпадле)кат Грипону (Апп. и', Сйуш., том П!, стр. 384, 1874), который показал, что эффект больших фланцев пропорционален днаметру трубы.! а) %етще!ш, Анп. и'. Сзувь (3), том ХХХ1, стр. 394, 1851. А) Воэапцпе[, Р!ту!. тиай; (5), том !Н, стр. 219, 1877, 314) 199 экспеРиментхльные метОды и 0,543)с при ).=30)7.
Бозанке принимает в качестве общего правила„что поправка (выраженная в долях 77) возрастает с увеличением отношения диаметра к длине волны: часть этого возрастания может быть, однако, обязана взаимной реакции концов, что заставляет плоскость симметрии вести себя подобно твердой стенке. Когда труба не слишком длинна в сравнении с ее диаметром, то положение вещей близко скорее к случаю присутствия, чем к случаю отсутствия фланца. Сравнение теории и наблюдения в этом отношении несколько трудно, потому что, когда поправка мала, на ее значение, вычисленное из наблюдений, влияют неточности в абсолютной высоте и скорости звука; для случая же, когда она относительно велика (здесь с экспериментом удобнее иметь дело) не существует теории. Вероятно, более точное значение попоавки можно было бы получить с резонатором типа, рассмотренного в 9 306, где сооб!пение с внешним воздухом осуществляется с помощью простого отверстия; <тдлина» в этом случае равна нулю и «поправка»вЂ” это все.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
