Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Аналогичным образом, мнимая часть правой части (24) зквива- 1 лентна — — (лК(з), так что 2 К(л) = — !з-т — л-в+ !в. ЗЯ. а- — 1Я. Зе. бв. л-т+...) + 2 в г 2 1т За 1а За 5а. 7т 1 Г 2 1а 1а. Зт. 5а 1 Значение К,(л) можно теперь определить с помощью (17). Мы находим лК 2 — = — — (з-а — 3 л-'+!Я ЗЯ б . л-з — 1Я Зв бв 7 г-з+ ... ' + ля ++'''1+ —, ~~ соз(д — — и)(1 та ( 4 /( +1 ° 2 ° (За)а 1 2.3 4 ° (Зя)т +'''! /2./ 1!1335713 са (, 4 ) (1 (Ия) 1 2 ° 3 ° (8я)" 35?9!11357 1 ° 2 ° 3 4 ° 5 ° (8я)' Окончательное выражение для К,(г) можно представить в форме К,(з) = — (л + г-' — 3 з-в + 1я 3'.5 .л-ь — )я Зв бе ° 7 . г- + 2 / 2» Г ! !! (1а 4)(За 4) 1 2 (За,е (! е — 4) (Зв — 4) (св — 4) (уа — 4) + 1 2 ° 3 4 [Зя)т /2г т ! ~!1т — 4 — !/ — ° з)п (а — — ит) У и (, 4 )(18г (!а 4)(зт 4)(бв 4) 1 2 ° 3 (8 )в +...) ).
(28) т) Как и следовало ожидать, ряды внутри скобок те же самые, какие встречаются в выраакении функции Ут(я). ЗО2) 169 !(ОлввлющАяся кРуГлАя пллстинкА !1М+ 2 — як!12де) Г+ у(1 — ~1~~ Ю) 1+ Ф.= г, 129) или, согласно 113), если, как это бывает обычно в практических приложениях, л)с мало: ( + 3 ) + 2 "+~я 630) Следует отметить два частных случая этой задачи Пусть, во-первь!х, М и р равны нулю, так что на пластинку, саму по себе лишенную массы, не действу!от никакие другие силы кроме Г и тех, которые возникают вследствие воздушных давлений. Так как 1= Фа!, то член, представля!ощий трение, относительно незна- чителен, и мы получаем, если л)с очень мало, 8Л)2 я ачк)сз ° — с = — !Е.
За Пусть, далее, М и и таковы, что собственный период пластинки, когда на нее действует только реакция воздуха, одинаков с периодом, приложенным к ней извне. При этих условиях (м+ з )1+р1=о и поэтому Лг)эа 2 132) Сравнивая с 131), мы видим, что амплитуда колебания в том случае, когда инерция воздуха уравновешивается, больше в отношении !6: Зялц!; это указывает на значительное увеличение, если м)2 мало. В первом случае фаза движения такова, что сила г" совершает сравнительно очень небольшую работу, между тем как во втором случае инерция воздуха компенсируется упругостью, и тогда Р, будучи в одинаковой фазе со скоростью, дает максимальное количество работы.
Тогда очевидно, что К, не обращается в нуль, когда з велико, но приближается к 2я1к. Но хотя прирост инерции, который пропорционален К„становится бесконечно большим вместе с )с, он в конце концов исчезает, в сравнении с площадью диска и с другим членом, который представляет диссипацию. Это согласуется с тем, что можно было бы предвидеть из теории и юских волн. Если, независимо от реакции воздуха, масса пластинки равна М н восстанавливающая сила рл, то уравнение движения пластинки, на КОтОруЮ дЕИСтВуЕт ВНЕШияя СИЛа тч, ПрОПОрцИОНаЛЬНая Е'А"', ИМЕЕТ вид: ГЛАВА ХЧ! ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ 303.
В случае трубы, закрытой с одного конца и открытой с другого, мы имели пример массы воздуха, способной колебаться с некоторыми определенными свойственными ей периодами при более или менее полной независимости от внешней атмосферы. Если бы воздух за открытым концом был совершенно лишен массы, то движение внутри трубы не имело бы тенденции уходить наружу и заключенный в ней столб воздуха вел бы себя подобно всякой другой сложной системе, не подверженной днссипацни.
В действительном эксперименте инерцию внешнего воздуха устранить, конечно, нельзя, но когда диаметр трубы мал, возникающий эффект на протяжении нескольких периодов может быть незна >ительным, и тогда колебания, однажды возбужденные в трубе, обладают в известной степени постоянством. Чем уже канал, соединяющий внутренность сосуда с внешней средой, тем совершеннее осуществляется независимость. Такие полости образуют резонаторь>; в присутствии какого- либо внешнего источника звука заключенный в полости воздух колеблется в унисон с пим, с амплитудой, зависящей от соотношения между величинами периодов собственного и вынужденного колебаний н достигающей большого значения в случае приблизительного изохронизма.
Когда первоначальная причина звука перестает действовать, резонатор отдает назад накопленные внутри него колебания, становясь, таким образом, на короткое время вторичным источником. Теория резонаторов составляет за>аную отрасль нашего предмета. В качестве введения в эту теорию мы можем взять простой случай закрытого с одного конца цилиндра, в котором движется без трения поршень. Предположим, что воздух с другой стороны поршня лишен инерции, так что давление абсолютно постоянно, Если теперь привести поршень в колебания с очень большим периодом, то яаю, что содержащийся в цилиндре возлух во всякий момент времени будет находиться с очень большим приближением в состоянии равновесия (одинаковая всюду плотность), соответствующем мгновенному положению поршня.
Если масса поршня очень значительна сравнительно с массой заключенного в цилиндре воздуха, то собственные колебания, возникающие в результате смещения, будут зоз! 1?1 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СЖАТИЯ происходить почти так, как если бы воздух не имел инерции; при определении периода из кинетической и потенпиальной энергий первую можно вычислять без учета инерции воздуха, вторую же так, как если бы разрежение и сжатие были равномерны. В рассчагрнваемых условиях воздух действует только как пру>кина в силу своего сопротивления сжатию или расширению; форма сосуда, в котором заключен воздух, поэтому несущественна, и период колебания остается одним и тем же, если не изменяется емкость.
!(Огда газ сжат или расширен, работа полученного смещения находится умножением каждого бесконечно малого увеличения об.ьема на соответствующее лавление и интегрированием по всей требуемой области. В настоящем случае действительно деятельной является, конечно, лишь разность давлений по обе стороны поршня, и для палого изменения она пропорциональна изменению объема, Полная работа этого малого изменения такова, как если бь> расширению все время противодействовало среднее давление, т. е. половина конечного; таким образои, соответственно изменению объема от 8 до 3 + 65, поскольку р = аэр, Зл 1 !Зл)я Ьг = р — Ы = — раэ —. 25 2 л Если А обозначает площадь поршня, М вЂ” его массу, а х — его линейное перемещение, то Ы = Ах, и уравнение движения есть раеАЯ ?Их+ — х = О, 5 (2) что указывает на колебания с периодом 2Я аА 1>г ) Ср.
!12) % 2дз. Представим себе теперь содержащий воздух сосуд, внутренность которого сообщается с внешней атмосферой через узкое отверстие или горлышко. Нетрудно видеть, что эта система способна совершать колебания, аналогичные только что рассмотренным; при этом воздух в соседстве с отверстием занимает место поршня. При достаточном увеличении о' период колебания можно сделать сколь угодно большим, и мы получаем в конечном счете такое положение вещей, когда кинетической энергией можно пренебречь всюду за исключением пространства в соседстве с отверстием, а потенциальную энергию можно вычислять так, как если бы плотность внутри сосуда была всюду одинаковой.
Протекая через отверстие под действием разности давлений с двух сторон или в силу своей собственной инерции, после того как такое давление перестало действовать, воздух движется приблизительно так, как это делала бы в аналогичных условиях несжимаемая жидкость, при условии, что размеры пространства, 172 1гл. хщ ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ (4) ХЯ т=т Р—, 2 с где постоянная с, которая зависит только от природы канала, есть линейная величина, как это можно заключить из того факта, что размерность Х относительно пространства есть 3 и относительно времени — 1. В самом деле, если м потенциал скорости, то в силу теоремы Грина 2 Р 1 .1,) ((д ) +(д ) +(д ) ~ У 2 Р.Г ~ ' д причем интегрирование должно быть распространено по поверхности, включающей всю область, в которой скорость имеет заметную величину.
На достаточном расстоянии по обе стороны от отверстия у становится постоянным; если обозначить эти постоянные значения чеРез О, и 7Я и огРаничить тепеРь интегРиРование той половиной 5, в направлении к которой течет жидкость, то мы имеем 7= — р(е,— ря) ~ ~ — Ф5= — р(~ — су)Х. дл где кинетическая энергия имеет заметное значение, очень малы сравнительно с длиной волны. Прелположения, на основе которых мы намерены действовать, не являются, конечно, строго правильными в приложении к действительным резонаторам, какими пользуются в экспериментах, но они достаточны, чтобы дать наглядное представление о предмете и во многих случаях служить основанием для достаточно точного вычисления высоты, Они становятся строгими только в пределе, когда длина волны бесконечно велика в сравнении с размерами сосуда.
(Изложенные выше принципы позволяют сразу же вычислить высоту тона резонатора с объемом 5, полость которого сообщается с внешним воздухом посредством длинного цилиндрического горлышка длины 7. и площади А. Масса возлушного поршня есть рА7„ так что (3) дает для периода колебания = — '.я ~Т или, если 1 — длина плоских волн той же самой высоты, ) =ае= 2г 1/ l 73 У А (5) Если поперечное сечение горлышка есть круг радиуса 77, то А = я77э, и мы получаем формулу (8) 2 3073 304. Кинетическую энергию движения несжимаемой жидкости через данный канал можно выразить через плотность р и скорость переноса, илн потока, Х, потому что при рассматриваемых условиях характер движения всегда один и тот же.
Так как 7 необходимо меняется пропорционально р и Л"', мы можем положить 304 ! кинетичгскля энвягия в таких клнлллх )уз Но, так как и внутри о определяется линейно своими значениями на поверхности, интеграл ~ ~ — гьэ", или Х, пропорционален(в — й ). 'дт . дп Если мы положим Х= с(л, — чя), то получим, как выше, ! Ха 7'= — р — . 2 ! Хз у = — раэ— 2 Х и Хз т= — р— 2 с (2) то уравнение движения есть Х+ — Х= О, (3) что указывает на простые колебания с периодом l 8 т= 2я аг лте ' (4) Если М вЂ” частота, или число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, то М= — а (б) Природу постоянной с легче всего понять, рассматривая электрическую задачу, условия которой математически тождественны с условиями рассматриваемой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
