Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В случае периодического возмущения прибли>кение со скоростью и эквивалентно нозоастанию частоты в отношении а >(а+и). 299. Мы исследуем теперь вынужденные колебания воздуха, заключенного внутри прямоугольной камеры, колебания, обязанные своим происхождением внутренним источникам звука. В силу з 267 ясно, что результат начального с>катия, ограниченного областью в соседстве с точкой с, ть 1, в момент й есть и = ~М ~~У 1> 1>аВ„Рисов йа1соз(р — ) соз(>7- — ) соя(» — ), (1) где ИаВ„а„= — соз1р — ') соз(>7 — ') соз(г — ') ~ ~ ~ ч>ап>хну>уа, (2) откуда можно вывести эффект какой-либо внешней силы, как в 9 276.
Если возмУшение ) ) ~Уг>ухаУгух, сообщенное в момент 1', представить в форме ) ) ) Ф(Р)гй'ахп>у>гл, или Ф>(Р)аЧ', то возмущение в момент 7 будет — 1> ~~~исоа(Р†)соз(>)†)соз(г --) )( Х сов(р — )соз(>7 — ')соз(г — ') ~ Ф,(р)соз)га(à — р)с>г'. (3) Симметрия этого выражения по отношению к х, у, а и 1, есть пример принципа обратимости Я 107). В случае гармонической силы, для которой Ф,(Г>) = А созтаг", мы должны рассмотреть значение интеграла соз шар соз йа (г — р) >й'. (4) Строго говоря, этот интеграл не имеет определенного значения; но если нас интересует выражение только вынужденных колебаний, то мы должны опустить интегрируемую функцию на нижнем пределе; это можно видеть, если предположить, что введены очень малые диссипативные силы. Мы получаем, таким образом, пгичожю>ия оя>>их кг>знаний 1гл.
хч Как мои<но было предвидеть, эти выражения становятся бескопе п>о большими в случае совпадения периола источника с одним из соб- ственных периодов сосуда. Никакое отдельное нормальное коле- бание не возбудится, если источник расположен в одной из его пучностей. Об эффекте нескольких источников легко заключить, суммируя нли интегрируя имеющиеся выражения. 300. Когда звук возбуждается внутри цилиндрической трубы, то простейший способ возбуждения, какой только мы можем пред- положить, — это возбуждение с помо~пью вынужденных колебаний поршня. В этом слу ~ае волны являются плоскими с самого начала. Но важно также исследовать, что происходит, когда источник, вместо того чтобы быть равномерно распределенныи по сечению, сконцентрирован в одной его точке.
Если мы примем (что, однако, не является верным безоговорочно), что на достаточном расстоянии от источника волны становятся плоскпмн, то закона обратимости достаточно, чтобы получить желаемые сведения. Пусть А — простой источник в неограниченной трубе, В и В'— две точки одно~о и того же нормального сечения з области плоских волн.
Ех )>уройез1, потенциалы в В и В', обязанные источнику А, одинаковы и, согласно закону взаимности, такие же источники в В и В' дали бы тот же самый потенциал в А. Отсюда следует, что эффект какого-либо источника на расстоянии такой же, как если бы источник был равномерно распределен по сечению, которое прохо- дит через него. Так, например, если бы В и В' были одинаковыми источниками в противоположных фазах, возмущение в А было бы равно нулю.
Энергию, испускаемую простым источником, расположенныи внутри трубы, теперь нетрудно вычислить. Если сечение трубы есть а и источник таков, что в открытом пространстве потенциал, обязанный ему, был бы равен А соз Д (аà — г) 4.
(1) 4г. г то потенциал скорости на некоторои расстоянии внутри трубы будет такии, как если бы причиной возмущения было движение поршня в начале, дающее то же общее смещение; испускаемая энергия также будет той же самой. Но из (1) имеем в конечном счете 2кгв — = — А соз ааГ, .дя 1 дг 2 и поэтому, если ф — потенциал скорости плоских волн в трубе (предполагаемой параллельной г), мы мо>келл положить дф ! а — = — А соз)л(аà — г), да 2 соответственно чему ф = — — соз Й (а1 — - з). аА 2е (з) ЗОЦ !59 испзсклвмтч энгагия Отсюда, как в 8 245, энергия В', испускаемая в каждую сторону от исто шика, лается выражением: д Ю' г ° др Х ГаАя так что для зна ~ительного промежутка времени (р=р д аАа зч Если труба закрыта неподвижным поршнем, помещенным вблизи исто шика, то вся энергия излучается в одном направлении; но это еще не все.
В результате удвоенного лавления развивается энергии в два раза больше, чем раньше, и, таким образом, в этом случае (р =р — д аАз 2т (5) Чем уже труба, тем больше энергия, испускаемая данным источником. Интересно сравнить эффективность источника у закрытого конца цилиндрической трубы с эффективностью равного источника, расположенного в вершине конуса.
Из Ч 280 мы имеем в последнем случае ЛааАз (6) К~ и (7) так что (2) равно как и условию, что на границе сечения — = О. дт дл Чтобы эти уравнения могли быть совместными, р ограничивается некоторыми определенными значениями, соответствующими периодам Энергия, испускаемая в обоих случаях, одинакова, когда ы = Фэа, т. е. когда сечение цилиндра равно площади, вырезываемой конусом на сфере радиуса Й '. 301.
Мы должны теперь исследовать, насколько справедливо утверждение, что колебания внутри цилиндрической трубы на достаточном расстоянии от их источника становятся приблизительно плоскими. Взяв ось л параллельной образующим цилиндра, исследуем движение, потенциал которого меняется по закону еш", на положительной стороне от источника, располом<енного в х = О. Если о — потенциал и если вместо дз/дхэ + дэ/дуэ подставить тэ, то уравнением движения будет ( д +пя 4 ья)<р — О (() Если у не зависит от з, то это уравнение представляет колебания, целиком поперечные к оси цилиндра. Если тогда потенциал пропорционален е'ла', то он лол.кен удовлетворять уравнению (РЯ+ рэ), = О, пгиложгщня овщих твлвнвний (гл. хт собственных колебаний.
Пулевое зна >сине р дает со = сопз1— решение, которое мы лолжны булем сейчас рассмотреть, хотя оно и не имеет значения для задачи в двух измерениях. Для каждого допустимого значения р имеется определенная нормальная функ- ция и от х и у (ч 92), так что решение имеет вил: и — Ассе>пас (4) Две функции и и и', соответствующие различным значениям р, якшются сопряженными, а именно, для них ) ) сси'дхс>у=-О, (5) и всякая функция от х и у момсет быть разложена внутри кон- тура в ряд р = '4оссо+ 4>и> + Аяия+ (6) где ио, соответствующее р = О, постоянно.
В действительной залаче р все еще можно разложить в тот мсе рял, при условии, что Ао, А,, ... рассматриваются как функ- ции а. В результате подстановки в (!) мы получаем, принимая во внимание (2), ио~,„, + лоАо~+ис~ о +(л р') 4 ~+ + ссв — „-+ ()со — р') А ~ +... = О, (7) ! сс>Ао где в силу свойства сопряженности нормальных функциИ каждый коэффициент при и должен обращаться в нуль по отдельности. Таким образом, — + >еэА = О, — + (>сэ — ро) А = О.
и>Ао и>А с!хо о ил> (8) Решение первого из этих уравнений есть А = а ес"' + р е '"', о=о+о что лает о = а и ес" Сшт*>+3 и есаСос-'> о — о о + оо (9) Решение общего уравнения для А принимает различную форму в зависимости от того, булет лн )сэ — рв поло>кительнь>м или отрицательным. Если вынужденное колебание является более низким, чем наинизшее из чисто поперечных собственных колебаний, то каждое конечное значение рэ больше, чем иэ, или иа — рэ всегла отрицательно. Полагая (10) мы имеем А = аень+ ре — ~--, откуда со = (ае>' + 9е-о") ие'с'"с.
(1! ) Но при предположенных условиях очевидно, что движение не ста- 391! 161 КОЛЕБАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ТРУБАХ (! 3) 1! Зев. >779. Рээеа, Н новнтся бесконечно большим вместе с е, так что все коэффици- енты и равны нулю. По несколько иному основанию то же самое справедливо для ав, так как не может существовать волны в отрицательном направлении.
Мы можем поэтому положить ей = Ров!А>аг-е>+!> и е-вес!!а!-а>- 3 ив "=е!'"'+... (!2) ! ! — выражение, которое сводится к своему первому члену, когда с достаточно велико. Мы приходим к заключению, что во всех случаях волны в конце концов становятся плоскими, если выня- жденное колебание нвлкетсн более низкиле, чел> наинизшее из собственных поперечнэ>х колебаний. В случае кругового цилиндра радиуса г длина волны наиниз- шего поперечного колебания равна 2яг: 1,841 = 3,413г (9 339).
Если при этом длина волны вынужденного колебания превосходит 3,4!Зг, то волны в конечном счете становятся плоскими. Может случиться, что волны в конце концов становятся плоскими, хотя длина волны и падает нике указанного предела. Так, если источ- ник колебаний сил>метричен относительно оси трубы,— например, простой источник, расположенный на оси трубы,— то наинизшее поперечное колебание, с которым нам пришлось бы иметь дело, было бы более чем на октаву выше, чем в общем случае, и длина волны вынужденного колебания могла бы иметь значение, меньшее половины указанного. Из (!2), когда а=О, следует — = — й3 е!""' — р ч и е!"" —..., ~,)",; =- ).
а — йб= — йЗ е!" ', ,в поскольку ~ ) и>йа, ! ) иябэ и т. д. все обращаются в нуль. В связи с этим ясно, что плоские волны на некотором рас- стоянии от источника такие же, как если бы они были получены с помощью тверлого поршня в начале, что дает ту же сред- нюю нормальную скорость, какая существует в действительности. Всякое нормальное движение, положительная и отрицательная части которого равны, не дает в окончательном результате никакого эффекта. Когда нет никаких ограничений относительно характера источ- ника и когда некоторые из собственных поперечных колебаний являются более низкими, чем данное, то несколько значений ив в рв положительны, и тогда появляются члены вида: Е> рис!на>Е-! > А" — Р*е или, в действительных величинах Р = "ри соз (ка! — ~Гкэ — рзг)! (14) ПРИЛО>КВНИЯ ОБЩИХ УРЛВНБ>!Ий !гл, ху это указывает, что особешюсти источника распространяются на бесконечно большое расстояние.
Задачу, рассмотренную здесь, можно считать обобщением задачи й 268, Для случая кругового цилиндра ее можно решить полностью с помощью функций Бесселя, но это мы предоставляем читателю. 302. В й 278 мы полностью определили движение воздуха, являющееся результатом периодического движения в направлении нормали граничной плоской пластины бесконечной протяженности. Если дв>дп — заданная скорость в направлении нормали для элемента г)5, то !1) дает потенциал скорости в точке Р на расстоянии г от д>.>. Остальная >асть настоящей главы посвящается исследованию часгного случая этой задачи, имеющего место, когда скорость в направлении нормали имеет заданное постоянное значение на плошади круга радиуса )г, а на оста,тьной части плоскости равна нулю. В частности, мы исследуем, какие силы, являя>шиеся результатом реакции воздуха, действуют на тверд)чо круглую пластинку, колеблющуюся по простому гармоническому закону в равном ей по плошали круглом отверстии, вырезанном в твердой плоской пластине, простирающейся в бесконечность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
