Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 7
Текст из файла (страница 7)
отнимая только половину половины, что составит четверть всей призмы, мы получим в остатке тело, прочность которого не будет ни увеличиваться, ни уменьшаться во всех тех точках, в которых увеличение и уменьшение прочности двух первых тел было постоянно одинаковым. С а л ь в н а т и. Вы не угадали, синьор Снмпличио. Я покажу вам и вы убедитесь, что та часть, которую мы можем отсечь и отнять от призмы, не уменыпая ее прочности, составляет не четверть, а треть ее.
Нам надо (как уже заметил синьор Сагредо) найти линию, по которой должно быть сделано сечение: я докажу, что линией этой является парабола. Но предварительно необходимо будет доказать следующую лемму: если даны два коромысла весов или рычага, разделенные точками опоры таким образом, что длины плеч, на которые действуют силы, относятся между собою, как квадраты плеч, на которые действуют сопротивления, и если сопротивления относятся друг к другу, как эти плечи, то силы, преодолевающие сопротивления, равны между собою.
Пусть даны два рычага АВ и СР, разделенные точками опоры Е и Е таким образом, что плечи ЕВ и ЕР относятся, как квадрат ЕА к квадрату ЕС, и предположим, что отношение сопротивлений в А и С равно отношению линий ЕА и ЕС. Утверждаю, что силы, приложенные в В и Р и преодолевающие сопротивления в А и С, равны между собою. Отложим Е6 — среднюю пропорциональную между ЕВ и ЕР; тогда отношение ВЕ к Е6 будет равно отношению 6Е к ЕР или АЕ к СГ; так же относятся ь Р О с г о друг к другу по условию и сопротивления в точках А и С.
Так как, кроме того, Е6 относятся к ЕР, как АЕ к СЕ, то отношение 6Е к АЕ равно отношению ЕР к ЕС. Далее, оба рычага РС и 6А разделены в точках Е и Е пропорционально, почему сила, приложенная в Р и преодолевающая сопротивление в точке С, будучи перенесена в точку 6, сможет преодолеть то же по величине сопротивление С, перенесенное в точку А. Но по условию сопротивления А и С относятся друг к другу, как расстояния АЕ и СЕ или как ВЕ и Е6; следовательно, сила 6 или, лучше сказать, сила Р, приложенная в В, преодолеет сопротивление в точке А, что и требовалось доказать. 15 Галилео Галилее, т. аа 226 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Доказав это положение, начертим на боковой грани ГВ призмы ВВ параболическую линию РХВ с вершиною в точке В и оставим от призмы тело, ограниченное основанием АВ, прямоугольником А6, прямой В6 и поверхностью, искривленной соответственно параболе гЛВ. Утверждаю, что такое тело будет обладать во всех частях одинаковым сопротивлением.
Рассечем тело плоскостью СО, параллельнойАВ, и представим себе два рычага с точками опоры в А и С, так что плечами первого из ннх будут ВА и АР, а второго — ВС и СХ. Так как у параболы РВЛ отношение АВ и ВС равно отношению квадрата РА к квадрату СХ, то ясно, что длина плеча ВА одного рычага относится к длине ВС плеча другого рычага как квадрат другого плеча РА к квадрату плеча СХ. Поэтому сопротивление, преодолеваемое рычагом ВА, будет относиться к сопротивлению, преодолеваемому рычагом ВС, так же, как относятся друг к другу площади прямоугольников РК и ОС, т. е. как линии АР и ХС, являющиеся другими плечами рычагов; отсюда на основании только что доказанной леммы явствует, что та н<е самая сила, которая, будучи приложена к линии В6, преодолевает сопротивление ЙА, преодолеет и сопротивление СО.
То же самое можно доказать и относительно сечения в любом другом месте, из чего следует, что такое параболическое тело во всех своих частях одинаково прочно. То обстоятельство, что, разрезая призму по параболической линии РХВ, мы отнимаем от нее третью часть, видно из следующего: половина параболы РАВА и прямоугольник РВ суть основания двух тел, ограниченных двумя параллельными плоскостями, а именно, прямоугольниками РВ и В6; объемы их сохраняют то же отношение, какое существует между основаниями; но прямоугольник РВ в полтора раза больше полупараболы ВДОВА; поэтому, разрезая призму по параболигеской линии, мы отнимаем от нее третью часть.
Отсюда ясно, что мы можем уменьшать вес балок более чем на тридцать три процента, нисколько не вредя их прочности; это обстоятельство может привести большую пользу при постройке крупных судов, в особенности при укреплении перекрытий, так как в сооружениях этого рода легкость имеет огромное значение'з. С а г р е д о. Случаев, где это полезно, столь много, что затруднительно и даже невозможно все нх перечислить.
Оставляя нх, однако, в стороне, я желал бы убедиться, что уменьшение веса действительно происходит в указанном отношении. й о, что сечение призмы по диагонали уменьшает вес ее наполовину, я прекрасно себе представляю, но то, что сечение по параболе отнимает третью часть, я могу принять на веру со слов синьора Сальвнатп, всегда правдивого; но здесь знание было бы для меня предпочтительнее веры.
С а л ь в и а т и: Итак, вы желаете иметь доказательство того, что часть призмы, отсекаемая по параболе, составляет треть призмы. Я ДЕНЬ ВТОРОЙ 227 однажды уже дал такое доказательство; попробую восстановить в памяти ход рассуждения, для которого, насколько помнится, я воспользовался следующей известной леммой Архимеда, содержащейся в его книге «О спиралях»: если имеется любое число линий, превышающих одна другую по длине на некоторую одинаковую величину, равную наименьшей из них, и такое же число линий, равных наибольшей из них, то сумма квадратов этих последних линий будет составлять менее чем утроенную сумму квадратов первых, отличающихся друг от друга по длине линий, но будет превышать более чем в три раза разность между этой в ч суммой и квадратом наибольшей из ли- 1 - »з о нин»'. Приняв это положение, начертим ! прямоугольник АСВР и впишем в него пара- м болическую линию АВ.
Требуется доказать, что смешанный треугольник ВАР, образованный двумя сторонами прямоугольника ВР, АР и параболой ВА, составляет третью о а часть всего прямоугольника СР. Если это х не так, то треугольник должен быть либо более третьей части, либо менее. Предположим сначала, что он меньше и что недостающая до трети часть будет равна площади Х. Деля теперь прямоугольник СР последовательно на равные части линиями, параллельными сторонам ВР и СА, получим, наконец, части, каждая из коих будет меньше площади Х; предположим, что одной из таких частей будет прямоугольник ОВ; проведем через точки пересечения параболы с прочими параллельными линиями ряд линий, параллельных стороне АР; мы получим, таким образом, описанную вокруг нашего смешанного треугольника сложную фигуру, составленную из прямоугольников ВО, 1Х, НМ, Р1, ЕК и ОА.
Эта фигура будет также меньше третьей части прямоугольника СР, так как избыток ее площади над площадью смешанного треугольника будет значительно меньше прямоугольника ВО, который, в свою очередь, меньше площади Х. С а г р о д о. Остановитесь прошу вас. Я не вижу, почему избыток площади описанной фигуры над площадью треугольника будет значительно меньше площади прямоугольника ВО. С а л ь в и а т и. Не равен ли прямоугольник ВО сумме всех прямоугольников, через которые проходит наша парабола, т.
е. прямоугольников В1, 1Н, НГ, РЕ, ЕО и ОА, частично выходящих за пределы смешанного треугольника? А прямоугольник ВО не меньше ли, по нашему условию, нежели площадь Х? Если, таким образом, треугольник вместе с площадью Х будет равен третьей части прямоугольника СР, то описанная фигура, прибавляющая к площади треугольника меньше, нежели 15» 228 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА площадь Х, останется меньшею по сравнению с третьей частью того же прямоугольника СР. Но этого не может быть, так как она составляет более трети прямоугольника; следовательно, наше предположение, что площадь смешанного треугольника меньше трети прямоугольника, неправильно. С а г р е д о.
Вы разрешили мои сомнения. Но остается доказать, что описанная фигура составляет более трети площади прямоугольника СР, что, думается мне, не так-то легко сделать. С а л ь в и а т и. Но и не так трудно. В параболе отношение квадратов линий РЕ и Я6 равно отношению линий ВА и АЯ, которое одинаково с отношением прямоугольника КЕ к прямоугольнику А6 (так как высоты АК и КБ равны); следовательно, квадраты ЕР и Я6 относятся между собою, как квадраты ЕА и АК или как прямоугольник КЕ и КЯ.
Совершенно таким же образом доказывается относительно других прямоугольников ЕР, МВ, Ж! и ОВ, что они относятся друг к другу, как квадраты линий МА, !УА, ОА и РА. Обратим теперь внимание на то, что описанная фигура составлена из частей, отношение между которыми равно отношению квадратов линий, последовательно превышающих одна другую на величину, равную меньшей из них, и что прямоугольник СР составлен из такого же числа площадей, из коих каждая равна наибольшей части, т. е.
прямоугольнику ОВ. Согласно лемме Архимеда, описанная фигура составит, таким образом, больше трети прямоугольника СР; но в то же время она была и меньше, что, очевидно, невозможно. Поэтому смешанный треугольник не может быть меньше одной трети прямоугольника СР. Утверждаю равным образом, что он и не более трети. Предположим, что он более трети и что площадь Х равна излишку площади треугольника над третью площади прямоугольника СР. Производя последовательное 4 деление всего прямоугольника на все меньшие равные между собою прямоугольники, получим, наконец, такие части, которые будут менее площади Х.
Предположим, что мы это сделали и получили прямоугольник ВО, который меньше Х. Проведя такие же линии, как и ранее, мы получим фигуру, вписанную в смешанный треугольник и составленную из прямоугольников УО, Т!г', ЯЛХ, ВЕ и ОК, которая будет все же не меньше трети большего прямоугольника СР. Смешанный треугольник превосходит вписанную фигуру на меньшую величину, чем он превосходит третью часть прямоугольника СР, потому что излишен площади треугольника над третью прямоугольника СР равен площади Х, которая больше прямоугольника ВО, последняя же, в свою очередь, больше иалишка площади треугольника над вписанной фигурою; действительно, площадь прямоугольника ВО равняется сумме площадей прямоугольника А6, 6Е,ЕР, ГН, В! и !В, а у последних лишь часть, меньшая половины, равняется излишку треугольника над вписанной фигурой.
Так как треугольник пре- ДЕНЬ ВТОРОЙ 229 вышает третью часть прямоугольника СР на величину ббльшую (а именно, на величину Х), вписанную же фигуру на величину меньшую, то эта фигура должна быть больше трети прямоугольника СР; но, по принятой нами лемме, она меньше последней, ибо прямоугольник СР, как совокупность всех наибольших прямоугольников, относится к прямоугольникам, образующим вписанную фигуру, как сумма квадратов всех наибольших линий к сумме квадратов линий, последовательно превьгшающих друг друга на определенную величину, за вычетом из последней квадрата наибольшей линии.
Далее, вся совокупность наибольших прямоугольников (составляющих в сумме прямоугольник СР) превышает более чем в три раза сумму прямоугольников, последовательно увеличивающихся и составляющих вписанную фигуру, за вычетом из этой суммы наибольшего прямоугольника. Следовательно, смешанный треугольник не может быть ни меньше, ни больше трети прнмоугольннка СР и должен быть равен ей. С а г р е д о. Прекрасное и остроумное доказательство, особенно пенное тем, что оно дает и квадратуру параболы, показывая, что площадь таковой равняется четырем третям вписанного треугольника, как это доказал еще Архимед двумя различными, но равно заслуживающими удивления способами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
