Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сопротивлением (изгибу) Галилей теперь называет не Аь, а момент атой силы, приложенной в центре тяжести сечения, относительно точки В 29» 452 КОММЕНТАРИИ (см. рисунок на стр. 206). Отсюда непосредственно следуют сформулированные в тексте утверждения. з (1г стр. 211).
Рассуждение Сальвиати эффектно и, на первый взгляд, вполне убедительно. Но оно основано на молчаливо принятом допущении, что отрезок веревки ВЕ имеет единственную функцию: передать действие груза С неизмененным, а такое допущение равносильно тому, что докааывается в тексте (укааано Трусделом).
з Третьей пропорциональной к двум отрезкам си Ь во времена Галилея нааывалп Ьз а Ь отрезок и = — (определяемый из пропорции — = — ); четвертой пропорциоа Ь аз Ьз нальной к отрезкам а и Ь называли отрезок я = — (определяемый из пропорции аз а аз — = — ) и т. д. и з (1Т сыр. 212). Эти реаультаты Галилея непосредственно следуют иа его исходных з/ л допущений: Р = Р— Рз пропорционально Ыз, следовательно, Рь пропорциоь з 1 6« .нально — (обоаначения см. выше в примеч. 6 и 7). Однако то, что Сальвиати докааывает ниже, а именно, что у подобных цилиндров мли приам отношение составных моментов, обусловливаемых весом и длиною, равно полуторной степени отношения сопротивления их оснований, не верно.
Сопротивление основания у Галилея иной раа сила, иной раа момент силы, и в зависимости от этого оно пропорционально либо площади основания, т. е. квадрату диаметра, либо кубу диаметра. Поэтому, если коэффициент подобия для длин обоаначим через Ь, отношение стих сопротивлений для подобных фигур равно Ьз или Ьз, тогда как отношение моментов сил веса тех же фигур будет Ь«. Итак, то, что Галилей называетотношением моментов подобных цилиндров, равно, при его исходных допущениях, либо второй (а не полуторной) степени отношения «сопротивлений их основанийз, либо степени 4/3. 'с (11 стр. 212).
Симплнчио имеет в виду ХЧН главу «Механических проблеме псевдо-Аристотеля. Там объясняется, почему толстая деревянная жердь, даже если она толще короткой, прогибается при подъеме (за один конец, например с земли) больше, чем короткая: у короткой жерди опора и точка приложения силы блиаки друг к другу, а у длинной ови разделены большим расстоянием, такая жердь сразу прогибается и при дальнейшем подъеме ее прогиб возрастает.
и (1( стр. 215). Доказательство Галилея, если пользоватьсл современной записью, можно заменить следующим. Пусть 1 и Ы вЂ” длина и диаметр (данного) цилиндра «наибольшей длины, который выдерживает свой собственный весе, 1, и Р— длииа и диаметр второго цилиндра. Заданы 1, «( и Х,. Дано также, что изгибающий момент жГ« веса первого цилиндра (р — 1 —, где р — плотность материала) равен моменту 4 2 ' сонротивления (вся —, где а — константа, характерная для материала), откуда ряР = 4Ы. (1) «БЕСЕДЫ И ИАТЕЬГАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА». ДЕНЬ ВТОРОЙ 453 Требуется определить Р, причем, по условию, и для нового цилиндра должно быть ря1» = 4зР.
(2) 1» Из (1) и (2) получаем, что Р = »»), что составляет реаультат Галилея. 'з (К сыр. 21б). Воспользуемся обозначениями предыдущего примечения. Имеем РС = »), Е = Е. Галилей вводит в рассмотрение цилиндр, подобный цилиндру (»), !) и имеющий длину Р.
Его диаметр КР обоаначим череа Р'. Линия М!»', как третья про- Р'» порциональная к 3 и Р', равна — и она, по утверждению Галилея, равна искомому Р. »! Р' Это верно, так как — —, поэтому Р'» Э»Ю 5» М1»' = — — = с!— 3 ИЕ !» М» 1» АС» О=— 1 Рйз РЕ» 1» АС» М=- — = —, РЕ РЕ» ' Кроме того, очевидно, М» РЕ' РЕ Мз ЕР» Мз РС» 1 М» АВ» — — — (ЕС = АС); Отсюда М РЕ» 1' М вЂ” — = — =1'— Мз 1' М» ' 1 О Перемножая, получим М, РЕ РЕ» РЕ ЕР» Мз О АС» = 1» =АВв Этим заканчивается доказательство. Здесь Галилей называет сопротивлением не силу сопротивления, пропорциональную площади сечения балки, т.
е. квадрату диаметра нли радиуса в случае круглого сечения, а момент этой силы. " Эти строки взяты из Ариосто, любимого поэта Галилея: )»(оп з! рпб сов»рагйг опав!о ша !ипбо, 31 зш!зпгасашепсе 4 !исса бгоэзо. А г1о э ! о. Ог)апбо 1пг!озо, Х»11, 30. что совпадает с доказанным выше. 'з Ех аег(па!1 (лат.) — »по равенству»; в данном случае — приравнивая произведение левых частей двух равенств произведению правых частей тех же равенств. »» В последнем доказательстве Галилей пользуется ооозначениями и рисунком первого решения задачи, сформулированной на стр. 215. Обозначим моменты (собственных весов) цилиндров ЕЕЬ РС и АС через М„М», М„соответственно и напом- АС' ним, что 1 есть третья пропорциональная к РЕ и АС, т. е.
1 = Р, кроме того, по РЕ РЕ построению, 1 = 13, а М есть третья, О есть четвертая пропорциональная к РЕ п 1, т. е. КОММЕНТАРИИ 454 " (К сл>р. 212). В алгебраической записи решение представляется в следующем виде. Пусть АС '= 1, вес призмы АС = р. По условию, момент сопротивления, развиваемого призмой, составляет р — + Р1 = г г (р+ 2Р) 2 2 При удлинении призмы Г Г РГ2 пусть 1 ваменяется на 1'.
Тогда ломающий момент ее веса равен р — ° — = —. 2 21' р1'2 р+ 2Р Приравнивая, получаем — = 1(р+ 2Р), откуда Г'= В Р Галилей рассма тривает правую часть последнего равенства, как произведение двух длин: 1 и р+ 2Р (= Е); тогда 1' есть средняя пропорциональная для 1 и Ь. С этого ГалиР лей и начинает.
" (К сыр. 220). Здесь идет речь о задаче, рассматриваемой в ХЧ главе «Механических проблем> псевдо-Аристотеля. Сальвиати вполне точно резюмирует формулировку древнегреческого автора и его разъяснения. '> (К сл>р. 221). В этом рассуждении, как и прп доказательстве того, что короткая веревка не прочнее, чем длинная (см. стр. 211 — 212), неявно применяется важное для теории сплошных тел положение: с какой силой действует одна часть тела на другую, скажем, левая на правую, с такой же силой правая часть действует на левую.
Действительно, при разломе стержня над опорой в Р изгибающий момент силы, приложенной в Р, приравнивается изгибающему моменту силы, приложенной в Е. '» (К сл>р. 222). Изучение формальной логики (логики Аристотеля) во времена Галилея занимало значительную часть учебного времени в университетах и коллежах. Напротив, математика была, можно сказать, в загоне: ей отводилось самое скромное место в учебных планах, а профессору математики обычно платили в два-три раза меньше, чем профессорам богословия, философии, логики.
Галилей, в соответствии со своими философскими и методологическими установками, подчеркивает примат математики над логикой. 2» «Прлмоугольвик АРВ>, «прямоугольник АСВ» — это проиаведения АР РВ, АС СВ. Такой способ выражения неоднократно встречается и в дальнейшем тексте. Само доказательство таково: А+В А+В В Р Е+Р В Р Р+Е Нам известно, что А+В ВА В РВ Р РА В АС' Р ВС' Р+Е АВ ' Отсюда получаем, что А+В АР РВ Е+ Р АС.СВ ' гнесеДы и мАтемАтические ДОкАВАтельстВА». День ВТОРОЙ 455 " (К «шр.
228). Согласно предыдущей теореме, дело сводится к отысканию на отрезке АВ такой точки В, чтобы было АККВ Р .41>» К где Г и К вЂ” заданные ливии (собственно, задано отношение этих линий), Построение, данное Галилеем, иаящно и ведет кратчайшим путем к цели. " (К сгпр. 226). Мы имеем здесь первую постановку задачи о «теле равного сопротивления», и первое ее решение — для невесомой балки, нагруженной в одном конце. Отыскание тел равного сопротивления (при различных постановках аадачи) стало предметом ряда работ еще в ХЧП в., но на строительную практику того времени эти исследования не повлияли.
з» (К спгр. 227). Книга «О спиралях» вошла в указанное выше издание сочинений Архимеда (стр. 227 — 265). Галилей ссылается на следствие из Предложения Х этой книги (цит. изд., стр. 235 и сл.). Это предложение в геометрическом виде дает формулу для суммы квадратов целых чпсел от 1 до лгобого целого и, а следствие, на которое как на лемму ссылается Галилей, ма>нет быть записано так: 3 (аз+ а»+... + а» г) ( па» (3 (аз+ аз +...
+ аз), где а>4 Ьгаг(4=1,2,...,гг). »«(К «жр. 228), Речь идет о юношеской работе Галилея, которую он поместил в «Беседахв, как Приложение, после Дня четвертого. См. ниже, стр. 346 — 366 и примечания к ним. '» (К спгр. 280). Второй способ вычерчивания параболы дает основание сделать вывод, что Галилей считал формулу тяжелой цепи, подвешенной в двух точках, параболической, т. е. отождествлял цепную линию н параболу. Однако в одной из рукописей Галилея есть чертеж,на котором изображена подвешенная в двух точках цепь и тут же нанесены точки, лежащие на параболе, соприкасающейся с этой (реальной) цепной линией в нижней точке. Из чертежа видно хорошее совпаденке параболы с цепной линией в нижней части и отличие этих линий при удалении от нижней части. Безоговорочное отождествление цепной линии с параболой трудно согласовать с этим чертежом '.
В Дне четвертом Галилей, действительно, вполне четко указывает на различие этих ливий (см. стр. 343). История же вопроса о цепной ливии такова. Уже упоминавшийся нами Бекман скорее догадался, чем доказал, что по параболе располагается невесомая нить под равномерно распределенной по горизонтали вертикальной нагрузкой (схема висячего моста).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
