Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В последнее время то же было доказано Лукгю Валерио — новым Архимедом нашей эпохи; доказательство это можно найти в книге, которую он написал о центре тяжести твердых тел. С а л ь в и а т и. Книга эта действительно замечательна и не уступает сочинениям наиболее известных геометров как современных, так и прошлого времени. Когда наш Академик познакомился с нею, то он оставил свои собственные исследования, начатые по тому же предмету, так как нашел, что все вопросы уже разрешены и доказаны чрезвычайно удачно синьором Валерио.
С а г р е д о. Обо всем этом я был осведомлен самим Академиком. Я просил его хоть раз ознакомить меня с доказательствами, которые он нашел до знакомства с книгою синьора Валерио, но просьба моя осталась безуспешною. С а л ь в н а т и. У меня имеется копия его работы, и я могу показать ее вам, вы сумеете оценить различие методов, которыми пользуются эти два автора при исследовании и доказательстве одних и тех же положений, причем некоторые положения разъясняются по-разному, хотя и одинаково верно. С а г р е д о. Мне очень хотелось бы видеть эту работу, и я был бы очень вам благодарен, если бы вы принесли ее с собою, когда мы снова соберемся для беседы -'". Так как, однако, сопротивление твердой призмы, ограниченной сечением, проведенным по параболе, представляется явлением не только весьма интересным, но и полезным для многих механпче- 230 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ских приспособлений, то было бы интересно дать мастерам какие-либо простые и удобные правила для того, чтобы вычерчивать на грани призмы параболическую линию.
С а л ь в и а т н. Существует много способов начертить такую линию, но я познакомлю вас только с двумя наиболее простыми. Один из них действительно изумителен, так как, пользуясь им, в меньшее время, чем то, за которое другие вычерчивают на бумаге циркулем четыре или шесть окружностей равного диаметра, могу начертить тридцать-сорок параболических линий не менее тонких, точных и правильных, чем упомянутые окружности.
У меня имеются бронзовый шарик, весьма правильной формы, величиною не более ореха. Брошенный на металлическое зеркало, лежащее не совсем горизонтально, но несколько наклонно, так что при движении он может по нему катиться, производя при этом легкое давление, шарик этот оставляет след в виде тонкой и правильной параболической линии, более длинной или более короткой, смотря по степени наклона металлической плоскости. Здесь мы имеем ясный и наглядный опыт, показывающий, что движение брошенных тел происходит по параболическим линиям,— явление, впервые замеченное нашим другом, который дал ему и доказательство в своей книге о движении, с чем мы познакомимся в нашей следующей беседе.
Шарик, вычерчивающий указанным выше образом параболы, необходимо предварительно подержать в руке и тем согреть н увлая1нить его для того, чтобы он оставил затем на металлическом зеркале ясные следы. Другой способ начертить искомую параболу на призме состоит в следующем. Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздем подвесим тонную цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точна ее находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном длине призмы. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив ее след на стене пунктиром, мы получим полную параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведенным через середину линии, соединяющей оба гвоздя. Перевести полученную таким образом линию на боковые грани призмы не представит никаких затруднений; всякий посредственный мастер сумеет это сделать.
Можно также и прямо нанести на призме параболическую линию по точкам при помощи геометрических линий, обозначенных на циркуле нашего другаз'. Мы получили уже столько выводов, касающихся вопросов сопротивления твердых тел излому, причем в основание этой науки было положено сопротивление тел разрыву, что можем теперь последовательно подвигаться вперед, открывая все новые и новые соотношения, которых в природе существует бесконечное множество, и давая им доказательства. ДЕНЬ ВТОРОЙ 231 В заключение нашей сегодняшней беседы мне хотелось бы только прибавить несколько замечаний относительно сопротивления полых твердых тел, которыми как мастерство, так и природа пользуются на тысячи ладов.
В них без возрастания веса достигается возрастание прочности в весьма большой степени, как то легко можно видеть на костях птиц и на тростнике, которые при большой легкости отличаются и большой сопротив'ляемостью изгибу и излому. Если бы соломинка, несущая колос, превышающий по весу весь стебель, была бы при том же количестве вещества сплошной и массивной, то она была бы значительно менее прочной наизгиб и на излом. Было замечено на деле и подтверждено опытом, что палка, пустая внутри, а также деревянная и металлическая труба, крепче, чем массивное тело той же длины и равного веса, которое неизбежно является более тонким. Мастерство нашло применение этому наблюдению при изготовлении копий для достижения прочности и вместе с тем легкости. Докажем такое положение: сопротивления двух цилиндров одинакового объема и равной длины, один из которых полый, а другой массивный, относятся друг к другу, как их диаметры.
Пусть АЕ будет труба или полый цилиндр и ХХ массивный цилиндр, равные по весу и по длине. Утверждаю,что сопротивление излому трубы АЕ так относится к сопротивлению сплошного цилиндра 1Л', как диаметр АВ к диаметру 1Е. Это в достаточной степени очевидно. Так как труба и цилиндр 11т' равны по длине и по объему, то круг1Š— основание цилиндра — будет равен кольцу А — основанию трубы АЕ (называю к о л ь ц о м площадь, остающуюся за вычетом площади меньшего круга из площади большего концентричного круга); следовательно, их аб- л солютные сопротивления будут равны.
Прн поперечном же изгибе цилиндра 1ЛГ длина его 1Лгявляется одним плечом рычага, имеющим точку опоры в Е, а радиус или диаметр Ы вЂ” другим плечом рычага; в трубе к первое плечо рычага, или ВЕ, равно ЕЛ'; но другое плечо, при точке опоры в В, равно радиусу или диаметру АВ; сопротивление трубы будет, следовательно, превышать сопротивление цилиндра в той же мере, в какой диаметр АВ превышает диаметр 1Х, что и требовалось доказать. Итак, при полой трубе мы выигрываем в прочности по сравнению со сплошным цилиндром пропорционально отношению их диаметров, при условии, конечно, одинакового материала и равных веса и длины ".
Теперь уместно будет рассмотреть, что наблюдается в других случаях, когда трубы и цилиндры имеют одинаковую длину, но различаются по весу и размеру внутренней полости. БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Прежде всего, покажем, как, если дана полая труба, найти равный ей [по весу| сплошной цилиндр. Задача эта чрезвычайно проста. Пусть линии А — диаметр трубы, а СР— диаметр отверстия. Проведем в болыпом круге из точки А линию АЕ, равную диаметру СР, и соединим точки Е и В. Так как в полукруге АЕВ угол Е прямой, то круг, диаметром коего является линия АВ, будет равен двум кругам с диаметрами АЕ и ЕВ. Но АЕ есть диаметр отверстия трубы; следовательно, круг диаметра ЕВ будет равен кольцу АСВР; поэтому сплошной цилиндр, основанием которого будет круг диаметра ЕВ, будет по весу равняться трубе равной с ним длины. Доказав это, можно легко найти, какое отношение существует между сопротивлением излому трубы и цилиндра произвольной величины, но одинаковой длины.
Даны труба АВЕ и цилиндр ВЯМ одинаковой длины; требуется найти, каное отношение существует между сопротивлением того и другого. На основании предыдущего предложения находим размеры цилиндра ПХ, равного трубе по весу и длине. Пусть теперь четвертой пропорциональной к линиям П, и ВЯ (диаметрам оснований цилиндров 1Х и ВМ) будет линия У. Утверждаю, что сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра ВМ, как линия АВ к $'. Так как труба АЕ равна по весу и по длине цилиндру 1ДГ, то сопротивление трубы относится к сопротивлению этого цилиндра, как линия АВ к 11.; но сопротивление цилиндра 1М относится к сопротивлению цилиндра ВЛ1, как куб 11, к кубу ВЯ, т.
е. как линия 1Р к Г; следовательно, ех аесиаП, сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра ЛЛ1, как линия АВ к У, что и требовалось доказать ". Конем, второто Эмя 405 ДЕНЬ В Т О Р О Й~ 201 202 204 205 207 208 209 210 211 211 СОДЕРЖАНИЕ «БЕСЕД» ПО ПРЕДМЕТАМ Геометрическое место точек, расстояния которых от двух данных находятся в данном отношении Способ «деления» линии на бесконечно большое число частиц Разрежение и уплотнение . Утончение поверхностного слоя золота при протягиванни серебряной проволоки .
Отношение боковых поверхностей равновеликих цилиндров Отношение объемов цилиндров, боковые поверхности которых равны Практическое применение теоремы .. Площади иаопериметрических фигур .. Сгущение и раарежение Учение Аристотеля о падении тел в пустоте Опровержение этого учения ..
Влияние среды на падение тел Движение тел в воде Рыбы, плавающие в воде . О каплях воды Смешение вина и воды Падение тел в пустоте и среде, оказывающей сопротивление Определение абсолютного и удельного веса воздуха Переход от свободного падения тел к качанию маятника Влияние размера и шероховатости тел на падение их в сопротивляющейся среде . Отношение между объемами и поверхностями подобных тел Уменьшение ускорения тела при движении его в среде, оказывающей сопротивление О линии быстрейшего спуска Законы качания маятника . Переход к звуку.
Как можно вызвать колебания Резонанс струн . Закрепление звуковых волн Зависимость высоты звука от длины, толщины, веса и натяжения струны Акустические интервалы Консонансы н диссонансы и аналогия их с качанием маятников различной длины Рааличие между сопротивлением тел растяжению и сгибавию Закон рычага Подъем при помощи рычага тяжелого груза Общая теорема о сопротивлении тел сгибанию Сопротивление сгибавию балок, поставленных плашмя и на ребро Сопротивление балки сгибанию при увеличении ее длины Сопротивление балки сгибанию при увеличении ее толщины Длина тела не влияет на сопротивление его разрыву Сопротивление сгибанию тел различной длины и толщины Сопротивление сгибанию подобных тел 150 152 153 156 158 159 160 160 163 163 164 167 168 170 170 171 172 174 181 184 185 187 190 190 192 192 193 193 195 196 КОММЕНТАРИИ ДЕНЬ ТРЕТИЙ О местном деиженисс 234 235 Разрушение балок под действием собственного веса Воавращение к закону механического подобия.
Кости великана и морских животных . Предельная длина балок, ломающихся от собственного веса Сопротивление сгибанию балок с опорами по концам и в середине Сопротивление сгибанию балок при изменении расположения опоры Точка приложения силы, сгибасощей балку, лежащую па двух опорах Сопротивление сгибаииео балок, имеющих прямоугольное поперечное сечение и треугольный боковой профиль То же — параболический профиль .. Квадратура параболы Способы вычерчивания параболы ... Сопротивление сгибанию полых цилиндров . Сопротивление сгибанию полых цилиндров по сравнению со сплошными О равномерном движении Определение и аксиомы .. Теоремы Е с т е с т в е н н о - у с к о р е н н о е д в и ж е н не Определение .
Постепенное нарастание скорости падающего тела Ошибочное представление этого нарастания Падение тела по наклонным плоскостям, имеющим одну и ту же высоту Колебания маятника . Теорема 1. Сравнение времени прохождения телом одного и того же расстояния при равномерном и равяомерно-ускоренном движении. Теорема П. Пути, проходимые при падении, относятся, как квадраты времен падения Следствие 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
