Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Отсюда отношение сопротивлений равняется полуторной степени отношения объемов этих тел или, что то же самое, их весов '. С и м п л и ч и о. Прежде чем идти далее, прошу вас разъяснить некоторое мое недоумение. Неясно, почему мы до сих пор не принимаем в соображение сопротивления особого рода, уменьшающегося, по моему мнению, в телах по мере их удлинения и притом не только при поперечном усилии, но и при продольном. Ведь мы находим на деле, что длинный канат менее способен выдери<ать большой груз, нежели короткий; и я думаю, что деревянный или железный брус может выдержать бдльшую тяжесть, если он короток, нежели если он имеет значительную длину.

Говоря это, я подразумеваю продольное растяжение, принимая также во внимание и собственный вес, конечно, больший у длинной веревки и длинного бруса. С а л ь в и а т и. Думаю, синьор Симпличио, что в этом пункте вы, как и многие другие, заблуждаетесь, если только, конечно, я правильно понял ваше положение; вы как будто хотите сказать, что длинная веревка, например в сорок локтей, не может выдержать такого груза, как подобная же веревка в локоть или два длиною? С и м п л и ч и о. Это самое я и хотел сказать и думаю, что мое утверждение достаточно правдоподобно.

С а л ь в и а т и. Я же считаю его не только не правдоподобным, но и совершенно ложным и полагаю, что легко могу вывести вас из заблуждения. Для этого возьмем веревку АВ, привяжем ее наверху одним концом А, а к другому концу подвесим груз С, от тяжести которого веревка должна разорваться. Наметьте мне теперь, синьор Симпличио, какое-нибудь место, где должен произойти разрыв. С и м п л и ч и о.

Допустим, что он произойдет в месте Р. С а л ь в и а т и. Теперь я спрошу вас, какова причина разрыва веревки в .Р? С и м п л и ч и о. Причиной является то, что в данном месте веревка не в состоянии выдержать, скажем, ста фунтов — веса части веревки РВ вместе с привязанным камнем С. С а л ь в и а т и. Следовательно, всякий раз, как на веревку подействует в месте Р тот же вес в сто фунтов, она будет разорвана? С и м п л и ч и о. Полагаю, что так. ДЕНЬ ВТОРОЙ 21! С а л ь в и а т и. Но скажите мне теперь, если подвязать тот же груз не к концу веревки В, но ближе к точке Р, например в точке Е, плп прикрепить веревку наверху не за конец А, но знаком-либо другом месте над точкою Ю, например в Р, то будет лн веревка в точке 1) испытывать действие того же груза в 100 фунтов? 4 С и м п л и ч и о.

Несомненно, если только к весу камня С приложить и вес части веревки ЬВ. С а л ь в и а т и. Таким образом, если веревка в месте 1? о будет испытывать действие груза в сто фунтов, то она, согласно вашему утверждению, разорвется, а между тем часть веревки РЕ меньше всей веревки АВ. Каким же образом вы утверждаете, что длинная веревка менее прочна, нежели короткая? Признайте теперь, что я освободил вас от заблуждения, в котором пребывают очень многие и притом весьма смышленые люди ".

Последуем далее. После того как я показал, что момент, преодолевающий сопротивление излому призм и цилиндров, изменяется пропорционально квадратам их длины (при условии сохранения постоянной одной и той же толщины) и что у тех же тел, равных по длине, но имеющих разную толщину, сопротивление изменяется пропорционально кубам сторон или диаметров их оснований, перейдем к рассмотрению того, что происходит с телами при одновременном изменении длины и толщины.

Относительно такого случая говорю: призмы и цилиндры различной длины и толщины оказывают сопротивление излому, пропорциональное кубам з диаметров их оснований в одновременно обратно пропорциональное их длинам. с Пусть даны два таких цилиндра АВС о и .0ЕР. Утверждаю, что отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра .0Р равно составному отно- Е Р шению куба диаметра АВ к кубу диаметра 1!Е и длины ЕР к длине ВС. Отложим на более длинном цилиндре часть ЕС, равную ВС; пусть 11 будет третьей пропорциональной линий АВ и 1)Е, а 1 — четвертой пропорциональной, и пусть отношение ЕР к ВС будет равно отношению 1 к Ю '. Отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиццра Х)6 равно отношению куба АВ к кубу ВЕ, т.

е. линии АВ к 1, а отношение сопротивления цилиндра 1)6 к сопротивлению цилиндра ЮР равно отношению длины РЕ к длине ЕС, т. е. линии 1 к Ю. На основании этих пропорций заключаем, что сопротивление цилиндра АС отно- 14" БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА сится к сопротивлению цилиндра РЕ, как линии АВ к Я; но отношение линии ЛВ к Ю равно составному отношению АВ к 1 и 1 к Я; следовательно, отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра Р1г равно составному отношению АВ к 1, т. е. отношению куба АВ к кубу РЕ и отношению линии 1 к линии Ю или длины ЕЕ к длине ВС, что и требовалось доказать '., После приведенного доказательства я хочу рассмотреть еще один случай, а именно тот, когда цилиндры или приамы подобны.

Относительно таких тел я докажу, что у подобных цилиндров или призм отношение составных моментов, обусловливаемых весом и длиною, равняется полуторной степени отношения сопротивления их оснований. Чтобы доказать это, начертим два подобных цилиндра АВ и СР. Утверждаю, что отношение момента цилиндра АВ, преодолевающего сопротивление его основания В, к моменту цилиндра СР, преодолевающему сопротивление основания последнего Р, равняется полуторной степени отношения сопротивления основания В к сопротивлению основания Р. В самом деле, моменты твердых тел АВ и СР и сопротивлений их осно- наний В иР составляются из веса этих тел и сопротивлений, действующих на плечи рычагов; но плечи рычагов цилиндра АВ относятся между собою, как плечи рычагов цилиндра СР (так как вследствие подобия цилиндров длина АВ относится к радиусу основания В так же, как длина СР к радиусу основания Р); поэтому весь момент цилиндра АВ относится ко всему моменту цилиндра СР только как вес цилиндра АВ к весу цилиндра СР, т.

е. Как объем цилиндра АВ к объему цилиндра СР. Но последние относятся, как кубы диаметров основанийцилиндров ВиР, в то время как сопротивления оснований пропорциональны площадям последних, т. е. квадратам диаметров оснований, откуда следует, что отношение моментов цилиндров равно полуторной степени отношения сопротивления нх оснований.

С и м п л и ч н о. Такое положение представляется для меня не только совершенно новым, но и неожиданным, а также весьма далеким от того, что я думал: основываясь на полном подобии фигур, я был уверен, что отношение их моментов к сопротивлениям остается неизменным. С а г р е д о.

Доказательство касалось того положения, из которого мы исходили в наших рассуждениях и которое сначала представлялось мне темным. С а л ь в и а т и. То, что сказал синьор Симпличио, было некоторое время и моим мнением; я также считал сопротивления подобных фигур пропорциональными, пока некоторые наблюдения не показали мне, ДЕНЬ ВТОРОЙ 213 что прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел, и что большие тела обладают меньшею способностью противодействия внешним силам; например, при падении взрослые люди претерпевают по сравнению с малыми детьми ббльшие повреждения; при падении с одной и той же большой высоты тяжелая балка или колонна, как мы уже говорили раньше, разбиваются на куски, тогда как небольшой брусок или маленький мраморный цилиндр остаются целыми.

Подобные наблюдения побудили меня заняться этим вопросом и привели к заключению, с которым я вас познакомил. Заключение поистине удивительное: оказывается, что из бесчисленного множества подобных тел нельзя найти двух таких, у которых отношение моментов сопротивлениям было бы одним и тем же. С и м п л и ч и о. Это заставляет меня припомнить одно место из Аристотеля, который в своих «Проблемах механики» задается вопросом, почему деревянные жерди тем слабее и легче прогибаются, чем они длиннее, хотя бы более короткие были тоньше, а длинные — толще. Если я только верно помню, он сводит причину к действию простого рычага ". С и л ь в и а т и. Это совершенно верно, но так как данное там решение не устранило всех сомнений, то монсиньор ди Гуевара, обогативший и осветивший означенное сочинение своими высокоучеными комментариями, привел другие остроумные соображения для устранения всех затруднений.

Однако относительно одного пункта и он остался в заблуждении, полагая, что при увеличении в одинаковой пропорции длины и толщины твердых тел прочность их и сопротивление излому и разрушению остаются без изменения. После долгих размышлений над этим вопросом я пришел к выводам, с которыми вас сейчас и познакомлю. Прежде всего, я докажу, что среди подобных и весомых призм и цилиндров имеется только одно тело, которое находится (под действием собственного веса) на границе между тем, чтобы сломаться или остаться целым, так что всякое тело большего размера не способно выдержать собственного веса и ломается, а всякое меньшее тело еще оказывает сопротивление силе, стремящейся его сломать.

Пусть АВ тяжелая призма, доведенная до предельной длины, так что при увеличении длины ее на самую малость она сломается; утверн;даю,что она будет единственной, находящейся в таком избранном нами состоянии среди всех ей подобных (число коих бесконечно), и что всякая ббльшая призма под действием собственного веса сломается, всякая же меньшая будет в состоянии помимо собственного веса выдержать и еще некоторую тяжесть.

Характеристики

Список файлов учебной работы