Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Представьте себе, что тело, имеющее центр тяжести в А, лежит на горизонтальной плоскости концом В, другой же конец его поддерживается посредством рычага С6, имеющего точку опоры в Х, некоторой силой, приложенной в точке 6. Из центра А и точки С опустим на плоскость горизонта перпендикуляры АО и СР. Утверждаю, что отношение момента всего веса тела к моменту силы, приложенной в 6, равно составному отношению расстояния 6Ж к расстоянию ХС и расстояния РВ к расстоянию ВО. Пусть отношение линии РВ к ВО равно отношению ЖС к некоторой линии Х; так как весь вес А поддерживается двумя силами, приложенными в точках В и С, то силы в точках В и С относятся одна к другой так, как расстояние РО к ОВ. Соединяя силы, действующие в точках В и С в одну, т. е.
получая момент всего веса А, находим, что последний относится к силе, приложенной в С, как линия РВ к линии ВО, т. е. как ЖС к Х; но момент силы, приложенной в С, относится к моменту силы, приложенной з в 6, как расстояние 6Л к расстоянию г"- )уС; отсюда следует, обратно, что з- о ' "' г весь вес А относится к моменту силы, действующей в 6, как 6)У к Х. Но отношение 6Х и Х составлено из отношений ба к ЛС и ХС к Х или РВ к ВО; следовательно, отношение общего веса А к силе, его поддерживающей в точке 6, равно составному отношению 6Ж к ЖС и РВ к ВО, что нам и требовалось доказать 4. Возвращаюсь теперь к нашей первоначальной задаче. После только что доказанного нетрудно будет понять причину того, что твердые цилиндры или призмы из стекла, стали, дерева или иного ломаного материала, будучи подвешены вертикально, выдерживают весьма большой груз, в то время как прн горизонтальном положении (как я уже упоминал выше) они могут быть сломаны малым грузом и тем меньшим, чем более длина цилиндра или призмы превосходит их толщину.
Представим себе призму АВСЮ, вделанную в стену своей частью АВ, на другой конец которой действует сила груза Е (предполагаю, что стена возведена отвесно БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 206 и что призма вделана в стену под прямым углом). Ясно, что если призма должна сломаться, то это произойдет в В, где граница стены служит точкою опоры, а ВС представляет одну часть рычага, на которую действует сила; толщина тела ВА есть другая часть рычага, на которую действует сопротивление, обусловливаемое сцеплением частиц тела ВВ с теми частицами его, которые находятся в стене. На основании доказанного ранее момент силы, действующей в С, и момент сопротивления, обусловливаемый толщиною призмы, т.
е. сцеплением основания призмы ВА со смежною с ним частью, имеют то же отношение, что и длина СВ к половине ВА; поэтому абсолютное сопротивление призмы ВВ разрыву (под каковым мы подразумеваем сопротивление действию силы в продольном направлении, ибо тогда каково движение движущего, таково дэнн<ение движимого) так относится к сопротивлению разрыву посредством рычага- й ъ' ВС, как длина ВС к половине толщины призмы АВ или к радиусу основания, если взят цилиндр '.
Таково наше первое положение. Заметьте себе, что сказанное правильно лишь при условии, что мы не принимаем во внимание собственного веса тела ВВ, считая последнее невесомым. Если мы пожелаем принять в расчет и его вес, действующий одновременно с грузом В, то мы должны будем прибавить к весу груза В половину веса тела ВВ; таким образом, если, например, тело ВВ весит два фунта, а груз В день ВТОРОИ десять фунтов, то необходимо будет принять, что в Е действует сила, равная одиннадцати фунтам. С и м п л и ч и о.
А почему же не двенадцати фунтам? С а л ь в и а т и. Груз Е, любезный синьор Симпличио, висящий на конце С, действует в отношении рычага ВС всем своим моментом, равным десяти фунтам; если бы в той же точке действовал и вес тела ВВ, то мы имели бы момент, равный еще двум фунтам; но, как вы видите, частицы тела распределены равномерно на всем протяжении ВС, причем, те из них, которые расположены ближе к концу В, действуют с меньшей силою, чем более отдаленные; уравнивая все эти силы, найдем, что они могут быть заменены одной силой, равной общему весу призмы, приложенному в центре ее тяжести, расположенном в середине рычага ВС; но груз, действующий на конец С, имеет момент вдвое больший, чем тот груз, который действует, будучи подвешен посредине; следовательно, только половина веса призмы должна быть прибавлена к весу Е, если мы рассматриваем моменты обеих сил, относя их действие к точке С.
С и м и л и ч и о. Теперь понимаю. Кроме того, если я не ошибаюсь, действие обоих грузов ВВ и Е, приложенных, как указано, будет одинаково с моментом всего веса ВВ и двойного груза Е, если бы они были приложены в середине рычага ВС. С а л ь в и а т и. Совершенно верно, и это необходимо хорошенько запомнить. Теперь мы можем немедленно определить, в какой степени стержень или еще лучше призма, более широкая нежели толстая, может оказать противодействие излому в зависимости от того, в каком направлении мы .—:-.
у будем на нее действовать, по ши- Ь=" г ' рине или толщине. Для примера возьмем линейку аЫ, ширина 1 которой будет ас, а толщина, значительно меньшая,— сЬ. Спрашивается, почему, если т, положить линейку на ребро, как х изображено на фигуре первой, то она окалгет сопротивление значительному грузу Т, положенная же плашмя, как изображено на фигуре второй, не сможет выдержать и веса Х, значительно меньшего, чем Т? Это станет понятным, если мы обратим внимание, что опора в одном случае располагается по линии Ьс, а в другом — по линии са, расстояние же силы в том и другом случае одинаково и равно длине Ы.
В первом случае расстояние сопротивления от опоры, равное половине линии са, значительно больше, чем во втором, где оно равно половине Ьс; поэтому груз Т должен во столько БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 208 сходить груз Х во сколько раз половина ширины са превосходит половину толщ ину толщины сб.
последние т. е. половина са и соответственно ! половина со, представляют собою плечи рычагов одного и того же сопротивления, о у ия, обусловливаемого волокнами всего основания аЬ. Отсюда заключаем, что одн е,, что одна и та же линейка или призма, имеющая ббльшую ширину, нежели толщину, оказывает ббльшее сопротивление излому, будучи положена на е ро, ена на ребро, нежели плашмя, в соответствии с отношением ее ширины к толщине.
'Теперь приступим к рассмотрению, в какой мере увеличивается момент собственного веса по сравнению с собственным сопротивлением излому призмы или цилиндра, когда последние, будучи расположены параллельно горизонту, увеличиваются в длину; при этом мы найдем, что момент этот возрастает пропорционально квадрату длины. Для доказательства этого представим себе призму или цилиндр А.0 прочно вделанным в стену концом А параллельно горизонту, а затем предположим, что он удлинился до Е, так что к нему прибавилась часть ВЕ.
Ясно, что самое удлинение рычага АВ до С, взятое абсолютно, увеличивает момент силы, действующей на сопротивление излому в точке А, в отношении СА к ВА; но прибавление веса тела ВЕ к весу тела АВ увеличивает, кроме того, момент действия веса в том же отношении, в каком призма АЕ находится к ДЕНЬ ВТОРОЙ 209 призме А0, каковое отношение одинаково с отношением длины АС к длине АВ. Теперь ясно, что сложный момент, получающийся от совокупности обоих приращений — длины и тяжести, будет пропорционален квадрату той или другой.
Отсюда заключаем, что моменты сил призм н цилиндров одинаковой толщины, но разной длины, относятся друг к другу, как квадраты длины. Покажем теперь, во-вторых, в какой пропорции воарастает сопротивление излому призм или цилиндров одинаковой длины при возрастании их толщины. Утверждаю: в призмах или цилиндрах одинаковой длины, но разной толщины, сопротивление излому возрастает как куб отношения толщин или диаметров их оснований. Пусть имеются два цилиндра А и В, длины которых .06 и РН равны, основания же различны и равны кругам с диаметрами С0 и ЕР; утверждаю, что отношение сопротивления излому цилиндра В к такому же сопротивлению цилиндра А будет равно кубу отношения диаметра РЕк диаметру 0С. Рассматривая простое и абсолютное сопротивление основа- нийЕР и СЮ разрыву под действием растягивающей силы, найдем, без сомнения,что сопротивление цилиндра В во столько раз превосходит сопротивление цилиндра А, во сколько раз круг ЕР больше круга С0, потому что во столько же раз многочисленнее и волокна, нити или другие злементы, связывающие части твердого тела.
Коли мы примем теперь во внимание, что силы, действующие поперечно, приложены к двум рычагам, плечи которых или расстояния от действующих сил равны линиям.06и РН, что точки опоры их находятся в 0 и Р, другие же плечи их или расстояния, на которых действуют сопротивления, суть радиусы кругов 0С и ЕР, поскольку сопротивление волокон, распространенных по всей площади кругов, может быть отнесено к центрам последних, если, говорю я, мы примем во внимание действие таких рычагов, то найдем, что в центре основания ЕР сопротивление силе, приложенной в Н, будет во столько раз больше сопротивления основания С0 силе, приложенной в 6 (а силы, приложенные в точках 0 и Н, действуют и на равные плечи 06 и РН), во сколько раз РЕ больше 0С.
Таким образом, отношение сопротивления излому цилиндра В к сопротивлению цилиндра А равно составному отношению площадей кругов ЕР и 0С и их радиусов или, скажем, диаметров; но отношение кругов равно двойному отношению их диаметров, откуда следует, что отношение сопротивлений, составляющееся из зтих отношений, является тройным отношением, что нам и требовалось доказать.
Но так как отношение кубов равно тройному отношению их сторон, то мы Г 4 Галилее Галилей. т. Й БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТБА можем заключить, что сопротивление цилиндров одинаковой длины пропорционально кубам их диаметров. Из только что доказанного можно далее вывести,что отношение сопротивлений призм и цилиндров одинаковой длины равняется полуторной степени отношения их объемов. Это следует из того, что призмы и цилиндры одинаковой высоты относятся между собою, как их основания, т. е. как квадраты сторон или диаметров основания; отношение же сопротивлений (как только что было показано) равно отношению кубов тех же сторон или диаметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
