Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть СЕ будет призма, подобная АВ, но ббльшая. Утверждаю, что она не сможет держаться, но сломается от действия собственного веса. Отложим на большой приаме часть СР, равную по длине АВ. Сопротивление СР относится к сопротивлению АВ, как куб толщины СР к кубу 214 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА толщины АВ или как призма СЕ к призме АВ (вследствие подобия этих призм); поэтому вес призмы СЕ есть тот предельный вес, который может выдержать призма, равная по длине СЮ; но так как длина призмы СЕ больше, то призма СЕ сломается.
Возьмем теперь меньшую приаму Р6. Можно доказать подобным же образом (положив РН равным АВ), что сопро- тивление Р6 относилось бы к сопротивлег~ ~ .;, нию АВ, как призма Р6 к призме АВ, если бы длина АВ или РН равняласьР6; но на ~.~ ~л самом деле она больше; следовательно, с - ---'.-4»- ";(Ь момент призмы Р6, оканчивающейся в Е 6, будет недостаточным для того, чтобы сломать эту приаму Р6. С а г р е д о. Кратное и блестящее доказательство, обнаруживающее правильность и необходимость такого положения, которое на первый взгляд кажется довольно неправдоподобным. Необходимо, следовательно, значительно изменить отношение между длиною и толщиною большей приамы, сократив ее длину или увеличив ее толщину, чтобы привести ее в такой впд, при котором она находилась бы на границе между тем, чтобы сломаться и остаться целой. Думается, что рассмотрение такого случая могло бы показать нам много интересного. С а л ь в и а т и.
А вместе с тем очень полезного, хотя и постигаемого не без труда. Я потратил немало времени на решение этого вопроса и хочу теперь поделиться с нами своими соображениями. Даны цилиндры или призма наибольшей длины, при которой они только могут держаться, не ломаясь от собственного веса, и дана некоторая большая длина; требуется найти толщину другого цилиндра или призмы, которые при данной большей длине являлись бы единственными и наибольшими, могущими выдержать собственный вес.
Пусть ВС цилиндр наибольшей длины, выдерживающий свой собственный вес, и пусть дана длина ОЕ, ббльшая, нежели длина цилиндра АС; требуется найти толщину цилиндра, который при длине ВЕ являлся бы наибольшим, выдерживающим свой собственный вес. Положим, что третьей пропорциональной к величинам РЕ и АС будет 1, и что отношение ВЕ к 1 таково же, как отношение ВР, т. е. искомого диаметра цилиндра РЕ, к диаметру ВА. Утверждаю, что при этих условиях РЕ и будет искомым цилиндром, единственным из всех ему подобных, наибольшей длины, выдерживающим собственный вес. Пусть третьей пропорциональной к линиям.РЕ и 1 будет М, а четвертой О, и пусть линия Р6, отложенная на большем цилиндре, будет равна АС.
Так как диаметр РВ относится к диаметру АВ, как линни ВЕ к 1, и так как четвертая пропорциональная к линиям ЮЕ и 1 есть О, то куб диаметра РВ будет относиться к кубу диаметра ВА, как ВЕ к О. Но сопротивления цилиндров Р6 и ДЕНЬ ВТОРОЙ 215 ВС относятся, как кубы их диаметров РР и ВА. Отсюда вытекает, что сопротивление цилиндра РС относится к сопротивлению цилиндра ВС, как линии ВЕ к О. Но так как момент цилиндра ВС равен его сопротив- лению, то мы достигнем нашей цели, если докажем, что момент цилиндра РЕ отно- А с сится к моменту цилиндра ВС, как со- ззяшйшйайй противление ВР к сопротивлению ВА, или как куб РВ к кубу ВА, или как линия Х>Е к О, т. е.
докажем, что момент цилиндра РЕ равен сопротивлению РО. Отношение моментов цилиндров РЕ и ВС равно отношению квадрата .0Е кквадрату АС или отношению линии ВЕ к 1; но момент цилиндра й6 относится к мо- менту цилиндра ВС, как квадрат ЮР к квадрату ВА, или как квадрат ВЕ к квадрату 1, или как квадрат 1 к квадрату М, или как 1 к О. Из этих отношений вытекает, что момент цилиндра РЕ относится к моменту цилинд- ра ВС, как линия РЕ к О, или как куб ВР к кубу ВА, или как сопротив- ление основания ВР к сопротивлению основания ВА, что нам и требова- лось доказать ". С а г р е д о. Это очень длинное доказательство, синьор Оальвиати, и слишком трудное, чтобы удержать его в памяти, прослушав один только раз; поэтому я очень просил бы вас повторить его.
С а л ь в и а т и. Готов исполнить все, что вы пожелаете; однако, думается, лучше привести иное, более краткое докааательство, для ко- торого понадобятся только другие фигуры. С а г р е д о. Тем лучше; но я все же буду вам очень признателен, если вы запишите мне и первое доказательство, чтобы я мог лучше вник- нуть в него на досуге.
1' а л ь в и а т и. Охотно сделаю. Теперь возьмем цилиндр А, диаметр основания ко- О А торого равен РС, а пусть этот цилиндр А бу- Д~~~~ ~~~ дет наибольшим, способным выдержать собс ственный вес. Будем теперь искать другог. цилиндр, большей длины, который также м был бы единственным наибольшим, выдерх живающпм свой вес.
Представим себе цилиндр, подобный первому А, равный по длине данной линии, скажем, Е; диаметром основания его пусть будет линия КЬ. Пусть, далее, третьей пропорциональ- ной к линиям ЮС и КЬ будет линия МХ; приняв эту линию за диаметр основания нового цилиндра Х, равного по длине данной линии Е, можно утверждать, что этот новый цилиндр Х и есть именно тот, который мы г м— О— 216 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ищем. Действительно, сопротивление РС относится к сопротивлению КЬ, как квадрат РС к квадрату К1, или как квадрат К1 к квадрату МЛ', илн как цилиндр Е к цилиндру Х, или как момент Е к моменту Х, далее, сопротивление КЬ относится к сопротивлению М11, как куб К1 к кубу МХ, или как куб РС к кубу КЬ, т.
е. Иак цилиндр А к цилиндру Е, или как момент А к моменту Е. Отсюда заключаем обратно, что как сопротивление РС относится к сопротивлению МЖ, так и момент А относится к моменту 4; следовательно, призма Х находится по отношению к моменту и сопротивлению в таких же точно условиях, как и призма А ". Рассмотрим теперь более общую проблему; предложение будет таково: дан цилиндр АС с каким угодно отношением момента к сопротивлению, и дана некоторая длина РЕ; требуется найти толщину нового цилиндра, равного по длине РЕ, момент и сопротивление коего сохраняли бы между собою то же отношение, что и у первого цилиндра.
Воспользовавшись приведенными выше фигурами и идя подобным же путем, скажем: так как момент цилиндра ЕЕ относится к моменту части РС второго цилиндра, как квадрат ЕР к квадрату Е6, нли как линия .РЕ к 1, н так как момент цилиндра Рб относится к моменту цилиндра АС, как квадрат ЕР к квадрату АВ, или как квадрат РЕ к квадрату 1, или как квадрат 1 к квадрату М, нли как линия 1 к линии О, то отношение момента цилиндра ЕЕ к моменту цилиндра АС будет ех аецпаИ " равно отношению линии РЕ к О, или куба РЕ к кубу 1, или куба РР к кубу АВ, или же отношению сопротивления основания ЕР к сопротивлению основания АВ, что нам и требовалось получить 44.
Из того, что было сейчас доказано, мы ясно видим невозможность не только для искусства, но н для самой природы беспредельно увеличивать размеры своих творений. Так, невозможна постройка судов, дворцов и храмов огромнейшей величины, коих весла, мачты, балки, железные скрепы, словом, все части держались бы прочно. С другой стороны, и природа не может произвести деревьев несоразмерной величины, так как ветви нх, отягощенные собственным чрезвычайным весом, в конце концов, сломились бы.равным образом невозможно представить себе костяка человека, лошади или другого живого существа слишком большой величины, который бы держался и соответствовал своему назначению; достигнуть чрезвычайной величины животные могли бы только в том случае, если бы вещество их костей было значительно прочнее и крепче, нежели обычное, или же если бы кости нх изменились, соразмерно увеличившись в толщину, отчего животные по строению н виду производили бы впечатление чрезвычайной толщины.
Это, возможно, уже было подмеченоо тем проницательнейшим поэтом, который, описывая великана, говорят: Нельзя было скааать, насколь он был высок, Так все в нем было непомерно толсто'4. ЛЕНЬ ВТОРОЙ 277 В качестве краткого примера только что сказанного я покажу вам сейчас рисунок кости, удлиненной только в три раза, но увеличенной в толщину в такой мере, чтобы она могла служить для большого животного с той же надежностью, как меньшая кость служит для животного малого размера. Вы видите, какой несообразно толстой выглядит такая увеличенная кость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
