Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки (1124004), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На первый взгляд кажется, что ответить надо утвердительно, так как оба рычага как бы сохраняют тот же момент, ибо на сколько укорачивается один рычаг, на столько же удлиняется другой. С а л ь в и а т и. Вы увидите сейчас, как легко впасть в заблуждение, и сколько нужно осмотрительности и осторожности, чтобы избегнуть ошибок. То, что вы говорите, и что действительно на первый взгляд кажется столь правдоподобным, при пристальном рассмотрении оказывается совершенно ложным.
Помещается ли колено, представляющее точку опоры рычага, в середине или другом месте, имеет столь большое значе- ДЕНЬ ВТОРОЙ 221 ние, что силы, производящей излом в первом случае, будет недостаточно, чтобы сломать палку при другом положении колена, иной раз даже если ее увеличить в десять, сто и тысячу раз. Рассмотрим сперва этот вопрос в общем виде, а затем перейдем к определению того, как изменяется сила, необходимая для излома, в зависимости от места ее положения.
Начертим, во-первых, деревянный брус АВ, который мы хотели бы переломить пополам над точкою опоры С, и, во-вторых, точно такой же брус, обозначенный буквами ЮЕ, который требуется переломить над то1- кою опоры Е, удаленной от середины. Прежде всего, ясно, что вследствие равенства расстояний АС и СВ сила распределяется между концами В и А также поровну.
Далее ясно, что так как расстояние ВЕ меньше расстояния АС, то момент силы, приложенной в В, будет меныпе момента той же силы, приложенной в А и действующей на плечо СА, и тем меньше, чем меньше ВЕ по сравнению с АС; вследствие этого необходимо увеличить силу для того, чтобы преодолеть сопротивление вЕ. Но расстояние ВЕ может быть бесконечно уменьшено по сравнению с расстоянием АС; отсюда неизбежно вытекает необходимость бесконечного увеличения силы, прилагаемой в В для преодоления сопротивления в Е. Обратно, по мере того как растет расстояние ЕЕ по сравнению с расстоянием СВ, сила, которую нужно приложить в Е для преодоления сопротивления в Е, уменьшается.
Однако по мерв приближе- О Р з ния опоры Е к концу .0 расстояние ЕЕ не может возрастать по сравнению с СВдо бесконечности; оно может достигнуть лишь удвоенной величины последнего. Поэтому сила, действующая в Е для преодоления сопротивления в Р, всегда будет составлять более половины силы, действующей в В. Теперь легко понять необходимость все большего и большего увеличения совокупности моментов сил, действующих вместе в точках Е и.0 для того, чтобы уравновесить или преодолеть сопротивление в Е ио мере того,как точка опоры Е приближается к концу В1з.
С а г р е д о. Что мы с вами скажем на это, синьор Симпличио? Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой? Я прекрасно понимал закон рычага и то, что в меру увеличения или уменьшения его длины возрастает и убывает момент силы или сопротивления; при всем том в решении данной проблемы я допустил ошибку и притом не малую, а бесконечно большую. 222 БЕСЕДЫ Н МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА С и м п л и ч и о. Действительно, я начинаю сознавать, что логика, представляющая прекрасное средство для правильного построения наших рассуждений, не может направлять мысль с изобретательностью и остротой геометрии. С а г р е д о.
Мне кажется, что логика учит нас познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых уже рассуждений и доказательств; но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства — этому я не верю ". Но, пожалуй, теперь лучше всего будет, если синьор Сальвиати покажет нам, в какой мере увеличиваются моменты сил, необходимых для того, чтобы преодолеть сопротивление одного и того же тела, в зависимости от места разлома.
С а л ь в и а ти. Искомые отношения могут быть найдены следующим образом: если по длине какого-либо цилиндра наметить две точки, в которых мы желаем сломать этот цилиндр, то сопротивления в этих точках находятся между собой в отношении, обратном отношению и прямоугольников, построенных на расстояниях этих точек от концов цилиндра. Пусть А и В наименьшие силы, необходимые для того, чтобы сломать цилиндр в точке С, а Е и Р также наименьшие силы, ломающие в точке Р.
Утверждаю, что силы А и В относятся к силам Е и Р, как прямоугольник АРВ к прямоугольнику АСВ. Так как отношение сил А и В к силам Е и Р равно составному отношению сил А и В к силе В, силы  — к силе Р и силы Р— к Р и Е, и так как отношение сил А и В к В равно отношению длины ВА к АС, отношение силы В к Р равно отношению линий РВ и ВС, а отношение силы Р к Р п Е равно отношению линий ЮА и АВ,то, следовательно, отношение сил А и ВкР иЕявляется составным из трех, именно: отношеннйпрямых ВА к АС,РВ кВС и ВА к АВ. Но из двух отношений ЮА к АВ и АВ к АС слагается отношение.0А к АС; следовательно, отношение сил А и В к Е и Р равно составному отношению ВА к АС и ВВ к ВС.
Но отношение Е прямоугольников АВВ и АСВ также равно слож- ному отношению ВА к АС и .0В к ВС; следовательно, силы А и В относятся к силам Е и Р, как прямоугольник АВВ к прямоугольнику АСВ; иными словами, сопротивление излому в точке С относится к такому же сопротивлению в точке Р, как прямоугольник АВВ к прямоугольнику АСВ, что нам и нужно было доказать зз. На основании этой теоремы мы можем теперь разрешить одну довольно интересную задачу: дан наибольший груз, который могут выдержать призма или цилиндр в середине, т.
е. там, где сопротивление излому всего меньше, и дан другой, больший груз; требуется найти такую точку, для которой последний груз был бы как раз наибольшим. ДЕНЬ ВТОРОЙ 223 Положим, что мы имеем груз, превышающий тот наибольший груз, который может быть выдержан при помещении его в середине цилиндра АВ, и пусть этот первый грув так относится к последнему, как линия Е к линии Е. Требуется найти такую точку цилиндра, для которой данный груз является наибольшим. Пусть средней пропорциональной между линиями Е и Е будет С и пусть отношение Е к С будет равно отношению АР к Н; очевидно, что Н будет меньше АР. Построим на линии АР, как на диаметре, полукруг АНР, отлон<им хорду АН, равную О, проведем прямую НР и отложим надиаметре равную этой линии часть РВ.
Ута з верждаю, что В и есть та искомая точка, для которой данный груз, превышающий наиболыпий грув, могущий быть удержанным при помещении его в Р, т. е. средине цилиндра, является максимальным. Построим на длине цилиндра ВА как на диаметре полукруг АХВ, восставим из точки В перпендикуляр ВМ и проведем прямую М). Так как сумма квадратов ЛВ и ВР равна квадрату ХР, т. е. квадрату АР или сумме квадратов АН н ВР, а квадрат НР равен квадрату РВ, то, следовательно, квадрат Л'В, равный прямоугольнику АВВ, будет равняться квадрату АН, т. е.
квадрату Н. Но квадрат Е относится к квадрату АР как Е к Е илп как наибольший груз для средней точки Р к данному нам большему грузу; следовательно, этот больший груз является для точки В максимальным, какой она только может выдержать, а это мы и хотели найти з'. С а г р е д о. Прекрасно понимаю и замечу следующее: так как призма АВ становится все прочнее и выносливее по отношению к нагрузке по мере удаления последней от середины, то у больших и тяжелых балок можно снять немалую часть материала ближе к концам, облегчив значительно их вес, что при перекрытии больших помещений могло бы иметь болыпое значение и принести немалую пользу.
Интересно было бы найти, какую форму должно иметь такое твердое тело, которое во всех своих частях обладало бы одинаковым сопротивлением так, чтобы переломить его грузом, приложенным в середине, было бы не легче, чем приложенным в любом другом месте. С а л ь в и а т и. Я только что собирался сообщить вам по этому вопросу нечто достаточно существенное и довольно изящное. Для большей наглядности я нарисую вам чертеж.
Пусть РН будет призма, у которой сопротивление конца АР излому под действием силы, приложенной к концу В, будет во столько раз меньше сопротивления в сечении 224 БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА С1, во сколько раз длина СВ меньше длины ВА, как это уже было доказано. Представим себе теперь эту призму рассеченной диагональной плоскостью вдоль линии РВ так, что боковые грани новой призмы будут представлять собою треугольники, одним из коих, обращенным к нам, является треугольник РАВ. Мы получим теперь тело, которое в противоположность первой призме легче сломается в месте С, нежели в месте А под действием силы, приложенной на конце В, н притом во столько раз легче, во сколько длина СВ меныпе длины ВА.
Это очень легко доказать. так как поперечное сечение СЛГО параллельно АРО, то линия АР треугольника РАВ имеет такое же отношение к линии СЛ', как линия АВ к ВС; представим себе теперь, что А и С являются точками опоры двух рычагов, плечи которых ВА, С В А Р и ВС, СЛГ пропорциональны; благодаря этому момент силы, приложенной в В к плечуВА, сравниваемый с сопротивлением АР, будет равен моменту той же силы, приложенной в В к плечу ВС, сравниваемому с сопротивлением СЛГ; однако сопротивление тела излому в СЛ' над точкою опоры С под действием силы, приложенной в В, будет меньше сопротивления над точкою опоры А во столько раз, во сколько прямоугольник СО меньше прямоугольника АР, т.
е. во сколько раз линия СХ менее линии АР или СВ менее ВА. Следовательно, сопротивление части ОСВ излому в С во столько раз меньше сопротивления всего тела .ОАВ излому в А, во сколько раз длина СВ меньше длины АВ. Итак, мы имеем целую балку или призму ЙВ; если мы разрежем ее по диагонали, отнимем верхнюю ее половину и оставим лишь нижнюю часть, то будем иметь треугольную призму РВА; эти два тела имеют противоположные свойства: у первого сопротивление растет по мере приближения к свободному концу, тогда как у второго при приближении к тому же концу прочность теряется.
Когда это установлено, становится ясным, что можно провести сечение, при котором по удалении излишков останется тело такой формы, что во всех своих частях оно будет одинаково прочным. С и м п л и ч и о. Это совершенно ясно, так как при переходе от большего к меньшему мы должны встретить и равное. С а г р е д о. Да, но весь вопрос заключается в том, как надо направлять пилу, чтобы получить требуемое сечение. С и м п л и ч и о.
Мне представляется, что сделать это довольно легко. Если, отнимая половину призмы при диагональном сечении, мы получаем остающееся тело, обладающее свойствами, противоположными свойствам целой призмы, так что во всех тех точках, в которых прочность последней увеличивается, прочность первой уменьшается, то я полагаю, ДЕНЬ ВТОРОЙ 225 что, следуя средним путем, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
