Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Интеграл по сфере Я" с точностью до О(г') равен величине 2кр18 ~ (2 з(па у + з(пэ ф) д (з1п т) = 2кри1 (з( пз р1', = 4ярр, Поэтому, переходя к пределу при г — ~. со, мы получим соот- ношение т ю" Ты=та,=4яррь- рах,( д ) а (12) Тп=4ярв,'— р объем (Х). (12') Наличие величины объема тела Х в формуле (12') Тейлор объяснил тем, что заполненная жидкостью полость в Х прн поступательном движении увеличивает его присоединенную массу на величину, равную произведению р на объем полости, не изменяя дипольного момента У' на бесконечности. Он также отметил, что в случае тела Рэнкила р',= ~хч">а„. Следовательно, при поступательном движении вдоль оси х, присоединенная масса равна произведению момента диполя„ определяющей тело системы источников и стоков, на величину 4кр минус масса вытесненной жидкости.
Формула для сферы, когда р',=а'/2, как в 9 98 формула (1), является частным случаем выражения /4чаэ 1 2км~ Т = 2яоаэ— Случаю вытянутого сфероида вращения соответствует линейное распределение источников между фокусами. где п1 есть момент диполя величины (1ь для направления хь Заметим, что вывод формул (10) — (12) справедлив для любой функции У, регулярной на бесконечности н удовлетворяющей условию~ ~ (дО~дл)дую=О.
Мы получили обобщение результата Тейлора [83], который рассматривал случай 6 = 1. В этом случае (дР/дп)дЯ есть Ыь и интегрированием по частям по внутреннейобластнХ поверхности 5 мы находим, что Ох,йо,=Щах представляет собой объем тела Х. Поэтому можно записать равенство 9 103. Теория и елслери.иене й 103. Теория н эксиернмент Хотя мы начали с теоретического рассмотрения, но явление присоединенной массы впервые было открыто экспериментально. В 1776 г. Дюбуа' ) наблюдал его влияние на период малых колебаний сферического маятника. Измеренные им значения й лежат в интервале 0,45 — 0,67.
В то время систематическое и точное определение периода колебаний маятников имело большое научное и практическое значение. Желательно было точно знать, чему равно д н каковы его аномалии, а для определения долготы во время длительных морских путешествий требовались хорошие хронометры. В пустоте мы имеем т19= таз)п 9, стало быть, д связано с перно. дом с малых колебаний маятника длины 1 формулой д = 4яЧ/са. Но необходимы поправки как на влияние воздуха, окружающего маятник, так и на трение в системе подвеса. Очевидно, что из-за подъемной силы восстанавливающая сила таз)п0 маятника плотности р уменьшается в отногпенни 1 — (р'/р), где р' — плотность воздуха.
Благодаря очень точным измерениям Бейли' ) было выяснено, что зта поправка, доходящая примерно до 5/р минут в день, является недостаточной. Отсюда ясно, какое большое значение имел результат Пуассона и Грина, что т в левой части уравнения маятника нужна заменить на «кажущуюся массу» т", что увеличивает величину и в отношении 1: [1 + (т'/т))'ь. Такое вычисление а рг(ог( значения т' = т* — т для сферического маятника было поразительным результатом. Однако точные измерения выявили то обстоятельство, что наблюдаемые значения т' = йр объем (Х), полученные по измененному уравнению маятника (т + т')19 = т[1 — (р'/р)) гйп 9, систематически превышали значения, найденные по формулам Пуассона и Грина.
Это систематическое расхождение Стоке ([13), т. 3, стр. 1— 101) объяснял влиянием вязкости. Вго соображения будут конспективно изложены в й 115; из них следует, что указанная разность значений пропорциональна числу Стокса 5 = въ/ыма, где го — частота, а а в радиус сферы. Стокс получил также вязкое затухание, которое в обычных условиях тоже пропорционально 5. Отсюда следует, что при быстрых колебаниях малой амплитуды, когда 3 мало, теория идеальной жидкости должна доста- ') 11 и В и а 1, Рппс1рез б'!1убгап!!Чпе, 3-е изд., Рапи, 1816, 221 — 261 (первое издание — в !776 г.).
Обзор более раииих работ см. в (13), т, 3„ стр. 76 — 122 или в (79), стр. 97 — !О!. ') В а11у Е., Тепла. )шоу. Яос., йопбол (!332), 399 — 492. Гл. ГП присоединенные массы точно хорошо согласовываться с наблюдениями. И действительно, многие эксперименты ') показали хорошее согласование с теорией. К сожалению, амплитуды при этом обычно не измерялись, а погрешности эксперимента часто были одного порядка с поправкой на вязкость. Данные Бесселя, по-видимому, занимают особое место; некоторые побочные эффекты в этих опытах были проанализированы Стоксом ((131, т.
3, стр. 112). Было установлено также, что вдали от всех твердых границ движение жидкости при ускорении из начального состояния покоя на протяжении примерно диаметра хорошо согласуется с теорией идеальной жидкости. Однако, после того как сфера подвинется на несколько диаметров, наблюдается отрыв потока (отделяется вихревой слой), и тогда стационарное значение Сп становится более важным '). Еще скорее это происходит п8пн ускоренном движении диска перпендикулярно к его плоскости ); этого и следовало ожидать, так как острая кромка благоприятствует отрыву. Вообще говоря, тенденция к отрыву зависит от величины полного перемещения, выраженной в диаметрах; так, при периодическом движении она зависит от Ц ахт/г(, где т— период. где Р» выражаются формулой Р;= ~ Тчоа(й) й,й„ (13') ') Ка!гб 1.. Н., Раук йео., 7 (1898), 102 — 105; Кг1з'ппауаг $., РЫК Мау., 46 (1923), 1049 — !053; У и У, Т., У.
Арра Раух., Гз (1942), 66 — 69 и 16 (1945), 727 — 729; 51е!во п Т. Н., Туевы РЬ, »У,, Сагпек!е 1пз1. ТесЬ. (1952). См. также предыдуп»»»е ссылки, а также примечания к $104 — 115. '! СооК Сс, Ра!с Мак., 39 (1920), 350 — 382; Н »гаса Р., ЛАММ, 3 (!923), 93 — 107; В а я(»а г е!(о Сг., Н!с. Яс!., 26 (1956), 437 — 461. О вычислении расстояний, на которых происходит отрыв потока, см.
То!1гп!еп Н., Напдаиса Ехр. Раус., 4 (1931), ч. 1, 272 — 279; Сго ! бз»е»п 5., »1 о зельее а б 1., Ргос. СатЬ, Рап. 5ос., 32 (1936), 392 — 401. ') 1п не а и 3., С. Н. Рагы, 227 (1948], 8,' — 825 и 229 (1949), 227 — 228; 1чегз оп Н. Цг., В а1е п» П., Д Арр1. Раух., 22 (!951), 324 — 328; в пяти случаях наблюдалось теоретическое й. 9 104. Коэффициенты устойчивости При исследовании устойчивости стационарного движения в воде многих типов тел были использованы в соответствующел» оформлении идеи, подсказываемые лагранжевыми формулировками (й 99, 100). Если эти формулировки применимы, то можно подставить формулу (2) в соотношение (3), чтобы получить следующее уравнение: 0 = Й у'»1(г4) г)1+ Рг(гэ»)).
(13) б 1Я. Коэффициенты устойчивости а Г("=(дТ0)дг)а+дТга)дг!7 — дТ)а)дг),)~2 суть компоненты тензора Кристоффеля ((76), стр. 39). Кроме того, входящие в эти формулы функции в принципе можно, как утверждал Лагранж (9 1), определить а рг1ог! при помощи теории потенциала, На практике предполагается известным лишь вид уравнений (13) и (13'), причем формула (13') фактически соответствует принятию «инерциального моделирования» ($ 70). Указанные уравнения применяются обычно только к малым возмущениям стационарного движения, что позволяет считать Тп и Г! в /и уравнениях (13) и (!3') постоянными величинами. Эти постоянные (подобно Со, Сс и др.) обычно определяют эмпирически— так, чтобы онн соответствовали данным наблюдения; эмпирические константы, определяемые таким образом, называются коэффициентами устойчивости.
Во время первой мировой войны такие коэффициенты использовались, например, для исследования устойчивости вращающихся снарядов '). В настоящее время они применяются к анализу устойчивости полета ракет и управляемых снарядов; случай снарядов со стабилизатором гораздо проще для изучения. Чрезвычайно важно и хорошо разработано их применение к анализу устойчивости полета самолетов. Тесно связан с этим анализ устойчивости движения дирижаблей (и подводных лодок).
В этих случаях особенно большую роль играет инерция воздуха (воды), в котором находится движущееся тело. См. [46з]. Вдохновляемые идеями Лагранжа, различные авторы пытались вычислять коэффициенты устойчивости исходя из априорных соображений. Хотя для дирижаблей и подводных лодок удалось добиться некоторых успехов, эксперименты показали, что в действительности присоединенная масса при стационарном движении испытывает значительные изменения. Соответствующие вычисления коэффициентов устойчивости для самолетов гораздо труднее: нужно учитывать циркуляцию и распределение вихрей; большие сомненпя вызывает использование условия Жуковского. Мы отсылаем читателя за подробностями к технической литературез).
') моиг!ег, О а!)о р, Ь ось, и ! сЬ го о об, Рад!. 1гопз. Доу. Бос, А221 (1920), 295 — 387 и А222 (1922), 227 — 247; см, М с 5 Ь а и е Е. У., К е1- 1е у в. 1., испо Е. 17., Ех1епог Ьа!!!з!!сз, )уептег, 1953, з) Обзоры вместе с библиографией дали и е)з з пег Е., дни. Алг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
