Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Непосредственная аснмптотическая опенка, учитывающая эти данные ([86), стр. 204), показывает, что в случае течений, параллельных оси хы присоединенная масса Мы тела Х удовлетворяет уравнению ') Мц/р -+ площадь(Х) = 2яаа [1 — Ке (с,)). (17) Формулой (17) задача вычисления присоединенной массы сводится к задаче конформного отображения. Другой интересный результат — это теорема Пойа о том, что из всех плоских областей, имеющих данную площадь, круглый диск обладает наименьшей усредненной присоединенной массой ') Ргос.
СотЬ. Р/П!. Бес., 49 (!253), 342 — 354; см. также !. ! КЬ )- !1! ! ! М. У„ Л. Руна МесЛ., ! ()955), 3! — 53 и 3)! — 3)2. х) В (7*] даны выражения для всех коэффициентов присоединенных масс. — Прим. ред, 212 Гл. У1. Присоединенные массы (усредненной по всевозможным ориентациям). Аналогичный результат для сфер в пространстве недавно получил Шиффер '). Наконец, имеется замечательный результат, выявляющий связь понятия присоединенной массы с теорией струй, рассмотренной в гл, П1.
Как впервые доказал Рябушинский, в семействе границ, охватывающих один и тот же объем (или, в случае плоских течений,— одну и ту же плошадь), экстремальное значение присоединенной массы дают свободные границы. Относительно вывода и применений этой теоремы мы отсылаем читателя к [!7], стр.
85 — 89 и 177 — 184. 9 107. Каноническая форма Как уже пояснялось в 9 101, тензор кажущейся массы тела Х зависит от выбора осей координат, связанных с телом, и изменяется с изменением положения тела относительно некоторого заданного начального положения отсчета с) = О. Случай сферы весьма прост. Если оси проходят через центр сферы, то в обозначениях из $100 справедливы равенства Ти = Тга = Тм — — т', Т„= Т~ = Т~ = 2гпат,г5, в все ТО вне главной диагонали [1 Ф 11 равны нулю. Другой известный частный случай — это твердое тело в пусгоге. Если за начало координат взять центр тяжести, то все Тн [1 Ф 1' и 1, ) = 1, 2, 3) обратятся в нуль, а Т,~ = Таа = Тээ = = т, где т — масса тела, Далее, приняв главные оси инерции в качестве декартовых осей координат, мы можем обратить в нуль все Тп(1' чь !' и г', !' = 4, 5, 6). Следовательно, тензор инерции опРеделЯетсЯ четыРьма скалЯРными величинами Тгц Там Тем Теы которые путем изменения единиц длины и времени можно свести к двум.
Затем, Т„+ Тьа~~Тее и т. д. при циклической замене индексов; случай эллипсоида является вполне общим. В двух указанных случаях матрица !!7г 11 приводится к диагональной форме с помощью надлежащего выбора осей координат. Представляет интерес выяснить, насколько можно упростить матрицу инерциальных коэффициентов Тп при помощи надлежащего выбора декартовой системы координат н центральной точки') для общего случая жидкости с положительной плотностью. Это представляет собой простое упражнение по теории квадратичных форм.
') Р о)у а 6., Ргос. ХГст. Асей. 5с(., 33 (И47), 213 — 221; 5 с Ь(11е г М., Согпртеэ йепг(пх, Рагин 244 (1937), 3113 — 3121. ') Относительно пентральной точки см. !34ь). По вопросу об упрощении матрицы инерциальных коэффипиентов см. !25ь). — Прим рез. У 107 Калоапческал гйорпа 2!З На примере весла ($ 98) видно, что кажущаяся инерция может быть различной при поступательном движении в различных направлениях; гораздо легче создать ускорение, рассекая веслом воду, чем загребая. Однако так как всякая квадратичная форма эквивалентна ') относительно группы вращений диагональной форме, то мы всегда можем повернуть осн так, чтобы получить Тм Тзз Тм = О, причем величины Тн, Тзы Тзз будут соответствовать «главный направлениям» поступательного движения.
За искл очением случая вырождения (случай невесомой тонкой пластинки), когда одна из величин Ти !1 = 1, 2, 3) обращается в нуль, возможно дальнейшее упрощение надлежащим выбором начала координат в центральной точке. Пусть игг, пгз, игз обозначают вращения со скоростью один радиан в секунду относительно некоторой системы осей, параллельных главным направлениям поступательного движения; пусть Х, У, Х обозначают перемещения в главных направлениях при единичной скорости, ч пусть ш',, тв', твз' обозначают вращения относительно осей, смещенных на вектор (хг у, е). Тогда ыгг =пгг +УХ твз'= ерз+ хХ вЂ” хЛ, твз=ыгз+х~ УХ Подстановка иг!' вместо тпг не изменяет Тм — энергию взаимодействия между Х и шь поскольку энергия взаимодействия между Х и У или Л равна нулю.
С другой стороны, при этом величина Т„Т„увеличивается на зТгь величина Т„= Ты— на хТты а величина Ты Уменьшаетсл на хТьзз и т. д. Поэтому надлежащим выбором а можно добиться равенства Тм = Ты и аналогично получить Тгв — — Т„и Т„= Тм. Таким образом, матрицу инерциильных коэффициентов можно привести к упрощенной форме, которая указана на рис.
27. В эту каноническую форму входят пятнадцать произвольных постоянных, число которых можно свести к тринадцати, изменив масштаб длины и времени. Итак, общий случай характеризуется тринадцатью безразмернымн отношениями н двумя преобразованиями единиц измерения. Если тело имеет трн взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, как эллипсоид, то их можно взять в качестве коор') Используемые здесь алгебраические теоремы доказаны, например, в 1451, гл.
!Х, теорема 21. По повод) самих результатов см. 171, й 126; общий слгчай рассмотрел С ! еь ась, Мам. Алла!еп, 3 !1870), 238. Относпщнеся сюда другие результаты см. Мог К а п О. 'йг., Оааг. Арр(. Магм, 12 (!954). 277 — 285. Гм 1Ч. Присаединенные массы динатных плоскостей. Отражение, скажем, в плоскости (х, у) оставляет Я, шь ше неизменными, но меняет знак на противоположный у Х, У, ю~., кинетическая энергия при этом не изменяется. В силу этого Тее = — Т41 О, и аналогично Тм Тзб Т41 Т45 Т44 У и Тм Теб О Повторяя это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что матрицу инерциальных коэффициентов Перенос В77ацение Р 6 а 1 а О О О )з О О О р 744 е 45 е 45 а и 45 4 55 е 55 е45 Узб 4 ба Рис. 27.
Повторив это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что, кроме «винтовых произведений инерции» р, а, т, все коэффициенты, стоящие вне главной диагонали, обращаются в нуль. Таким образом, здесь мы имеем девять коэффициентов инерции, и при помощи изменения масштабов длины н времени их можно свести к семи существенно независимым параметрам. Приведенные выше рассуждения можно равным образом применить к тензору присоединенной массы, хотя, вообще го- можно диагонализировать. Таким образом, у нас остаются шесть произвольных постоянных и четыре безразмерных отношения (их только два в случае твердого тела в вакууме). Другой интересный случай — симметрия относительно трех взаимно перпендикулярных осей, но без симметрии относительно плоскостей, проходящих через эти оси.
Типичным примером является винтовая линия: х = г сов г, у г з(п г, И (1, 1г! (2ю В силу симметрии относительно оси г остаются неизменными 2, шб, но меняется знак на противоположный у величин Х, У, юь юь Поэтому, как и выше, получаем равенства 6 !ОВ.
Геолетргтнескоя интерпретация 215 поря, главные оси будут при этом другими, если только они не являются осями симметрии. Мы рассматривали тензор кажущейся массы с целью включить пода известный случай твердого тела в пустоте в качестве частного '). й !08. Геометрическая интерпретация Теперь мы будем трактовать теорию кажущихся масс как раздел чистой геометрии.
Начнем с того результата из ч 100, 101, что система, состоящая из твердого тела Х в идеальной жидкости, есть инерциальная лагранжева система с кинетической 1 энеРгией, Равной Т= — Тьаг)ьда, Отсюда можно легка вывести кчассичесиий результата), заключающийся в том, что «естественные» траектории, получающиеся при отсутствии внешних сил, представляют собой геодезические линии. В частности, Я = 0 в формуле (3) тогда и только тогда, когда ~ ТЖ принимает минимальное значение.
Это очевидное следствие из уравнений Эйлера представляет собой простейший случай принципа наименьшего действия — вариационной формулировки динамнчесиих задач. Точнее, пространство «ионфнгураций» т) = (г)г, ..., г)а) нашей системы есть риманово многообразие с «длиной дуги» Иза = ~ч'.~ Т, (0)) Ау, х(а . (1О) Кроме того, поскольку энергия не изменяется, агз/г(! есть величина постоянная, и поэтому иаи ~ Тг)з, таи и ~ ТЮ принимают экстремальные значения (локальный минимум).
Эти положения легко проверить на известных примерах. Так„если )т = )та есть поверхность без трения х = х(г)1, г)т) в обычном пространстве, мы видим, что реакция связи перпендикулярна поверхности )тт, поэтому при отсутствии внешних снл нормаль к траектории частицы служит нормалью к Кт) иаи известно, это условие характеризует геодезические линии.
Б более общем случае рассмотрим произвольную траекторию т па поверхности 17». Нормальной к поверхности )тт составляющейснлы реакции обычно пренебрегают. Остается сила в плоскости, касательной к поверхности )тт. Она разлагается на две составляющие: на составлявшую з, касательную и т, которую можно вы- ') Относительно материала $107 гм. 1301. т) Герц Г., Принципм механики, М..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
