Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Мотй. зос., 55 (1949), 825 — 850 и О агг!с1г !. Е., Арр!. Маса. )(воз, 5 (1952) 89 — 91; см. также 5 с ги1о и Ш. )!., Аег. Цез. Сопки. йер., 1931. Относительно дирижаблей см. С о и !с у, Ь е т у, Е г а т е г, й е1 1, в о и е з, Абт. Сопки. Аег., тесЬ, )!ер., 1918, 19!9, стр. 95 — !27; 5 хе Ь еЬ е!у У., Ргос. 8ес. Ыа!. Сопят. Арр)(еб МесЬ. Б5А (1954), 77! — 778. Тл.
УЕ Присоединенные масса На практике кажущейся массой интересуются также в связи с тем влиянием, которое она оказывает на собственные частоты колебаний корабля, равно как и на частоты бортовой и килевой качки, В первом случае влияние свободной поверхности легко оценить. В виду относительно болыпой частоты можно положить при этом О = О. В других случаях влияние образующихся на поверхности волн учесть сложнее. И на этот раз мы отсылаем читателя к литературе'). По-видимому, мало имеется систематических знаний относительно зависимости коэффициентов устойчивости от числа Фруда.
Наконец, многие авторы применяли понятие кажущейся массы для оценки ударных сил при посадке гидроплана на воду при входе снарядов в воду и другие жидкости. Краткое резюме по этому вопросу приведено в работе (!7!а, стр. 243 †2. Хотя дедуктивная теория 9 99 †1, строго говоря, не применима ни к одному из приведенных примеров, все же в каждом нз них понятие тензора присоединенной массы оказалось плодотворным. й 105. Присоединенная масса и ноличество движения В большинстве приложений влияние присоединенной массы сочетается с воздействием многих других факторов, в исследовании которых заинтересованы только специалисты.
Поэтому мы сейчас вернемся к чистой теории кажущейся массы — теории, привлекательной и с эстетической и с математической точек зрения. Но прежде чем перейти к более абстрактным рассмотрениям, (9 108 — 112), мы приведем несколько частных результатов, которые помогут уяснить смысл вводимых нами абстракций. Составляющие тензора присоединенной массы наиболее удовлетворительно определяются посредством интегралов кинетической энергии подобно формулам (2) и (4). Эти интегралы сходятся на бесконечности, так как (9 7) !7 (7 = О(г.з) в про. странстве.
В случае плоских течений Днрихле интеграл кинетической энергии также сходится на бесконечности: и в этом случае интеграл О (т(гтс7)с(х суу = О ~Д г чгссг) конечен, ') )Ч)сЬо11з Н. Цг,, Тгапз. Тпз), дгоо. Агск, (1924), 141 — 163; 1 етт1з Р. М., Тгапги дсао. Агсй. Маг. Ещ., 37 (1929), 1 — 13; Мои!!!и Е. В., Ргос.
СатЬ. Ргц1. Бос, 24 (1928), 400 — 413 и 531 — 558; В го ми Л. Р, и др., там тке, 26 (1930), 258 — 262; %е)п Ь1 игл О., Зс51[[ьаи, 32 (1931), 488 — 495; 509 — 511 и 525 — 529; Хаск над М. Л., Изв. АН СССР (1946), 23 — 34 и ПММ, 10 (1946), 475 — 480; % е и б е) К., Тайг, г(ег Зол![[азии без., 44 (1950У, 207 — 255. ') Первая задача о присоединенной массе плавашшего тела была решена Н. Е. Жуковским [28*]. Современное состояние вопроса см. в работах [7*], [17*], [26' — ЗЗ*].
— Прил. ред, Р !05. Г(рисоединеннаа масса и ноличестио оси»сенин Сейчас мы будем интерпретировать Тии как интегралы количества движения. Различные авторы отмечали '), что интегралы количества движения расходятся в обычном смысле. Поэтому при интерпретации величин Тии с помощью количества движения нужно соблюдать осторожность. А теперь рассмотрим это подробнее. Коэффициенты Тси из формулы (8) представляют собой интегралы, взятые по границе 5 тела 5, и в новых обозначениях нх можно записать в виде Т„„= р 1 1 и с)5к, где 0 = 0" — гармоническая функция и сс5и= ~Р К,Ы5, вы! ! ражает дифференциал потока векторного поля К (с(~(х), К (х), К»(х)) через 5.
Так, в случае переносов, параллельных оси хь К = (1, О, О); в случае поворотов вокруг оси к1 получим К (О, хс, — хе) и т. д, Посредством этого удобного обозначения определяется полезный класс интегралов Стильтьеса по поверх. костям при условии, что интеграл0)сг5к ) конечен. Заметим, что всегда, когда К есть поле скоростей твердого тела, б)ч К = О. Это условие н еше то, что (7 есть гармоническая функция, регулярная на бесконечности ([4), стр. 2!7), — вот и все, что нам потребуется для дальнейших выводов.
Определим сК-линию» как интегральную кривую системы с(х;М = К1(х), или с(х/Ж = К(Нх; Кпсс). Таким образом, если К соответствует поступательному движению параллельно оси кь то К-линии суть прямые, параллельные этой осн; если К соответствует винтовому движению относительно оси хь то К-линии представляют собой винтовые линии вокруг этой оси и т. д.
Теперь к векторному полю 0К над областями )т, ограниченными поверхностямч 5~х5'~х 5", где 5" состоит из К-линий, мы применим теорему о дивергенцин. Так как с(5к=О на поверхности 5', состоящей нз К-линий, и так как ((-'К)=К д. +(781 К дс1 ' дх; то, пользуясь равенством д(ч К О, мы получаем из формулы (14) следующее соотношение: Ты =" ~ ~ ~ ~К~ )Н~ — р ) ) Ус(5к (14') '1 17), 119, То!1т1еп Н.. сЛММ, 18 (19381, 184 2го г л И.
Присоединенные масси Показанные здесь знаки перед двойным и тройным интегралами верны, если нормали направлены внутрь области И. В частности, если Р— бесконечная область и поверхность 5' отодвигается на бесконечность и если интеграл в области Я сходится, то получим формулу (14*) Теперь рассмотрим различные случаи, соответствующие частным значениям коэффициентов в выражении для присоединенной массы. Если й = 1, то К = (1, О, О) = дгадхг = 7хг в зависимости от обозначений. Пусть 5" есть бесконечно длинный цилиндр, ось которого параллельна оси х, и который содержит тело Х.
Тогда, поскольку интеграл от количества движения Тм Т,„— р ) 1(У ггх сгх — р ) ) У( — „) И (15а) сходится на бесконечности, мы получаем следующий результат. Коэффициенты в выражении для присоединенной массы, соответствующие постуггательному движению параллельно оси х,. равны составляющей по хг количества движения жидкости внутри любого бесконечного цилиндра, соосного с х, и содержащего тело Х при движенгги с единичной скоростью в направлении сг. Область ггг проще всего брать в виде цилиндра, описанного вокруг тела л. Этот результат применительно к величине Тп получил Теодорсен (84).
Далее, если й = 4, то К = (О, х,, — х,) = хзггхз — хатха Пусть 5" ограничивает любое твердое тело вращения, которое содержит тело Х и для которого ось х, есть ось симметрии. Тогда граница 5~ 5" области й состоит из поверхности 5 и из К-линий (кругов), так что формула (14ь) сводится к виду Тьз Р ~ ~) ггхз д хз д )дую Р )) ~ ( дз )д)1 (! 5б) где () агс(йхз/хз. Следовательно, Ты — моментколичествадвижения относительно осн хг жидкости, находящейся в области гс. С помощью циклической перестановки осей из (15а) и (155) можно легко получить остальные величины Тьь. Случай винтового движения вокруг оси хг, когда К = а7хг + 8(хЛхз — хз~гхз), легко получить суперпозицией двух предыдуших формул.
Пусть поверхность 5" — круговой цилиндр, описанный во- 2П 6 )05. Йрргнг интгеиретаини круг тела Х. Тогда присоединенная масса равна количеству винтового движения жидкости, находящеися внутри поверхности Я", а именно р ~ ) (од(гт/дх!+ р д(г'"/дэ)А~; то же самое верно для всех цилиндров, соосных с х, и содержащих тело Х.
2 106. Другие интерпретации Совсем недавно Ч. Дарвин ') дал новую и очень простую интерпретацию теоретической присоединенной массы твердоготела, введя представление о дрейфе, т. е. о смещении поперечной поверхности жидкости, вызываемом поступательным движением тела Х из — оо в + о вдоль данной оси. Он показал, что присоедимеммый объем )х~/р, определяемый как отношение величины присоединенной массы при поступательном движении к плотности жидкости, равен объему, заключенному между начальным и конечным положениями любой такой поверхности.
В случае плоско-параллельного обтекания некоторой плоской области Е можно дать другую, совсем простую интерпретацию в терминах конформного отображения; а' = аз+ с,.+ — '+ — , '+ ..., а ) О, (16) переводящего внешность единичного круга на внешность области Х. Как уже отмечалось в 2 8, имеется одно и только одно такое преобразование. Заметим, что если У есть функция тока, то дифференциал (т У т У) ахау кинетической энергии сохраняется при конформном отображении н скорость иа бесконечности изменяется при этом в отношении 1: а. С другой стороны, функция У из уравнения У + и у = ф удовлетворяет краевому условию У = 0 на Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
