Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 41
Текст из файла (страница 41)
У. Моиь Арр!. Мгсд, 4 (195!), 29 — 4!. По понолч лельнеаглил обобщенна см. В с г !г е г й., работу, питер. н прим. 1) пе стр. 185. ') Кешре бе Рбг!е1 Л., Ргос. 1п1. Мебь Сопягеее, Рвг)сь Н932), т. 2. 298 — 299; Хешепу) Р., Рг)ш й., У. МоИ. Рвы. М)Т, 27, (1948), 130 135. г) См. [61, гл. 117А илн 5 е11е г1 Н., Могж Аппо!еп, 128 (1947), 75 — 1Э), Гл <' Теория групп и гиоромеканияа переменной 6, согласно уравнению Бернулли, и 6 = 0 — х(г„— — у(гк — зависимая переменная в лежандровом контактном преобразовании, посредством которого получено уравне.
нне (57б). Теперь нетрудно получить уравнения (57а) и (57б), исходя из уравнения (56) и только что указанных определений, но во. все не ясно, почему нужно было нспогьзовать эти переменные годографы, чтобы получить линейные уравнения Одним из мотивов могло быть то соображение, что метод годографа успешно применяется в задачах сосвободнымили«нямн тока (как в $ 38). Сейчас мы приведем другую мотивировку, используюшую три соображения из теории групп. Первым из них является ннвариантпость законов динамики невязкой жидкости относительно группы ()8) преобразований Ланжевена: х- >х, ц- ц, (7- Мl, У-ьХУ, в- 16. Оказывается, что уравнение в частных производных, выражаю. шее эти законы, как правило, должно быть неоднородным (и поэтому нелинейным), если в качестве независимых переменных брать хи а в качестве зависимых переменных — (<, У илн ф; но это уравнение будет однородным, если принять за независимые переменные') и<, а в качестве зависимых переменных (<, У нли ф.
Нам остается не ясным а рНоП, почему это однородное ура. внение должно быть линейным, когда в качестве зависимых переменных взяты У и (т. Второе соображение из теории групп — очевидная ннвариантность законов движения жидкости относнтельногруппы поворотов 6- 6+ и, когда 6, (г, У, в остаются фиксированнымн. Из этого следует, что в формулах (57а) и (57б) величина 6 должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты.
Следовательно, мы имеем теоретико-групповое оправдание использования в качестве независимых переменных <7 и 6Я) вместо и = (г, и и = (7я. Благодаря этому коэффициенты нашего дифференциального уравнения зависят только от одной нз двух независимых переменных. Третье теоретико-групповое соображение — это очевидная инварнантность законов движения жидкости относительно груп- ') Это возможно в малом.
кроме случая (упомянутого в 6 92) одно. мерного юяографа. По причинам, аналогичным описанным в $ Я9, почаще тововя, это невозможно в большом. ) Использование перечениоя ш =- <и д вместо о пояска<ывается теорнеа функция комплексного переменного; в + <6 !п (и + <е). 5 рд Нкерчиолькое плоское »!е»»»кение пы переноса х- к + а, когда и, у, [г, ф остаются фиксированными ($67).
Это эквивалентно тому, что х и у в уравнении (56) входят лишь в дифференциальные операторы и не содержатся в коэффициентах. й 95. Инерцнальное плоское движение Теорию групп можно использовать не только для упрощения уравнений движения жидкости, с ее помощью можно также приводить интегрирование уравнений движения к квадратурам '). Важное подтверждение этого положения дает движение снаряда в плоскости под действием только инерциальных сил. (Приблизительно такой характер имеет движение во многих задачах баллистики, а также движение подводной лодки при фиксированной установке рулей, когда гидростатическая плавучесть уравновешивает силу тяжести.) Это значит, что мы будем рассматривать группу из $70.
Пусть х = а» и и аз обозначают координаты снаряда, а ф = »уз — угол между осью х и некоторой осью, жестко связан. ной со снарядом, Мы г»редполагаем, что координаты мгновенного положения снаряда определяют его будущее движение под действием сил реакции и согласно законам Ньютона, так что (прн обычных ограничениях относительно диффереицируемостп) получим уравнения: Ч»=г»(Ч! ° »)з Чз: Ч»»)т»7з)=Г';(Ч'Я). (58) Это, очевидно, система обыкновенных, вообще говоря, нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка.
Мы сейчас покажем, как с помощью теории групп ее можно свести к системе второго порядка и четырем квадратурам. Метод, который мы опишем, в основном обобщает обычный метод сциклических координат» при переходе от лагранжевых динамических систем к нелагранжевым системам. После того как будет описан этот переход, мы укажем схему дальнейшего обобщения — на случай обыкновенных дифференциальных уравнений, пнварнаитных относительно некоторой группы.
Прежде всего можно ожидать, что система (58) будет инвариантна относительно переноса пространственных координат .г- х+хо, у-» у+уст). Это обстоятельствооченьпростоинтер- ') Строгое современное мвтемвтическое исследование »той ставшей классической связи с теорией групп в случае обыкновенных однородных лике»!нмх хяффереиипвльиых урввиеиий см. в работе Ко!си ! п Е. й, Яплоы о[ МоГй. 48 !!%8), 1 — 42. Отаосительио велииейиого случая, см !у!скзоп [88]. '! Практически зто озивчеет, что мошко пренебречь такими фвктореми, » зк измеиеиие плоткости с высотой. Гл.
р, Теория групп и гиоуомехаииха претпровать математически: оно позволяет пам заменить систему (58) системой четвертого порядка: ~~ =Р«(«Ы ч) «т«Т «67« «а(««з' с()« (59) (60) в« =0аМ «р р)« у которой второе уравнение сводится к квадратуре «р = ~ р«тт. Наконец, предположение, что все силы «инерциальны», означает, что они пропорциональны квадрату скорости, т. е. геометрические траектории инвариантны относительно группы изменений масштаба времени. Но очевидно, что р и расстояние з = ~ о««« инвариантны относительно этой группы. Отсюда, заменив 1 независимой переменной з, получим уравнение (61) (Например, «по«1о/««з есть касательная составляющая силы; она равна произведению о' на силу «п0«(о/о,р,рТо) = «п0«(1, р,в') = = и* (р, р'), которая действовала бы на снаряд, если бы все скорости были изменены в отношении и:1.) В итоге система '1 Строго говоря, пока о не обращается а нуль.
и двумя квадратурами Ч« = ) Ч! Ж, Чя — — у Чая. (59«) Таким образом, с помощью двухпараметрической группы можно снизить порядок нашей системы на две единицы, заменив интегрирование уравнений квадратурами. Далее, система (58) нзотропна, т. е, инвариантна относительно поворотов координатной системы. Чтобы выразить этот факт аналитически, удобно в качестве новых переменных использовать модуль скорости и = (х'+ у')ч и угол наклона В траектории к оси к. Тогда х о соз В и у = о з! п В, Очевидно, что о и «угол тангажа» р = ф — В инвариантны относительно вращений; поэтому система (59) эквивалентна ') (если она изотропна) системе: «г'о йз — =0,(п, «р, р), — „, =0»(т«, «р, «р), !93 й 96. Теорема Бьянки (58) экеиваленгли системе второго порядка (61), пяти кпадритурам: (59') и следующим соотношениям ( гг'нг г ггз о=осе, Г=) --, 9= ~ тс(у.
(62) й 96. Теорема Бьянки Предыдущее рассуждение можно существенно обобщить. Пусть Х вЂ” любая система обыкновенных дифференциальных уравнений и-го порядка: — '=Р,(хн ..., х„), (з'=1, ..., и) (63) Предположим, что Х инвариантна относительно группы Г преобразований х — Т(х) в пространстве (х„...,х„). Это значит, что если функция х(Г) удовлетворяет системе (63), то ей удовлетворяет и преобразованная функция Т(х(Г)) при всех Т ~ Г Мы покажем, что это обстоятельство значительно облегчает интегрирование системы (63). Это легко показать, если à — однопараметрическая группа. В данном случае, за исключением окрестностей особых точек, группа Г локально сводится ') посредством замены координат к группе пвреносов у!- у! + а; ут,..., у„ без изменений. Система (63) запишется в этих координатах в виде ду;/д( = 6г(уп..., у ).
Так как вычитание постоянной из у! не изменяет нн одной из производных Ыу;/йг, то, очевидно, 6! фактически не зависят от уь поэтому можно записать уравнение еу! — ' =6,(уз, ..., у„). !з= 1, ..., л). (64) '1 См. 1781, стр. 34. Вообиге мы здесь не даем подробных указаний относительно используемых результатов теории групп Ли.
') Понятие локальной подгруппы разъясняется в книге Шеа алле К~ !сория групп Ли, М., ИЛ, тт. ! — 2, !948 — !988 гг Таким образом, мы сведем интегрирование системы (63) к интегрированию систезгы (и — 1)-го порядка дуздау = 6,(уз.. уи), [) = 2,..., л) и одной квадратуре у, = ~ 6, (у,(т!, ..., у„(Г) ) дг. Обобщая сказанное, отметим следующее: пусть à — любая г-параметрическая разрешимая группа Лн преобразований пространства (хь „х„), относительно которой инвариантна система (63). Тогда, почти по определению, группа Г имеет локальные') подгруппы Ли 5! < 5з «... 5, = Г, такие, что 1) 5;, нормальна в 56 2) 5; порождается подгруппой 5;, и некоторой однопараыстрнческой подгруппой Го Гл »».
Теория групп и гидромехинияи Рассматривая все в малом, предположим, что подмножества транзитивности подгруппы 5», представляют собой И-мер»»ь»е подпространства постоянных у„+,, ..., у„, т. е. они параллельны гиперплоскости (уь ..., уь) для некоторого И. Предположим, далее, что ввиду пнвариантности системы (63) относительно 5; » можно свести интегрирование системы (63) к интегрированию системы — =От(уя„»...., у„), [/=И-г 1, ..., п1 (65) Ну» и квадратурам. Мы покажем, что тогда аналогичное утверждение справедливо для 5,. Возможны два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
