Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 43
Текст из файла (страница 43)
На деле такое допущение обычно принимается без доказательства ([7), гл. У1; [8![, стр. 238 и [85[, стр. 320). Мы докажем его в $109. Далее, по теореме Аванцини (5 21, теорема 1) действие тяготения состоит просто в том, что к системе инерциальных сил без учета силы тяжести добавляется постоянная гидроствтнческая поаъемная сила. Поэтому достаточно рассматривать случай Е = Т нулевой потенциальной энергии, что соответствует л = О.
Этим определяется лагранжева система '), в которой «обобщенные силы» ()» удовлетворяют уравнениям »/ / дТ У дТ а= — [ — ) —— (3) щ, дй» / дд» Лагранжеву систему с нулевой потенциальной энергией можно назвать инер»(»»аленой лагранжееой системой; в $ !01 — 112 мы рассмотрим тензор присоединенной (и кажущейся) массы, определяемый инерциальной лагранжевой системой (2), (3).
') Точнее, частный случай лагранжеаой системы.— Прим. ред. Га. 'ст. Присоединенные массы $101. Тензор присоединенной массы Вблизи положения ч = 0 в некоторой системе отсчета удобно считать, что дь ам аз определяют поступательные движения тела Х в направлениях трех осей координат соответственно, а ди дс, 414 определяют повороты (в радианах) относительно этих осей. Тогда Тьь (0) из формулы (2) представляют собой числа, зависящие от выбора осей координат, связанных с Х. Прн любом таком выборе осей пусть (74, (Р, (74 обозначают потенциалы скоростей, соответствующие переносам в направлении осей с единичной линейной скоростью, а У4, (7', йм — потенциалы скоростей при вращении тела вокруг этих осей с единичной угловой скоростью. Тогда кинетическая энергия жидкости Т из формулы (2) определяется равенством 2Т=У„У„~~~Р(риь Ри')аК=У„Уитни (4) где мы суммируем по повторяющимся индексам (обычное соглашение в теизорном исчислении).
Как н в формуле (2), сИ а4х,с(х.4(хе есть элемент объема жидкости; кроме того, поскольку еУ"сУ~ =ЧБ'ЧИ", очевидно, имеем Тьь = Тми т. е. тензор присоединенной массы симметричен. При ускоренном движении из состояния покоя все дь = 0; следовательно, уравнение (3) сводится к уравнениям простого вида: (5) Ян= Тьь(0)д„если 41=41=0. Отсюда следует простая интерпретация величины Тьн, ато есть й-компонента силы, если телу в состоянии покоя сооби(аюг единичное ускорение в направлении й.
Кроме того, так как Тьь = Там мы сразу получаем следующий принцип взаимности ((75), стр. 305): й-компонента силы при единичном ускорении в направлении й равна Й-компоненте силы под действием единичного ускорения в направлении й. В простом случае (5) легко проверить непосредственно, что наша система лагранжева.
В силу второго тождества Грина ((4), стр. 212) справедливо равенство Т„,=, ~~~ ри"ри' т=,~~ и" ('~') дь. (5) Но в этом случае производная дУ"/дп равна (гл. 1, (7) ) нормальной составляющей скорости тела Х при движении с единичной скоростью в направлении дн, Введем теперь следующее з гд!. Тенеор прасоеданенной масси удобное обозначение, которое будем использовать н в дальнейшем, й5» =(дУ»/дп) й5, так что можно записать соотношения: й5г = йх, йхе, а5, = йх, йх„й5» = — йх, йх,, й54 = хг й53 — хз й52, й55 = хз й5г — хг й53е й5е =-х, й5, — хей5,.
(7) По самому определению величины Тин очевидно равенство Т„,=РОиьй5,=РД и»й5те (8) Отсюда видно, что начальное гидродинамическое давление р" всюду равно произведению кпотенциала ускорений» (/ь на плотность р. Соответствующая подстановка в формулу (8) дает Тье — — ~~р" й5ь, т. е. Тнд есть й-комггонента силы при движении из состояния покоя, вьгзванном единичным ускорением в направлении ды В частности, Яь Яы Яз представляют собой обычные компоненты силы относительно выбранных нами осей, а Яь Яы Яе — соответствующие моменты. Этим оправдано предположение (3) для случая (3), т. е, для случая ускорения тела из состояния покоя. Когда движение сводится только к поступательному, координаты (д„ дь с/») могут быть использованы в болыиом.
Тогда Тц(ц) = Ти(О), т. е. постоянные, и, таким образом, из формулы (3) следует соотношение (/, /=-1. 2, 31. (9) Очевидно также, что если обозначить через р скалярное давление, то О Рй5„') ') Рй5г, ') ') р й5о представляют собой компоненты силь!, с которой тело Х действует на жидкость, а Црй5е Орй5ге ~~Р й5в представляют собой компоненты момента этой силы. Теперь рассмотрим течение, возникающее из состояния покоя пря единичном ускорении в направлении ды Легко подсчитать, что если в начале (/ = О и д(//д! = (/", то (/(х;!) отличается от !(/н(х) на бесконечно малую величину второго порядка относительно й Так как мы свели задачу к случаю у = О, то из уравнения Бернулли для давления жидкости, движущейся с ускорением (гл.
1, (б)], следует уравнение р+-ь- ре с/ч У+ р — = сопз(. 1 дб' (8*) Га РА Присоединенные массы Отсюда видно, что парадокс Даламбера (9 7) возникает уже из-за принятия предположения (3), и это заставляет нас вспомнить, что наша модель в общем не соответствует физической действительности. Более сложным оказывается исследование моментов и вообще величин, характеризующих вращение при наличии поступательного движения (см. 9 ) 11 — ) 12) . Выведенные выше формулы относятся к «присоединенной» массе. Очевидно, что кажда(аяся масса, определяемая как сумма собственной массы находящегося в жидкости (твердого) тела Х и присоединенной массы, представляется другим симметричным тензором (матрицей), обладаюшим в точности теми же свойствами. й 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина') Коэффициенты присоединенной массы были подсчитаны теоретически не только для сферы, но и для тел простой геометрической формы, Обычно их приводят в безразмерном виде, выражая их через отношение й присоединенной массы ко всей массе, равной произведению плотности р на объем (Х) вытесненной жидкости.
Многие результаты, полученные различными авторами, приведены в книге Ламба [71 Эллиптические цилиндры в случае поступательного движения и вращения рассматриваютсяв[7), 3 71 и 9 105 — 107; сфероиды и эллипсоиды — в [7), 9!05 — 107 и 3 113 †1; пара сфер — в [7), 9 113 †1. Можно также вычислить присоединенную массу различных других «двумерных» фигур (цилиндров, движущихся параллельно своей оси).
Так, Тейлор ') подсчитал величину й для различных многоугольников и параболических двуугольников. Различные авторы ') рассматривали также круги и эллипсы с симметрично расположенными стабилизаторами с целью исследовать стабилизирующее действие, которое оказывают на летательный аппарат рулевые поверхности. ') Многие из результатов, приведенных в этом параграфе и в других пврвгрзфзх этой главы, можно найти в работах Л. И. Седова (25*) и (27*); см, также Р иман И.
С., К реп с Р. Л., Присоединенные массы тел различной формы, Тр. Е(АГИ № 635, 1947 г. — Прим. Ред ') Тву(ог 7. 1., РМ!. Ман., 9 (!930), 161 — 183. Случай пзралтельных пластинок см. Рибушинскнй Д., Ргос. 1п(. Мв(Ь. Сопкгезз, 5!гвзьоигк (1920), 568 — 585; см. также В! сй1еу %. б., Рй(!. Тгапз., А228 (1929), 235 — 274 и Ргос. (.она. МаГй. Юос., 37 (1934), 82 — 105 и 5е(Ь В. !Ч., Риы.
4.искпочг (1п(т. (!938 †19). ') К иег11 б. и др., г(аоогд иер. 2295 (1952); Вг уз оп А. Е., У. Аег. ЮсЕ„20 (!953), 297 — 308 и 21 (!954), 424 — 426; 5 и гпиз с ге ц, С., там же, Гй (1953), 856 — 857, ср. с формулой (22). э 102. Геометрические фиеуры частных видов; тело Рэнкина 203 т,„=у~~и(дд"„') д5= =р) )х,— ст5 — р) )(х! д — сг д )с(5; (10) причем — дал = д1дг на сфере 5".
Интегралы по сфере 5" можно легко оценить асимптотически, если воспользоваться представлением — (1= л~м — "',' +О( )* д — — 2 Х =,' +0( '). (11) Так как площадь сферы 5" равна 4ягт, членами 0(г-а) соответственно 0(г') в формуле (!0) можно пренебречь. В силу симметрии отпадают слагаемые, содержащие рт, )сз. Чтобы оценить остаток, мы воспользуемся сферическими координатами, ') Относительно тора см. Н (с)се 97. М., РЫ!.
Тгалэ., 172 (1881), 609 и В уз оп Р. Цг., там же, 184 (1892), 42. О сферических луночках см. В а а ае11 А. В., Ргос. 1оид, Ма(й. Яос., 16 (1885), 286. Относительно линз см. 3Ь!1(снап М. апд 5репсет В. С., г3иаг. Арр1. Ми(й., 3 (1947), 270 — 288; Рауне 1.. Е., там же 10 (!952), 197 — 204. По поводу почти сферических тел см. Звено О., Вийе Ма(й. 1., 16 (1949), 209 — 223; также Р ! а и а, Мет. ассад. эс Тоггио, 88 (1835), 209.
') МАСА Тесл. 1то(еэ, 104 — 106 и 183); см также (7) й 121а; Т о! 1 в 1 е п ЦГ,, 1ля:Агсшв, 9 (1938); 1. апдтгеь ет 1, С!наг. Арр1. Ма(й., 14 (1956), 5! — 56 н Л Р!иЫ Месь.. ! (1956), 319 — 336. Из других осесимметрнчных тел, для которых аналитически найдена присоединенная масса, можно назвать тор, сферические луночки и «линзы», ограниченные соосными сферическими сегментами ').
В случае сфер были исследованы и слабо деформированные сферы. Можно также рассмотреть тела Рэнкпма — твердые тела вращения, которые прн обтекании равномерным потенциальным потоком параллельно оси х, эквивалентны системе источников и стоков, размещенных на этой оси. Мы рассмотрим сейчас подобные тела Рэнкина в порядке обобщения результатов Макса Мунка н Дж. Тейлора т). Первый шаг заключается в том, что к выражению (/7х,— — х,тУ применяется второе тождество Грина с учетом того, что (гт(У= (гтх,=О. Итак, если 5" — большая сфера, содержащая Х, а )т — область между поверхностью 5 тела Х и сферой 5", то, полагая (1" = К мы получаем из формулы (8) Гя, И. Лрнспединенные масеьс положив х~ гз(ну, йо = 2яд (з1п<р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
