Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 47
Текст из файла (страница 47)
19о9; (76), й 100; Бунин Л, 1 Р!а1, Ттапа., А226 (1926), 3! — 106. 216 Гл«Л. Присоединенные масси 9 199. Доказательство того, что система является лагранжевой Теперь для трехмерного тела ограниченного объема мы докажем справедливость предположения, что обобщенные силы Яь определяемые вариационными уравнениями Лагранжа (3), действительно являются компонентами ()"' результирующего да» вления или соответственно момента силы давления в обычном смысле ~). Последние, конечно, определяются математическикак интегралы по поверхности тела (20) Здесь А(з обозначает нормальную составляющую смещения по- верхности при поступательном или вращательном движении, со- ответствующую 1-й обобщенной координате, а Р определяется из уравнения Бернулли Р+ Р 1,2 Ч УЧИ+ ~~ ~~ =Р (г) 1 дУ (21) для неустановившегося движения в идеальной жидкости (гл.
1, (5)), если, как обычно, пренебречь гидростатическими подъемнымн силами. Строгое проведение доказательства затрудняется тем, что полная масса рассматриваемой системы бесконечная, а также бесконечно число измерений «пространства конфигураций» в со- ') Возможность принять уравнения (3) с явили поп вопрос Бопьнмаи (Сга((е, т. 73, стр. 111) и Пер«ар; см.
также М)зез и., ЛАММ, 4 (1924), 155 — 181 и 193 — 2!3. числить по формуле з = Яру, + Дада, используя выражение Т= 1 'кч =-~- г лва, и на составляющую, нормальную к т в плоскости, касательной к поверхности Уа, равную произведению геодезической кривизны на оа = за. Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве К В частности, Я преобразуется как (контравариантиый) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на оа. Следовательно, задачи динамики инерцнальных лаграижевых систем эквивалентны геометрическим задачам. Р!ОД Доказательство таза, что система является лаеааиягевоа 217 й ~ т М = ~ д,йг|, (1) И, (22) где Фе те же, что и в уравнениях (3), и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Вторая теорема заключается в том, что в тождестве (22) возможны все вариации йуе(1), лишь бы они удовлетворяли условиям ог)г(1о) = юг(11) = = О. Это равносильно «голономности» пространства конфигураций для твердого тела. Отсюда следует, что для доказательства тождества Яг = Я,*. при сравнении формул (3) и (2) достаточно доказать первое тождество из следующих двух: Второе тождество становится очевидным, если дифференциал массы гггп в формуле (23) записать в виде р гИ. Тождество (23) можно доказать, преобразуя правую часть следующим образом.
Наше преобразование допустимо, поскольку, как и раньше, 17УУСУ = 0(1/гз), благодаря чему четырехкратный интеграл по пространству и времени сходится абсолютно, и, следовательно, можно менять порядок интегрирования. Прежде всего, воспользовавшись лагранжевой систелгой координат, дви- ') Так, рассматриваемые в [82! интегралы не сходятся, а в [7) точный смысл принятых там за основу допупгений, как иам кажется, не вполне ясен. '1 Мо г ее М., Тйе Са!сыцз о1 Ъаг[а[гопз !и 1пе Еагде, [Чехе Уст[с, 19З4; Б л и ос ххж. А., Лекции по вариационному исчислению, М., 1950. ответствии с бесконечностью числа степеней свободы при движении жидкости.
Вопросом преодоления этих трудностей занимался лишь Ламб ((82) и [7), 9 !35, [36)„и, как кажется, не совсем успешно'). Поэтому мы приведем новое и весьма изятцное вариационное доказательство, принадлежащее, с точностью до небольших видоизменений, Дж. Брейквеллу. При изложении этого доказательства мы будем пользоваться выразительной о~имволикой для вариаций, общеупотребительной в динамике, хотя большинство современных авторов, занимающихся вариационным исчислением '), предпочитают обычные обозначения дифференциального исчисления.
Мы применим без доказательства две общие теоремы, Первая из них представляет собой тождество Эйлера для первой вариации Гд, т/, Пппсоединанные массы жушейся вместе с жидкостью, мы непосредственно получаем соотношение с, /ес(с///! сарае ((=/сс(///,,счс )= ср с» = ) О сст < ) Цбисс/1 ~, (24) где ис = д(//дхс. Интегрируя по частям, для каждой частнпы жидкости находим соотношение с, ~ и, йп, с/1 = (ц бхай', — ~ ст,.
йхс К где ас = Иис/с/1 обозначает ускорение. Из уравнений движения (гл. 1, (2) ) следует, что если можно пренебречь гидростатической подъемной силой Я 21, теорема 1), то — ас — — др/р(рх(, и, следовательно, б)ч(рах)=,~кбхс(д )+Рйч(йх) = =~~„йх((„~ ) = — р ~~ асах„(26) так как с)(ч (бх) = О для несжимаемой жидкости. Аналогично б1ч((/ох)=,~~и(ох(.
Снова подставим формулу (25) в последнее выражение в формуле (24) н, кроме того, воспользуемся для преобразования (24) формулами (26) и аналогичным ему соотношением, Мы получим следующий результат: с, ///ре(м (сас*)))+///ей /а (рс )рс~ (27) ср Так как р = 0(! /г'), бх = 0(г) и (И = 4пгтс/г, четырехкратный интеграл, как и раньше, сходится абсолютно.
Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования и затем, применив теорему о дивергенции '), получим равенство с / г ес = Ц /,им. ег )ь -; / ес / /р ь. ре ~. пв) ср ~а 1(, 5 ') Чтобы оправдать такое применение, необходимо воспользоваться теоремой Лагранжа о том, что частицы жидкости, соприкасавшиеся с твердым Ю 1/д Однородность Здесь Вх„обозначает составляющую вектора Вх, нормальную к общей границе Б твердого тела н жидкости. Так как твердое тело и жидкость соприкасаются, то в обозначениях формулы (20) Вх„ = ~~'„',Д//Вус В частности, Вх, = 0 в точках /о и 1! и первый член в правой части равенства (28) обращается в нуль, так как В//я(/а) = Вдз(1!) = О.
Из равенства Вх„=~",Х,В!// мы получим также в силу формулы (20) следующее выраженйе: ~ ) Р Вхя ао = ~~~> ) ) Р/'// Вт/! ао = „1 с /! ВЧг Подставив это в равенство (28), получим соотношение ь В ~ тй/=0+ ~ д',Ь|,(1)й/. (29) Это соотношение доказывает тождества (23), следователю/о, 4)- -Я й 11О. Однородность Риманово многообразие 1/, определяемое формулой (19) по пространству конфигураций твердого тела Х в бесконечной идеальной жидкости, замечательно тем, что оно обладает простой транзитивной группой яизометрий» (дяижений твердого тела), оставляюших инвариантным с(в. По современной математической терминологии оно является однородным пространством.
Это объясняется следующим очевидным теоретико-групповым принципом относительности: относительно рассматриваемого тела всг положения эквивалентны. Формально это можно выразить следуюшим образом. Различные положения с( = а, Ь, с, ... тела в пространстве взаимно однозначно соответствуют различным движениям твердого тела, а, 8, т, ..., перемещающим тело из фиксированного начального положения отсчета О в положения а, Ь, с, ... Поэтому мы можем отождествить точки пространства конфигураций с элементами евклидовой группы (45, стр, 259). Кроме того, если а есть некоторое отдельное движение твердого тела, то для наблюдателя в положении а положение ао представляется точно та- телом, образуют инвариантное множество ((!1В т.
1, и. ВО). Нужно также отметить, что поверхностные интегралы от /Лх„н рахя, взятые по боаьшнм сферам, стремятся к нулю„так как эха = О () и д/) = 0(1/т'). 220 Га У!. Присоединенные массы ким же, каким в представляется наблюдателю в О, поскольку все декартовы системы координат эквивалентны. Поэтому «группа переносов» в- ао не может изменить метрику (19), определяемую кинетической энергией. Пусть теперь а изменяется: рассматривая )г как групповое многообразие евклидовых групп, мы видям, что (Г имеет «просто транзитивную» ') группу «изометрий» (т.
е, движений, оставляющих инвариантной метрику двз), Подобное многообразие мы будем называть римановым групповым многообразием; и мы всегда можем рассматривать изометрии как левые переносы. Кроме изложенного, можно сделать еще одно теоретико-групповое замечание. «Стационарным движением» в динамике называют движение, которое, если рассматривать его по отношению к осям, связанным с телом, не зависит от времени. Как и в формуле (13), ускорение ц стационарного движения увеличивает значение ьбг=~~'.,г1(Т,1у1)~Ю+-(дТла(дуг) улуа на величину Т;,д;.
Следовательно, для того чтобы получить силы при произвольном движении, мы просто можем сложить силы, соответствующие ускорению г) из начального состояния покоя, рассмотренные в $ 100 — 102, и силы, действующие при стационарном движении. Так, если мы хотим определить силы, действующие на твердое тело при его стационарном движении в идеалщюй (т.
е. несжимаемой невязкой) жидкости, то мы можем определить силы и при любом движении. Поэтому мы ограничимся задачей определении сил, действующих при стационарном движении. Хорошо известное), что единственными геометрически возможными стационарными движениями твердого тела в евклидовом пространстве являются поступательное и вращательное движения с постоянной скоростью и винтовое движение с фиксированным шагом и тоже с постоянной скоростью, По определению, если а(1) — стационарное движение, то смещение в, необходимое для перехода от а(1) к а(1+ й), зависит только от й, т. е.
о есть в(й). Поэтому а (0) о (й + й') = — о (й + й') = о (й) а (й') = а (0) о (й) а (й'). Сократив в равенстве слева на величину а(О), получим тогда в(й+ й') = в(й)в(й'); следовательно, перемещения в(й) образуют однопарамегричеекую подгруппу относительно канонических ') Под зтим подразумевается, что при данных в,т Е 'г'сушестнует одно н только одно а, такое, что ои = т. Мы предполагаем здесь некоторое знакомство с левыми переносами абстрзктной группы. '1 См., например, А гп е з Л. Б., М и г п а а Ь а п Р.
Р., Тьсогеиса! Месвап1сз, стр. В7. й !С!. Сведения ив теории групп Ди параметров'), а а(/) является ее отображением при нзометрии, а именно при групповом переносе а(/) — а(О)о(/) = а(/). Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стапнонариом движении постоянна, то, очевидно, в = и постоянна в соответствующем римановом многообразии У. Отсюда, согласно 5!08, при стационарном движении вектор силы О равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы о(й) на постоянную о'. Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппьс евклидовой группьс У при надлежащей «лево-инвариантной» метрике в группе У.
А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в $ 100 †1 «инерциальными коэффициентами» Тес (0). й 111. Сведения нз теории групп Ли Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного римаиового группового многообразия. Этот результат, между прочим, представляет интерес и в геометрии групп Ли — зто еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина. Объем книги не позволяет изложить теорию групп Ли достаточно полно, для того чтобы все подробности вывода были ясны. Все же хочется дать достаточно сведений для того, чтобы можно было уяснить себе смысл окончательной формулы, по крайней мере в случае евклидовой группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
